三角形内外角平分线性质定理

直角三角形角平分线的性质直角三角形是指一个三角形中存在一个内角为90度的角。

直角三角形角平分线，顾名思义，就是将直角三角形的直角角平分为两个相等的角的线段。

下面将介绍直角三角形角平分线的性质。

1. 角平分线相等性：直角三角形的角平分线将直角角等分为两个相等的角。

这意味着，当一条直角三角形的角平分线与另一条角平分线相交时，它们所形成的两个角必然相等。

2. 角平分线与斜边的关系：直角三角形的角平分线与斜边的关系很特殊，它们具有以下性质：(a) 角平分线与斜边垂直：直角三角形的角平分线与斜边垂直相交。

这意味着，角平分线与斜边所形成的两个角互为互补角，它们的和为90度。

也就是说，两个角的度数加起来等于90度。

(b) 角平分线与斜边的比例关系：在直角三角形中，角平分线与斜边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对斜边的比值。

这一比例关系被称为角平分线定理，它表达为：AC / AB = BC / AB = AC / BC其中，AC和BC分别为直角角边，AB为斜边。

3. 角平分线与底边的比例关系：直角三角形的角平分线与底边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对底边的比值。

这一比例关系也被称为角平分线定理。

4. 角平分线的交点：直角三角形的角平分线两两相交于直角的外心，也就是直角的顶点所在的点。

这个点被称为直角三角形的外心。

5. 角平分线与直角角边的关系：直角三角形的角平分线与直角角边的交点，将直角角边分割成两个部分，其长度比等于斜边与整个直角角边的比值。

这一比例关系也被称为角平分线定理。

通过研究直角三角形角平分线的性质，我们可以应用这些性质去解决一些几何问题。

例如，可以利用角平分线与斜边的垂直关系来证明直角三角形的三个内角之和为180度；也可以利用角平分线与底边的比例关系来计算直角三角形的边长等等。

总之，直角三角形角平分线具有多种性质，包括相等性、垂直性、比例关系以及与直角的外心等特点。

这些性质为解决几何问题提供了有力的工具和方法。

三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。

其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。

本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。

1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。

三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。

2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。

对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。

（2）角平分线分割对边成比例。

对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。

（3）角平分线长度关系。

对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。

即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。

（4）角平分线的外角等于直角。

对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。

3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。

内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。

（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。

总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。

角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。

角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。

通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目． 例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

中考重点三角形的角平分线定理中考重点：三角形的角平分线定理三角形是初中数学中的基础知识，其中一个重要的定理是角平分线定理。

角平分线定理是指：三角形内一条角的平分线把对角分成相等的两部分。

一、角平分线定理的表述在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。

二、角平分线定理的证明我们可以通过几何推理来证明角平分线定理。

下面是证明的步骤：1. 连接BE和AC，延长BE至直线AC的另一侧，交于点D。

2. 由于角BAC和角BAD是同一角的两个部分，所以它们的度数相加等于360度，即∠BAC+∠BAD=360°。

3. 同理，∠EAC+∠EAD=360°。

4. 由于角BAD是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠EAC，即∠BAE+∠EAC=180°。

5. 同理，∠BAD=∠EAD，即∠BAD+∠EAD=180°。

6. 将3式和5式相加得到∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=540°。

7. 由于∠BAC+∠BAD+∠EAC+∠EAD=360°+180°=540°，所以BE和AC平行，即BE是∠BAC的平分线。

根据以上证明过程，我们可以得出结论：在三角形ABC中，角BAD的平分线BE将角BAC分成等于角BAD的两个部分，即∠BAE=∠EAC。

三、角平分线定理的应用角平分线定理在解决三角形问题时非常有用。

我们可以利用这个定理来求解三角形内部某个角的度数或者证明两条角平分线相交于三角形的内心。

例如，我们可以利用角平分线定理来证明三角形内心的性质。

三角形的内心是三角形内角平分线的交点，可以用来证明三角形的垂心、重心等性质。

在解题过程中，我们也可以利用角平分线定理来确定一些角的度数。

例如，在某个三角形中已知一条角的度数，要求另一条角的度数，我们可以利用角平分线定理将已知角平分成两个相等的角，从而求得所需角的度数。

直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。

具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。

这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。

但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。

总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。

直角三角形的角的平分线
直角三角形的角平分线到角两边的距离相等。

直角三角形三条角平分线的交点叫内心，即内切圆的圆心。

直角三角形的内心到三边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

由内心定理可知，内心到三边的距离相等若三边分别为a1、a2、a3，周长为p，则内心的坐标为(a1/p,a2/p,a3/p)。

直角三角形性质
直角三角形是一个几何图形，是有一个角为直角的三角形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种。

特殊性质有：
1、勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、在直角三角形中，两个锐角互余。

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、射影定理，在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边的射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

