三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题

对顶三角形双内角平分线模型1. 介绍对顶三角形是指一个三角形的两条边相等，而第三条边较短的特殊形状。

双内角平分线是指从一个顶点出发，将对顶角平分成两个相等的角的线段。

在本文中，我们将探讨对顶三角形双内角平分线的模型，包括其定义、性质和应用。

2. 定义对顶三角形双内角平分线模型是指在对顶三角形中，从两个对顶角的顶点出发，分别作出两条平分对顶角的线段。

这两条线段相交于三角形的内心，形成一个特殊的几何模型。

3. 性质对顶三角形双内角平分线模型具有以下性质：•两条双内角平分线相交于三角形的内心。

•两条双内角平分线与对顶边相交于三角形的对边中点。

•两条双内角平分线与对顶边的夹角相等，且每条双内角平分线与对边的夹角等于对顶角的一半。

4. 证明4.1 两条双内角平分线相交于三角形的内心设对顶三角形的顶点分别为A、B、C，双内角平分线分别为AD和BE。

我们需要证明AD和BE相交于三角形ABC的内心。

首先，我们可以证明AD和BE都与对顶边AC相交于对边AC的中点M。

因为AD是对∠BAC的角平分线，所以∠DAM = ∠DAC/2。

又因为∠DAC = ∠BAC，所以∠DAM = ∠BAM。

同理，∠EBM = ∠ABM。

所以AD和BE分别与AC相交于点M，即M为AC 的中点。

接下来，我们需要证明AD和BE相交于点M。

由于∠DAM = ∠BAM，且∠EAM =∠BAM，所以∠DAM = ∠EAM。

同理，∠EAM = ∠EBM。

因此，∠DAM = ∠EAM =∠EBM，即AD和BE相交于点M。

综上所述，AD和BE相交于三角形ABC的内心。

4.2 两条双内角平分线与对顶边相交于三角形的对边中点我们已经证明了AD和BE与对顶边AC相交于点M，即AC的中点。

同理，我们可以证明AD和BE与对顶边AB相交于点N，即AB的中点。

4.3 两条双内角平分线与对顶边的夹角相等由于AD是∠BAC的角平分线，所以∠DAM = ∠DAC/2。

又因为∠DAC = ∠BAC，所以∠DAM = ∠BAM。

七下第5讲三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型归纳与内外⾓和计算⽅法总结写在前⾯在前四讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩⼀个重要模型和内外⾓的相关题型变式，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留⾄期中复习吧．⼀、三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型模型呈现：如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．分析：这是本章的最后⼀个重要模型，要结合整体思想，外⾓定理综合运⽤．解答：补充结论：其实这个模型中，还能有许多发现，⽐如，∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，理由是邻补⾓的⾓平分线互相垂直．∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，在△DCH中，∠BDC作为外⾓，∠BDC＝90°＋∠BHC．例1：如图，O是三⾓形三条⾓平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．分析：本题的关键是，发现∠2的作⽤，∠2可以作为△AOB的外⾓，即∠OAB和∠OBA的和，⼜是∠AOB的邻补⾓，∠AOB是三⾓形两内⾓平分线的夹⾓，因此本题既可以⽤⼀步⼀步完成，也可⽤结论模型⼝算．解答：例2：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．分析：本题是⼀道将三个模型结合在⼀起的题⽬，我们要关注哪些⾓可以求，∠BDC是两内⾓平分线的夹⾓，则知道∠A即可求，∠E是两外⾓，∠MBC，∠NCB的⾓平分线的夹⾓，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内⾓∠EBC和外⾓∠ECQ的⾓平分线夹⾓，则知道∠E即可求．解答：例3：分析：解答：综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．⼆、多边形内外⾓计算例1：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，少算了⼀个内⾓，得到答案是1400°，求少算的内⾓的度数及多边形边数．分析：显然，根据多边形内⾓和公式(n－2)·180°，可知内⾓和⼀定是180度的倍数，我们可以⽤1400除以180，算出其余数，那么⾃然可得，少算的那个内⾓与余数的和⼀定是180度的倍数，⽽根据多边形每个内⾓必然⼩于180°，则这个内⾓度数就是⽤180°减去这个余数即可．解答：1400°÷180°＝7······140°，180°–140°＝40°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400＋40，n＝10答：少算的内⾓度数为40°，边数为10．例2：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，多算了⼀个外⾓，得到答案是1400°，求多算的外⾓的度数及多边形边数．分析：显然，本题是上⼀题的变式，⽅法还是⽤1400除以180，算出其余数，那么多算的外⾓度数，就是这个余数．解答：1400°÷180°＝7······140°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400－140，n＝9答：多算的外⾓度数为140°，边数为9．例3：⼀个多边形每个内⾓都等于150°，求这个多边形的边数．分析：本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内⾓和公式⼊⼿，也可以逆向思维，求出每个外⾓的度数，⽤外⾓和除以每个外⾓的度数．解答：法1：设多边形边数为n，(n–2)·180＝150n，n＝12法2：180°－150°＝30°，360°÷30°＝12答：多边形边数为12．三、作图探究例：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的⾓平分线，P是射线AC上任意⼀点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂⾜为Q，交直线BD于E．(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．(2)作∠CPQ的⾓平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．分析：本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC上，线段DC延长线上，在延长线上时，⼜要考虑垂⾜Q的位置，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两⼩题的图汇总在⼀起．解答：①点P在线段AD上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD②点P在线段DC上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD上讲思考题答案。

B巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学 严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1)； 模型二:当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三:当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、 如图1,△ABC 中,BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。

（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。

在△BCD 中：∠D ＝180°－(∠CBD ＋∠BCD)＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点EE DCBA解:∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC, ∠BCD ＝21∠ACB 。

∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC例２、如图,ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线， 试说明:∠D=90°－21∠A 。

解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE ∠BCD ＝21∠BCF又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180° 在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ） ＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF)＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21(∠A ＋180°）DCBA＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。

三角形角平分线的夹角问题[教学目标]1. 能够熟练运用数学工具测量角度2. 能够利用三角形角平分线夹角结论快速地去解决实际问题3. 通过逻辑推理理解三角形角平分线的夹角与第三个内角之间的关系[教学重难点]重点：能够计算三角形角平分线夹角的度数难点：通过逻辑推理得到三角形两内角平分线夹角结论[教学过程]问题引入画一画（按要求用尺规作图）1. 图1，作∠AOB 的角平分线OC .2. 图2，在ABC ∆中，作ABC ∠和ACB ∠的角平分线相交于点O .合作探究问题1. 在ABC ∆中，点O 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点， （1） 如图3，60A ︒∠=，则BOC ∠=_______；（2） 如图4，100︒∠=A ，则BOC ∠=_______； （3） 如图5，140︒∠=A ，则BOC ∠=_______； （4） 如图6，已知A α∠=,求BOC ∠的度数.B O A 图1AC B 图2CABO图4ACBO图3A CBO图512BAOC图6问题2. 在ABC ∆中，延长BC 到D , 点O 是ABC ∠与ACD ∠的角平分线的交点，（1）如图7，68A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（2）如图8，90A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（3）如图9，120A ︒∠=， 则BOC ∠=问题3. 在ABC ∆中，延长AB 到E ,延长AC 到F ,点O 是BCF ∠与CBE ∠的角平分线的交点，（1）如图10，40A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（2）如图11，80A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（3）如图12，100A ︒∠=， 则BOC ∠=_______.小结说一说你有哪些收获？ 检测1. 如图13，在ABC ∆中，ABC ∠、∠ACB 的角平分线BE 、CD 相交于点F ，42ABC ︒∠=, 70A ︒∠=，则∠=BFC ______度.2. 如图14，在ABC ∆中，延长BC 到D , 点P 是ABC ∠与ACD ∠的角平分线的交点， 55︒∠=BPC , 则∠=A ______度.3. 如图15，BCF ∠和CBE ∠是ABC ∆的外角, 且BCF ∠与CBE ∠的角平分线相交于点D ，若62︒∠=A ,则BDC ∠=______度.DBAFCE 图13BADPC图14AB F ECD图15课外拓展1. 对问题2所得到的12BOC A ∠=∠给出证明. 2. 对问题3所得到的1902BOC A ︒∠=-∠给出证明.作业1. 如图16，在ABC ∆中，点O 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点，130︒∠=BOC ， 则∠=A ______度.2. 如图17，在ABC ∆中，延长AB 到E ,延长AC 到F ,点O 是BCF ∠与CBE ∠的角平分线的交点，56︒∠=A ,则∠=BOC ______度.3. 如图18，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相交于1A ，1A BC ∠ 与2A CD ∠的平分线交于2A ，以此类推，…，若92A ︒∠=，则1A ∠=____ ,2A ∠= ____.BAOC图16B CAEF O图17BADA1C A2图18。

三角形中两角平分线夹角的计算方法在学习“三角形”这一章时，遇到了三角形中（内、外）角平分线的夹角计算问题，在解决这类问题时，我发现了三角形（内、外）角平分线的夹角的度数总与三角形的一个内角有关。

