三角形内外角平分线定理上课讲义

角平分线课件角平分线课件在数学课上，我们经常会遇到各种几何问题。

其中一个重要的概念就是角平分线。

角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。

在本文中，我们将探讨角平分线的性质和应用。

一、角平分线的性质角平分线有一些重要的性质，我们先来了解一下。

1. 角平分线将一个角分成两个相等的角。

这是角平分线最基本的性质。

无论角的大小如何，角平分线都能将其分成两个大小相等的角。

这个性质在解决一些几何问题时非常有用。

2. 角平分线上的点到角的两边距离相等。

这个性质可以用来证明角平分线的存在。

假设有一个角ABC，其中AD是角的平分线，D是平分线上的一个点。

我们可以证明AD到AB的距离等于AD到AC的距离。

这个性质在证明角平分线的问题中经常被使用。

3. 角平分线上的点到角的顶点的距离最短。

这个性质可以通过比较角平分线上的点到角的两边的距离来证明。

对于角ABC 和角ABD，其中D是角的平分线上的一个点，我们可以证明AD的长度小于BD或CD的长度。

这个性质在解决一些优化问题时非常有用。

二、角平分线的应用角平分线的性质使其在解决一些几何问题时非常有用。

下面我们将介绍一些常见的应用。

1. 角平分线的构造已知一个角的两边，我们可以通过构造角平分线来找到角的平分线。

具体的构造方法可以通过画圆弧或者使用直尺和指南针来实现。

这个应用在解决一些几何问题时经常被使用。

2. 角平分线的证明在证明一些几何定理时，角平分线经常被使用。

通过证明一个角的平分线存在，我们可以得到一些重要的结论。

例如，证明一个三角形的角平分线相交于三角形的内心，可以得到一些关于三角形的重要性质。

3. 角平分线的优化问题在一些优化问题中，角平分线的性质可以帮助我们找到最优解。

例如，已知一个角和一条边的长度，我们需要找到一条从角的顶点到边上某点的线段，使得这条线段到角的两边的距离之和最小。

通过使用角平分线的性质，我们可以解决这个问题。

三、角平分线课件的设计为了更好地教授角平分线的概念和应用，我们可以设计一份角平分线的课件。

三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
THANK YOU
角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。

培优提能5
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·


,求 c.






解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×



bcsin A=×5c×sin=


c,所以


a=


c,即 a=
a=


c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=


c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得


cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→

→

→
→
→

两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2

A
M
小区C
P
O
N
B
பைடு நூலகம்
2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点
F,点P是AD上一点,且点D到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是 否平分∠BAC,并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
A
∵D到PE的距离与到PF的距离相等,
(
∴点D在∠EPF的平分线上．
34 P
解：连接OC
SABC SAOC SBOC SAOB
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
1 OM ( AB BC OM ) 2
1 4 32 64 2
B
O
P
A
DM
C
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长
E
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
A P
B
知识总结
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
s 1 ch 2
例2 如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到 △ABC三边的距离相等．若∠A＝40°,则∠BOC的度数 为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知,O到三角形三边的距离
相等,所以O是内心,即三条角平分线
的交点,AO,BO,CO都是角平分线,

平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
三角形内角平分线定理：
A
在ABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：ABBD AC CD
• 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的 平分线。
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC
• 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线 分线段成比例定理证明。
• 思路2：利用面积法来证明。
• 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 ∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC.
结论：使用面积法时，要善于从不同的角度 去看三角形的底和高。在该证法中，我们看 △BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作 底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为 底，而高是同高，图中并没有画出来。你学 会这种变换
1 .在 A B C中 , A D是 A B C的 平 分 线 ， A B = 5 cm ， A C = 4 cm ， B C = 7 cm ， 则 B D = _ _ _ _ _ _ _
2 . 分 线 ， A B -A C = 5 , B D -C D = 3 , D C = 8 ， 则 A B = _ _ _ _ _ _ _
• 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
• ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）