6、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。

这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。

一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。

2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。

3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。

二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。

海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。

而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。

这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。

2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。

我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。

然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。

3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。

我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。

如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。

总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。

直角三角形角平分线的性质
第一点是平分线把角分成一对相等的角，第二点是平分线上的点离角的两边是等距的。

三角形的三条平分线相交于一点，到各边的距离相等，称为心；从一个角的顶点画一条射线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

性质定理
1.在直角三角形中，两个锐角是互补的。

2.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。

3.直角三角形的两个直角的乘积等于斜边和斜边高的乘积。

4.30度的锐角对着斜边一半的直角边。

5.直角三角形的两个直角的平方和等于斜边的平方。

判定定理
1.在一个角内，如果一条射线的端点与该角的顶点重合，并且一个角被分成两个相等的角，那么这条射线就是该角的平分线。

2.在一个角内，到角两边距离相等的点在角的平分线上。

3.两个角有一条公共边，并且相等。

三角形中的角平分线定理三角形中的角平分线定理是基本的几何定理之一，它给出了关于三角形内部角平分线的性质和特点。

在本文中，我们将深入探讨角平分线定理的定义、证明以及相关应用。

定义：在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，且将该角划分为两个相等的角，那么这条线段就是该角的角平分线。

证明：为了证明角平分线定理，我们假设在三角形ABC中，角A的角平分线AD将角A划分为两个相等的角。

我们需要证明AD是BC边上角BAC的角平分线。

首先，由三角形内角和定理可知，角A + 角B + 角C = 180°。

因为AD是角A的角平分线，所以角BAD和角DAC相等，即角BAD = 角DAC。

根据三角形内角和定理，角BAD + 角DAC + 角B = 180°。

由于角BAD = 角DAC，我们可以将该等式改写为2 ×角BAD + 角B = 180°。

进一步整理可得2 ×角BAD = 180° - 角B，即角BAD = (180° - 角B)/2。

又因为角A + 角BAD = (180° - 角B)/2 + 角B = 180°/2 = 90°，可以得出角BAD = 90° - 角B/2。

同样地，我们可以利用类似的步骤证明角CAD = 90° - 角C/2。

由于角BAD = 90° - 角B/2，角CAD = 90° - 角C/2，我们可以得出结论：角BAC的角平分线AD将角BAC划分成两个相等的角BAD和角CAD。

应用：三角形中的角平分线定理不仅仅局限于理论证明，它在解决实际问题时也有着广泛的应用。

首先，角平分线定理可以用于求解三角形内部角的大小。

当我们知道了角平分线的长度和其他两个角的大小时，可以通过角平分线定理计算出未知角的大小。

其次，角平分线定理还可以用于证明两条线段相互平分对方所在的角。

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

三角形内角平分线定理
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。

三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。

定理1：
角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。

逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。

定理2：
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

三角形内外角平分线定理【三角形内外角平分线定理】是指在一个三角形中，如果一条直线既是一内角的角平分线，又是另外一个外角的角平分线，那么它将平分这个三角形的第三个内角。

这个定理在解决一些与三角形相关的几何问题时非常有用。

通过运用该定理，我们能够更深入地理解三角形的内外角关系，拓展我们对三角形性质的认识。

让我们来详细解释一下三角形内外角平分线定理的几何意义。

假设我们有一个三角形ABC，其中角A是一个内角，角D是一个外角，线段DE是角A的内角平分线，同时也是角D的外角平分线。

根据这个定理，我们可以得出结论：线段DE将平分角B的度数。

这意味着角BED和角CEA的度数相等。

那么，如何证明三角形内外角平分线定理呢？我们可以运用一些基本的几何知识和性质来推导。

我们知道在三角形ABC中，三个内角的和为180度。

假设角A的度数为x，角BED和角CEA的度数都设为y。

根据内角的性质，我们可以得到以下等式：x + y + (180 - x) = 180x + y = x + 180 - xy = 180从上述推导中可以看出，我们无法得出具体的角度度数。

在具体问题中，我们可以将该定理与其他定理、关系和性质结合使用，以解决更复杂的问题。

三角形内外角平分线定理不仅具有几何意义，还深刻影响着我们对数学抽象概念的理解。

这个定理揭示了三角形内外角的平分线之间的关系，通过思考和探索，我们可以发现更多有趣且深入的现象。

通过应用这个定理，我们能够更好地解决与三角形相关的问题。

总结来说，三角形内外角平分线定理是一个重要的几何性质。

它揭示了三角形内外角平分线之间的关系，并为我们解决与三角形相关的问题提供了有力的工具。

在解决问题时，我们可以从简单的情况出发，逐步深入，灵活运用不同的原理和方法。

通过不断学习和思考，我们能够提高对三角形性质的理解和运用能力。

对于我个人而言，三角形内外角平分线定理是几何学中一条重要的定理。

它不仅仅是数学知识的一部分，更是一种思维方式和解决问题的工具。