例：如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D。

求∠BDC的度数。

解答本题时，利用三角形角平分线的定义及三角形内角和定理，经过推理，我发现了∠BDC与∠A之间存在一定的数量关系。

解答过程如下：由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB可知，∠DBC=∠ABC,∠DCB= ∠ACB.又根据三角形内角和为180°可知∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=90°+ ×60°=120°通过以上问题的解答，我发现了这样一个结论：三角形的两内角平分线的夹角的度数等于90°加上第三个内角的度数的一半。

我把这个结论告诉了老师，老师笑着点点头说：“不错，你能发现这点太棒了！老师还想考考你，如果把两个内角的平分线变为两个外角的平分线，你还能有新的发现吗？”如图２,在△ABC中，外角∠EBC、∠BCF的平分线交于点D。

此时∠BDC 又与哪个角有关系呢？是否也与∠A有关呢？经过我的探索，我得出了这样的结论：∠BDC=90°- ∠A.推理过程如下：由BD、CD分别平分∠EBC、∠BCF可得,∠DBC= ∠EBC,∠DCB= ∠BCF,由三角形内角和定理及推论可知,∠DBC + ∠DCB=∠EBC+ ∠BCF,=(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC),=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC),=(180°+∠A),=90°+ ∠A.所以∠BDC=180°-(∠DBC + ∠DCB),=180°-(90°+ ∠A)=90°- ∠A我兴奋地跑到老师的办公室，向老师说出了我的发现：三角形的两个外角的平分线的夹角的度数等于90°减去第三个内角的一半。

BBECB A巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。

（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。

在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E 解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。

∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。

解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE∠BCD ＝21∠BCF又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ）＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21（∠A ＋180°）＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。

双角平分线模型题型巧记
双角平分线三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系可以总结为三种模型：
模型一：当这两个角为内角时，这个夹角等于90°与第三个角一半的和。

模型二：当这两个角为外角时，这个夹角等于90°与第三个角一半的差。

模型三：当这两个角为一内角、一外角时，这个夹角等于第三个角一半。

为了方便记忆，可以总结为“内内90°加一半，外外90°减一半，内外就一半”。

以上信息仅供参考，如果您在学习数学过程中有任何疑问，建议咨询专业人士以获得更好的帮助。

归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法在复习三角形时，发现由三角形的角平分线构成的角与已知角之间存在一定的等量关系，现归纳如下，与大家探讨。

一、三角形两内角平分线的夹角如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC 的度数。

（人教版九年级上册100页练习1）解：O是内心即三角形三条内角平分线的交点∠CBO=∠ABC=25∠BCO=∠ACB=37.5∠CBO+∠BCO=62.5△BOCxx∠CBO+∠BCO+∠BOC=180∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-62.5=117.5思考：把已知条件∠ABC=50，∠ACB=75变为∠A=55时，按上面思路，虽然不能确定∠ABC和∠ACB的大小，但这两角和是确定的，那么这两角和的一半也是确定的，从而问题可解。

进一步思考，当∠A=M时，求∠BOC的度数。

解：在△ABCxx∵∠A=M∴∠ABC+∠ACB=180-M又∵O△ABC是内心∴BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠CBO=∠ABC∠BCO=∠ACB∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180-M）=90-M在△BOC中∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-（90-M）=180-90+M=90+M即：∠BOC=90+M二、三角形内角与外角平分线的夹角如图，在△ABC中，∠A=M，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，求∠的度数。

解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ABC=2∠EBC∠ACD=2∠ECD∠ACD=∠ABC+∠A∠ECD=∠EBC+∠E∴2∠ECD=2∠EBC+2∠E∴∠A=2∠E即：∠E=M三、三角形两外角平分线的夹角如图：在△ABC中，∠B=M,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，求∠E的度数。

解：∵AE平分∠DACCE平分∠ACF∴∠EAC=∠DAC∠ECA=∠ACF∠DAC=∠B+∠ACB∠ACF=∠B+∠BAC∠EAC+∠ECA=∠DAC+∠ACF=（∠DAC+∠ACF）=（∠B+∠ACB+∠B+∠BAC）=（180+∠B）=90+∠B∴∠E=180-（∠EAC+∠ECA）=180-（90+∠B）=90-∠B即：∠E=90-M我们在复习中，经历了大量的练习，像上面这些知识点的考查，更多是以分外角的形式呈现的，练习中做过去，也很难留下深刻印象，因为没有进行深入的探究，还没有意识到带求和已知之间可能存在定量的关系。