B
D
C
一特个点三：角（形1）有三几角条形中的线中?有线什是么一特条点线？段；
（2(）三三条角)形的中线的一端平分这条边。
请画出这个三角形的另外两条中线，
你发现了什么？
A
F
E
B
D
C
三角形的三条中线交于一点．
称之为三角形的重心．
1、AD是ΔABC的角平分线（如图），
那么∠BAC= 2 ∠BAD；
2、AE是ΔABC的中线（如图），那么
的角平分线如图那么如图af是abc的角平分线ae是bc边上的中线选择1beec2cafbac3afbcfab4aecb在abcabc中中cdcd是中线是中线已已知知bcbcac5cmdbcac5cmdbc的周长为25cm25cm求求adcadc的周长的周长
怎样才能得到一个角的平分线?
角平分线
用量角器或折纸的办法
B
D
C
三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心．
例１、如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知∠B=4
0
0
５ , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
(1) ∠BAE (2) ∠AEB
解：（１）∵ＡE是△ABC的角平分线
∴∠CAE=∠BAE= 1 ∠BAC
C
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=1800
（ 三角形的内角和定理 ）
∴∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750
∴∠BAE=37.50
A
E B
（2）∵∠AEB=∠CAE+∠C （ 三角形的一个外角等于和它不 ） 相邻的两个内角的和
∠CAE=∠BAE=37.50 ∴∠AEB=37.50+600=97.50

三角形外角平分线定理推 论
外角平分线定理可以推导出其他相关定理， 如外角的性质定理、外角的判定定理等。
04
三角形内角平分线与外角 平分线的实际应用
几何作图
三角形的内角平分线
将三角形的每个内角平分，形成两个相等的角。在几何作图中，可以利用内角平分线来辅助作图，例如在等腰三 角形中，通过内角平分线可以找到底边的垂直平分线。
根据三角形外角平分线定理，可以推导出一些重要的结论，如三角形外角等于两 个内角的和、外角平分线与相邻两边形成的角相等等。
三角形外角平分线的性质定理证明
• 证明：三角形外角平分线的性质定理可以通过构造辅助线来证明。首先，从三角形的一个顶点出发，作一条与相对边平行 且等于相对边的线段，然后证明这条线段与外角平分线重合。通过证明平行线的性质和全等三角形的性质，可以证明外角 平分线的性质定理。
三角形内角平分线与外角平 分线
目录
• 三角形内角平分线 • 三角形外角平分线 • 三角形内角平分线与外角平分线的比较 • 三角形内角平分线与外角平分线的实际应
用
01
三角形内角平分线
定义与性质
定义
三角形内角平分线是从三角形的 一个角的顶点出发，将相对边分 成两段，与相对边所形成的两条 线段长度相等的线段。
三角形内角平分线的性质定理证明
• 证明：我们可以使用三角形的全等定理来证明三角形内角平分 线的性质定理。首先，我们可以在三角形内选择一个角的顶点， 并从该顶点出发画出一条线段，将相对边分成两段，并使这两 段长度相等。然后，我们可以使用三角形的全等定理来证明这 条线段与相对边所形成的两条线段长度相等。最后，我们可以 证明这条线段就是三角形内角平分线。
在三角形中，通过外角平分线可以将三角形划分为两个面积相等的子三角形，从而简化了面积的计算 。

角平分线的定义
从一个角的顶点引出一条射线 ，把这个角分成两个相等的角 ，这条射线叫做这个角的平分 线。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线的性质定理的推 论
角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上。
课后作业布置
作业1
阅读教材，复习本节课所学内容，并 完成教材上的练习题。
05
角平分线在几何变换中作 用
旋转对称中心确定方法
旋转对称中心定义
若一个平面图形绕着某一点旋转一定角度后 能与自身重合，则该点称为旋转对称中心。
利用角平分线确定旋转对 称中心
在角的两边上分别取两点，连接这两点的线 段的中点即为该角的旋转对称中心。
轴对称图形判断依据
轴对称图形定义
若一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形称为轴对 称图形。
根据角平分线的性质，角平分线将相对边按照两邻边的比 例分割。因此，我们可以通过作平行线和利用相似三角形 的性质来证明此结论。
解析
根据角平分线的性质，角平分线是到角的两边距离相等的 点的集合。因此，我们可以通过证明三角形ABD和三角 形ACD全等，从而得出AB=AC。
课堂小结与知识点回顾
课堂小结
本节课我们学习了角平分线的 性质，包括角平分线的定义、 性质定理和性质定理的推论。 通过典型例题的解析，我们加 深了对角平分线性质的理解和 应用。
应用举例
例题1
例题3
已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线 ，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且 DE=DF。求证：△ABD≌△ACD。
已知△ABC中，∠B=2∠C，AD是 ∠BAC的平分线。求证：AC=AB+BD 。