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

三角形边长的求解 方法
三角形边长求解的 步骤
三角形边长求解的 实例
三角形内外角平分线夹角模型的应 用场景
三角形内切圆半径的几何意义
添加标题
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三角形内切圆半径的求解方法
添加标题
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三角形内切圆半径在解题中的应用
三角形内外角平分 线夹角模型的解题 思路
确定三角形内外角平分 线的位置是解题的关键 步骤，可以通过作图或 逻辑推理来确定。
三角形内外角平分线夹角与三角形其他角的关系 三角形内外角平分线夹角的定理和证明 三角形内外角平分线夹角的性质定理及其应用 三角形内外角平分线夹角与三角形面积的关系
确定三角形内外角平分线夹角 的位置和性质
利用三角形内外角平分线夹角 进行角度计算
利用三角形内外角平分线夹角 解决几何问题
三角形内外角平分线夹角的特 殊性质和定理
该模型的应用范围广泛，不仅适用于三角形，还可以拓展到多边形等领域。
掌握三角形内外角平分线夹角模型有助于提高学生的几何思维能力，为进一步学习其他几何知 识打下基础。
在实际生活中，三角形内外角平分线夹角模型的应用也十分广泛，涉及到建筑设计、工程测量 等多个领域。
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在解题过程中，需要利 用三角形内外角平分线 的性质，如平行线性质、 角平分线性质等。
确定三角形内外角平分线 的位置有助于进一步推导 和证明其他相关结论，如 三角形内角和定理、外角 定理等。
在实际应用中，确定三角 形内外角平分线的位置可 以帮助解决一些实际问题， 如测量、几何作图等。

定义：三角形内外角平分线夹角为α，利用性质建立方程
三角形面积计算 案例：一个三角 形的三边长分别 为5cm、6cm和 7cm，求其面积

类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数；(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．模型2：求两内角平分线的夹角的度数2．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB 的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A ＝_____.3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋12∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.(1)求证：∠A1＝12∠A；(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD 的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝_____________.模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.(2)∠DAE ＝12(β－α)，证明如下：∵∠B＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC＝90°－12(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝12(β－α)． 2．60°3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝12×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°.(2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋12∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝12(∠A ＋∠ABC )．又∵∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴12∠ABC ＋∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝12∠A .(2)α22017 5．(1)∠BOC ＝90°－12∠A(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝12∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－12∠A .。

三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型模型1、双角平分线模型图1图2图31)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．2)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC ，∠P 2CD 的平分线相交于点P 3⋯⋯以此类推；结论：∠P n 的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 1(2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中)如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 内一点，且点P 到△ABC 三边的距离相等，若∠BPC =124°，则∠A =．【答案】68°【分析】由条件可知BP 、CP 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点P 到△ABC 三边的距离相等，∴BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠A =180°-(∠ABC +∠ACB )，=180°-2(∠PBC +∠PCB )=180°-2×(180°-∠BPC )=180°-2×(180°-124°)=68°故答案为：68°．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．2(2022·湖北十堰·八年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠A +∠B +∠E =a ，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，则∠P 的度数是．【答案】12α-90°【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为5-2 ×180°=540°，∴∠EDC +∠BCD =540°-α，∵DP,CP分别为∠EDC、∠BCD的平分线，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=12∠EDC+∠BCD=12540°-α，∴∠P=180°-12540°-α=12α-90°，故答案为：12α-90°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为n-2×180°是解题关键．3(2023·山东济南·校考模拟预测)如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC=90°+12∠ABC；(2)当∠ABC=90°时，且AO=3OD(如图2)，判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；(3)在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．【详解】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-90°-12∠ABC，即∠AOC=90°+12∠ABC；(2)解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，AE=AM∠EAO=∠MAO AO=AO，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∴AOON=SΔAOMSΔMON，∵SΔAOMSΔMON=AMMN，∴AOON=AMMN，∵AO=3OD，∴AOOD =31，∴AOON=AMMN=31，∴AN=43AM=43AE，∵AN+NC=AC，∴43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12(∠DAC +∠ACF )=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°-(∠EAC +∠ECA )=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·湖北·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，若∠ABC =m °，∠ACB =n °，求∠BGC 的度数.【答案】∠BGC =12m °+n ° 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在ΔBCG 中，∠BGC =180°-12∠EBC +12∠BCF=180°-12(∠EBC +∠BCF )=180°-12(180°-∠ABC +180°-∠ACB )=180°-12(180°-m °+180°-n °)；=12m °+n ° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中)如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A =70°，则∠BDC =()A.35°B.25°C.70°D.60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD =12∠ABC ，∠DCE =12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE =∠D +∠CBD ，∠ACE =∠A +∠ABC ，然后整理求出∠D=12∠A．【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠D+∠CBD，∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠D+∠CBD=12(∠A+∠ABC)∴∠D=12∠A，∵∠A=70°，∴∠D=12×70°=35°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．7(2022秋·八年级课时练习)如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1 BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A=α，则∠A2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解∠A1=12∠A，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴1 2(∠A+∠ABC)=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A，∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=122α，根据规律推导，∴∠A2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·成都市七年级课时练习)如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1= 2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2，正确的是．(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12(∠ACD-∠ABC)=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠1)=90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，∴∠OCE=12(∠ACB+∠ACD)=12×180°=90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．9(2023秋·广东佛山·八年级校考期末)(1)如图1所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线将于点O，则有∠BOC=90°+12∠A，请说明理由．(2)如图2所示，在△ABC中，内角的平分线∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠BAC之间的关系，不必说明理由．(3)如图3所示，AP，BP分别平分∠CAD，∠CBD，则有∠P=12(∠C+∠D)，请说明理由．(4)如图4所示，AP，BP分别平分∠CAM，∠CBD，请直接写出∠P与∠C，∠D之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由见解析；(4)∠P=12∠D+12∠C+90°【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D +∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；(4)AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC =y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=180°-∠A÷2=90°-12∠A∴∠BOC==180°-90°-12∠A=90°+12∠A(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴∠P=12(∠C+∠D)(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-(∠C+2x)-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-(∠C+2x)-y =y∴x+y=12∠D-12∠C+90°∴∠P=12∠D-12∠C+90°+∠C∴∠P=12∠D+12∠C+90°【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．10(2023·江苏八年级课时练习)(1)如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：∠BOC=90°+12∠A．(2)如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°-12∠A．(3)如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=12∠A．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】(1)设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO=y．由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°．①由△BOC的内角和为180°，得∠BOC+x+y=180°．②由②得x+y=180°-∠BOC．③把③代入①，得∠A+2180°-∠BOC=180°，即2∠BOC=180°+∠A，即∠BOC=90°+12∠A(2)∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12∠A+∠ABC、∠DBC=12∠A+∠ACB，由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，=180°-12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]，=180°-12(∠A+180°)，=90°-12∠A；(3)如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12(∠A+2∠1)，即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2(∠1+∠3)-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．2(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=12∠OAC=12(180°-∠OAB)．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=12∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-12(180°-∠OAB)-∠OAB-12∠ABO=90°-12(∠OAB+∠ABO)=45°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-12(∠OAB+∠ABO)．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4(2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC．若∠BOC=120°，则∠A的度数是()A.30°B.45°C.60°D.70°【答案】C【分析】由点O在△ABC内，且到三边的距离相等，可知O是角平分线的交点，则∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，可得∠ABC+∠ACB=120°，根据∠A+∠ABC+∠ACB=180°，计算求解即可．【详解】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴O是角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴12∠ABC+12∠ACB+120°=180°，即∠ABC+∠ACB=120°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=60°，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5(2022秋·四川绵阳·八年级统考期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A.10°B.15°C.20°D.30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4 +∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6(2023春·福建漳州·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠ACB<∠A,BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=45°；④∠A-∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，可判断③，由2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD是△ABC角平分线，∴∠ABD=∠CBD，故①符合题意；∵BE是边AC上的高，∴∠ABE+∠A=90°，故②符合题意；∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF∠A，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，∴∠G=12∵∠A<90°，∴∠G<45°，故③不符合题意；∵2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB=180°-∠ABC+2∠ACB=180°-180°-∠A+∠ACB=∠A-∠ACB，故④符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7(2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=16°，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，连接AE，则∠AEC的度数为．【答案】37°/37度【分析】由角平分线的性质可得EF=EH=EG，进而可证明EA是∠BAC的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E点分别作EF⊥AC于F，作EG⊥AB于点G，作EH⊥CD于H，∵EC 是∠ACB 的平分线，EB 是∠ABD 的平分线，∴EF =EH ，EG =EH ，∴EF =EG ，∴EA 是∠BAC 的外角平分线，∵∠ACB =90°，∠BAC =16°，∴∠ACE =45°，∴∠EAB =∠FAB 2=180°-16°2=82°，∴∠AEC =180°-∠EAC +∠ACE =180°-82°+16°+45° =180°-143°=37°．