在解决பைடு நூலகம்际问题中的应用
实际应用
在建筑设计、工程绘图等领域， 角平分线性质可以帮助确定物体 的位置和方向，从而保证设计的 准确性和施工的顺利进行。
案例分析
在设计桥梁、建筑或管道时，可 以利用角平分线性质来确定结构 的支撑点或固定点，以确保结构 的稳定性和安全性。
在数学竞赛中的应用
竞赛题特点
数学竞赛中常常出现与角平分线性质相关的题目，这类题目 通常涉及多个知识点，需要学生具备较高的逻辑思维和推理 能力。
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用符号“∟”表 示角平分线。
例如，若射线OA是∠AOB的角平分线 ，则标记为“OA∟∠AOB”。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
角平分线定理：对于三角形中的角平分线 ，它所对的边与该角的对边之比等于其他 两边之比。即，在△ABC中，若AD是 ∠BAC的角平分线，则BD/DC=AB/AC。
在其他领域的应用
农业灌溉
在农田灌溉中，可以利用 角平分线性质优化灌溉管 道和水渠的布局，提高灌 溉效率。
航空导航
在航空导航中，可以利用 角平分线性质确定航向和 飞行高度，确保航行安全 。
军事战略部署
在军事战略部署中，可以 利用角平分线性质优化部 队的驻扎和部署，提高作 战效率。
THANKS
感谢观看
在道路规划中的应用
01
02
03
道路交叉口设计
利用角平分线性质，合理 规划道路交叉口的位置和 形状，提高交通流畅度和 安全性。
道路指示牌设置
根据角平分线性质，合理 设置道路指示牌的位置， 确保驾驶员能够清晰地获 取指示信息。
道路排水设计
在道路规划中，可以利用 角平分线性质优化排水系 统的布局，提高道路的排 水性能。

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重、难点知识点睛中考要求第十讲 全等三角形中的角平分线与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【解析】 ∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．ADOCB重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

角平分线定理
01
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
利用角平分线定理证明线段比例
02
通过构造角平分线，利用角平分线定理证明线段之间的比例关
系。
利用角平分线定理证明等腰三角形
03
通过构造角平分线，证明三角形中的两个底角相等，从而证明
是等腰三角形。
在三角形中的实际应用
利用角平分线确定角的度数
通过构造角平分线，将一个较大的角分成两个较小的角，从而确定角的度数。
判定方法在多边形中的应用
在多边形中，可以通过作对角线来判定角平分线。如果一个 点到多边形两个相对顶点的距离相等，那么这个点就是角平 分线上的点。
在多边形中，也可以通过作角平分线上的点到对边的垂线来 判定角平分线。如果这条垂线与对边平行，那么这个点就是 角平分线上的点。
03
角平分线的应用
在几何证明题中的应用
角平分线的性质与 判定通用课件
目 录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线的应用 • 角平分线的作法 • 角平分线的性质与判定的联系与
区别
01
角平分线的性质
定义与性质
角平分线定义
从一个角的顶点出发，将该角分 为两个相等的部分，这条线段被 称为该角的角平分线。
角平分线性质
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
04
角平分线的作法
通过给定角的两边作垂线
总结词
通过角的两边作垂线，可以确定角平 分线。
详细描述
在给定角上，通过角的两边作垂直于 对边的垂线，这两条垂线会在角的顶 点处相交，且交点到角的两边距离相 等，这个交点就是角平分线的交点。
通过给定角的顶点作对边的平行线
总结词