故答案为：37°．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，若∠A =α，则∠A 999=．【答案】α2999【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形外角的性质可得12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，化简可得∠A 1=12∠A ，进一步找出其中的规律，即可求出∠A 999的度数．【详解】解：∵BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，∴∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠ABC +∠A ，∠A 1CD =∠A 1BD +∠A 1，∴12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A =12α，同理可得：∠A 2=12∠A 1=12×12α=122α，∠A 3=122∠A 1=123α，...... 则A 999=12999∠A =α2999，故答案为：α2999．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出∠A 1，∠A 2，∠A 3与∠A 的规律是解题的关键．9(2022秋·北京大兴·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC 的平分线与外角∠BCD 的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①∠MCD >∠MAB ；②BM =CM ；③射线BM 是∠EBC 的角平分线；④∠BMC =90°-12∠BAC ．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知∠MAB=∠MAC．再根据三角形外角的性质得出∠MCD=∠MAC+∠AMC，即可确定∠MCD>∠MAB，故①正确；过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，由角平分线的性质定理可得出MF=MG=MH．即易证Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，得出∠MBG=∠MBH，即说明射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM=CM，易证∠CBE=∠BCD，即得出∠ABC=∠ACB．由AB<AC，可知∠ABC≠∠ACB，即说明BM= CM不成立，故②错误；由∠BMC=∠BMG+∠CMG，即得出∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．再根据角平分线的定义即得出∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠MAB=∠MAC．∵∠MCD=∠MAC+∠AMC，∴∠MCD>∠MAC，∴∠MCD>∠MAB，故①正确；如图，过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，∵AM为∠BAC的平分线，CM为∠BCD的平分线，∴MF=MG=MH．又∵BM=BM，∴Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，∴∠MBG=∠MBH，即射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；假设BM=CM，∴∠MBC=∠MCB．∵CM为∠BCD的平分线，BM是∠EBC的角平分线，∴∠MBE=∠MBC，∠MCB=∠MCD，∴∠MBE+∠MBC=∠MCB+∠MCD，即∠CBE=∠BCD，∴180°-∠CBE=180°-∠BCD，即∠ABC=∠ACB．∵AB<AC，∴∠ABC≠∠ACB，∴假设不成立，故②错误；∵∠BMC=∠BMG+∠CMG，∴∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．∵∠MBG=12∠CBE，∠MCG=12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD=180°-12∠CBE-12∠BCD=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠BAC)=90°-12∠BAC，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则．(用含字母的代数式表示)【答案】【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠BCP=12∠BCD，∴∠PBC+∠BCP=12∠ABC+12∠BCD=12∠ABC+∠BCD=12360°-m°∴∠P=180°-(∠PBC+∠BCP)=180°-12360°-m°=12m°故答案为：12m°．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB=3：2，那么∠CAB=．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12(∠ACB+∠ABC)=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN= 90°是关键．13(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC =12∠A +90°；理由见解析；(2)∠BOC =12∠A ；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ，然后得出∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，然后根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ，最后根据∠BOC =∠OCE -∠OBC 得出答案．【详解】(1)∠BOC =12∠A +90°．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，在△BOC 中，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，又∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ．∴∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°．∴∠BOC =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ．(2)∠BOC =12∠A ．∵∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，∴∠A =∠ACE -∠ABC ，∠BOC =∠OCE -∠OBC又∵BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACE 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ．∴∠BOC =∠OCE -∠OBC =12∠ACE -12∠ABC =12(∠ACE -∠ABC )=12∠A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14(2023·北京昌平·八年级校考阶段练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l ，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12∠A ,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC , ∠2=12∠ACB∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2；如图2中，O是12∠ABC与外角12∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)【答案】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A；(2)探究3：结论∠BOC=90°-12∠A；(3)拓展：结论∠BOC=12∠A+∠D【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；(2)根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；(3)同(1)的求解思路．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；(2)由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠A+∠ACB)-12(∠A+∠ABC)，=180°-12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)，=180°-12(180°+∠A)，=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．(3)∠OBC+∠OCB=12(360°-∠A-∠D)，在△BOC中，∠BOC=180°-12(360°-∠A-∠B)=12(∠A+∠D)．故答案为∠BOC=12(∠A+∠D)．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15(2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=°；若∠MON=90°，则∠ACG=°；(2)若∠MON=n°，请求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO-∠ACF的度数．(用含n的代数式表示)．【答案】(1)60°；45°；(2)90°-12n；(3)90°-12n．【分析】(1)根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；(2)根据(1)中的结论即可求出答案；(3)根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO-∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】(1)∵∠MON+∠ABO+∠BAO=180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON=60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=60°，当∠MON=90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=45°，故答案为：60°，45°；(2)由(1)知∠ACG=12(180°-∠MON)，∵∠MON=n°，∴∠ACG=12(180°-∠MON)=90°-12n；(3)∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO-∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON=n°时∠ACG=90°-12n，∴∠BGO-∠ACF=90°-12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16(2023·山西晋城·七年级统考期末)在△ABC中，已知∠A=α．(1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α=70°时，∠BDC度数=度(直接写出结果)；②∠BDC的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)(1)①125°；②90°+12α，(2)∠BFC=12α；(3)∠BMC=90°+14α【分析】(1)①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；(2)由三角形外角性质得∠BFC=∠FCE-∠FBC，然后结合角平分线的定义求解；(3)由折叠的对称性得∠BGC=∠BFC，结合(1)②的结论可得答案．【详解】解：(1)①∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-70°)=125°②∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．(2)∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠ACE，∴∠BFC=∠FCE-∠FBC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A即∠BFC=12α．(3)由轴对称性质知：∠BGC=∠BFC=12α，由(1)②可得∠BMC=90°+12∠BGC，∴∠BMC=90°+14α．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17(2023·江苏连云港·七年级统考期中)在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG 的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】(1)ECB，ACB，ECB；(2)70°；(3)①205°；②∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°【分析】(1)根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；(2)先推出∠AEC=12∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=12∠M，进而即可求解；②根据∠N= 12∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：(1)因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠ECB．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠_ACB_．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠__ECB____=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．故答案是：ECB，ACB，ECB；(2)∵∠ABC=40°，∴∠AEC=12∠ABC=20°，∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，∴∠EAC+∠FAC=12∠ABC+12∠CAG=12(∠ABC+∠CAG)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=12∠M，∵∠BAD=150°，∠ADC=80°，∴∠M=180°-(180°-150°)-(180°-80°)=50°，∴∠N=25°，∴∠AEF+∠BFE=360°-(180°-25°)=205°；②∵∠AEF+∠BFE=360°-(180°-∠N)=180°+∠N，∠BAD+∠ADC=180°+∠M，又∵∠N=12∠M，∴∠AEF+∠BFE-180°=12(∠BAD+∠ADC-180°)，即：∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18(2023春·江苏南京·七年级期中)(1)问题发现：如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P，则∠BPC的度数是(2)类比探究：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，则∠BPC与∠A的关系是，并说明理由．(3)类比延伸：如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P，请直接写出∠BPC与∠A的关系是．。

小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算模型1 两个内角平分线的夹角方式归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点O ，则∠BOC ＝90°＋12∠A.1．如图，点O 是△ABC 的∠ABC 与∠ACB 两个角的平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A 的角度是________°.2．如下图，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线．(1)∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由；(2)题(1)中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改成“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数；(3)假设∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角方式归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半．如图，在△ABC 中，BD 、CD 别离平分∠ABC 、∠ACE ，则∠BDC ＝12∠A.3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝50°，则∠D ＝________．4．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 别离是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动进程中，∠C 的度数是一个定值，那个定值为________．5．(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2 014BC 和∠A 2 014CD 的平分线交于点A 2 015，求∠A 2 015的度数．6．如图，在△ABC 中，P 点是∠BCE 和∠CBF 的角平分线的交点，若∠A ＝60°，则∠P ＝________．7．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形必然是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)模型4 角平分线与高线的夹角方式归纳：三角形同一极点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半． 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝12(∠B －∠C)．(其中∠B ＞∠C)8．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠EAD ＝10°，AD ⊥BC 于D ，AE 是∠BAC 的平分线，则∠C 的度数为________．9．如图，△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.(1)假设点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；(2)假设点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；(3)假设点F 在△ABC 外部，如图3，现在∠EFD 的度数会转变吗？是多少？10．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝20°，∠C＝60°.(1)求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数；(2)假设图形发生了转变，已知的两个角度数改成：当∠B＝30°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；当∠B＝50°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；当∠B＝60°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________；当∠B＝70°，∠C＝60°时，则∠EAD＝________.(3)假设∠B和∠C的度数改成用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发觉的结论．。