E
10
6
DC = DE，DB = DB，
D
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
B
∴BE ＝ BC ＝ 8. ∴ AE＝AB - BE = 2.
8
C
∴△AED的周长 = AE + ED + DA = 2 + 6 = 8.
6.如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交 点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的距离.
解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
求证：PD = PE.
D
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
C P
在 △PDO 和 △PEO 中，
O
E
B
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP， OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE.
作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、
PE 的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
D AC P
第一次 第二次
O
EB
第三次
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系，
写出结：_P_D__=__P_E___
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等

第2课时 三角形三条内角的平分线1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质；(重点)2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．(难点)一、情境导入 从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC 边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？二、合作探究 探究点：三角形角平分线的性质及应用 【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝70°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．125°C ．130°D ．140°解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以O 是内心，即三条角平分线的交点AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝12∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝12∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－70°＝110°，∠OBC ＋∠OCB ＝55°，∠BOC ＝180°－55°＝125°，故选B. 方法总结：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【类型二】 三角形内外角平分线的应用如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；(2)作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点．解：(1)可选择的地点有4处，如图：P 1、P 2、P 3、P 4，共4处； (2)能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到．三、板书设计三角形三条内角的角平分线三角形的三条内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD 中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO＝OB，∠AOC＝∠BOD，∠C＝∠D，∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF ＝12OD，OE＝12OC，∴EO＝FO，又∵AO ＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC 的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB ＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO 的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝12GH·h，S△FGH ＝12GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝12BC ＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求出四边形AGCD的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE＝12AG，DF＝12DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴BG＝CG＝12BC＝6.∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。

作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论

逆定理推导过程
3. 连接AD。由于DE=DF（已 知），AD=AD（公共边），且 ∠AED=∠AFD=90°。
4. 根据HL全等条件， △AED≌△AFD，所以 ∠EAD=∠FAD。
5. 因此，AD是∠BAC的平分线 ，即点D在∠BAC的平分线上 。
02
典型例题解析与思路拓展
已知条件求解问题类型
留下悬念，激发下节课兴趣
我们已经学习了角平分线的性质 定理，那么它的逆定理是否成立
呢？
如果角平分线的性质定理的逆定 理成立，那么它在几何问题中又
有何应用呢？
在下节课中，我们将继续探索角 平分线的奥秘，敬请期待！
THANK YOU
感谢聆听
已知角平分线和一个 角，求另一个角的大 小
已知角平分线和两边， 判断三角形的形状
已知角平分线和一边， 求另一边的长度
构造辅助线进行证明方法
通过角平分线构造等腰三角形，利用等腰三角形的 性质进行证明
通过角平分线构造平行线，利用平行线的性质进行 证明
通过角平分线构造相似三角形，利用相似三角形的 性质进行证明
教师总结
教师对全班探究活动进行总结 ，强调角平分线性质定理的重 要性和应用广泛性，鼓励学生 继续深入探究。
04
练习题精选与答案解析
基础练习题
题目1
已知△ABC中，AD是∠BAC的平 分线，交BC于点D，若AB =
8cm，AC = 6cm，则S△ABD： S△ACD = _______．
题目2
在△ABC中，AD平分∠BAC， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 若S△ABC = 18cm²，AB = 6cm， AC = 4cm，则DE = _______．
若射线AD是∠BAC的平分线，则 点D到∠BAC的两边AB和AC的距 离相等。

方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
F
CD PAB，AD PBC
A
B
DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两边，
AE EB 所得的对应线段成比例）
同理可得 : EF DF
EB DC
DE DF AE DC
例2：如图,
在VABC中，E为中线AD上的一点，DE AE

1 2
, 连结BE,
延长BE交AC于点F.求证 : AF=CF
DH DH AF CF
AF CF
例3 如图，已知：AB PCD,AC,BD交于O,OE PAB交BC于E.求证：
11 1 AB DC OE
证明：Q OE P AB
OE CE K K (1) AB BC
Q OE PDC
OE BE K K (2) DC BC
（1）（2）得：OE OE CE BE BC 1 AB DC BC BC BC

1gABgADgsin BAD 2
SVDAC

1 gCDgh 2

1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
D在AB边上,且