类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．模型2：求两内角平分线的夹角的度数2．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A＝_____.3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB 的平分线的交点．(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋12∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.(1)求证：∠A1＝12∠A；(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝_____________.模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5．(1)如图，BO 平分△ABC 的外角∠CBD ，CO 平分△ABC 的外角∠BCE ，则∠BOC 与∠A 的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.(2)∠DAE ＝12(β－α)，证明如下：∵∠B ＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝90°－12(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝12(β－α)．2．60°3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝12×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°.(2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋12∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD＝12∠ACD ＝12(∠A ＋∠ABC )．又∵∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴12∠ABC ＋∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝12∠A .(2)α22017 5．(1)∠BOC ＝90°－12∠A(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝12∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－12∠A .作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。

不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。

实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。

能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，试探究：∠D=９０°＋1∠Ａ。

2解：∵BD、CD为角平分线∴∠ＣＢＤ＝1∠ＡＢＣ，（图1）2∠ＢＣＤ＝1∠ＡＣＢ。

2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）＝１８０°－1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）2＝１８０°－1（１８０°－∠Ａ）2＝９０°＋1∠Ａ2变式练习的题目有（1）如图△2、在ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

解:由结论1得知，∠D=９０°＋1∠Ａ。

则∠Ａ=2∠D―180°，2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。

第3讲三角形与角平分线知识导航1.三角形内外角平分线夹角模型；2.其它常见角平分线夹角模型.【板块一】三角形内外角平分线的夹角的三个基本模型方法技巧角平分线性质＋三角形内角和定理＋三角形外角性质＋整体思想、化归思想＋设参数计算模型 模型一三角形两内角平分线夹角【例1】如图，点P 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证:∠P ＝90°＋12∠A. PCBA【例2】已知在△ABC 中，∠A ＝60°.(1)如图1，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，求∠BOC 的度数；(2)如图2，∠ABC ，∠ACB 的三等分线交于点O 1，O 2，则∠BO 1C ＝__，∠BO 2C ＝_____； (3)如图3，∠ABC ，∠ACB 的n 等分线交于点O 1，O 2，……O n －1. 则∠BO 1C ＝_______，∠BO n －1C ＝__________.(用含n 的代数式)图1图2图3O 2O 1A CA BCO模型二三角形两外角平分线夹角【例3】如图，点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，求证:∠P ＝90°－12∠A. ABCDE模型三三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角【例4】如图，点D是BC延长线上一点，PB平分∠ABC，PC平分∠AC D.求证:∠P＝12∠A.AB C DE针对练习11.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BP，BE把∠ABC三等分，线段CP，CE把∠ACB三等分，求∠BPE的度数.PACE2.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数.3.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数.【板块二】与三角形有关的其它角平分线模型 ◆方法技巧◆角平分长性质＋三角形内角和定理十三角形外角性质＋整体思想，化归思想＋设参数计算 模型四◆角平分线＋高线夹角模型(设参计算＋整体思想)【例5】(1)已知△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，如图1，设∠B ＝x ，∠C ＝y ，试用x ，y 表示∠DAE ，并说明理由；(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD ⊥BC 于D ”改为“F 是AE 上一点，FD ⊥BC 于D "，试用x ，y 表示∠DFE ＝_________；(3)在图3中，若把(2)中的“点F 在AE 上”改为“点F 是AE 延长线上一点”，其余条件不变，试用x ，y 表示∠DFE ＝_______；(4)在图3中，分别作出∠BAE 和∠EDF 的角平分线，交于点P ，如图4，试用x ，y 表示∠P ＝_____.图4图1图2图3PF DBE AFDBE CEBD AABCDEF模型五燕尾形双角平分(设参计算＋整体思想)【例6】如图，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，它们交于点P .求证:∠P ＝12(∠A ＋∠D ). P DCBA模型六蝶形(8字形)双角平分(设参计算＋整体思想)【例7】(1)模型:如图1，AD ，BC 交于O 点.求证:∠D ＋∠C ＝∠A ＋∠B. (2)模型应用:如图2，∠BAD 和∠BCD 的平分线交于点E . ①若∠D ＝30°，∠B ＝40°，则∠E 的度数是______；②直接写出∠E 与∠D ，∠B 之间的数量关系是:__________；(3)类比应用:如图3，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E .若∠D ＝m °，∠B ＝n °，(m ＜n ).求∠E 的度数.(用含有m ，n 的式子表示)图1图2图3EABCDBCDOEDC A针对练习21.如图，∠ABD ，∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠P ＝20°，∠D ＝10°，求∠A 的度数.ABCDP2.如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I . (1)写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式并证明；(2)直接写出∠I 与∠A ，∠D 之间的数量关系式为___________.图1图2I ABDCE AB CD EI。