高等数学微积分课件8.2.2 第二型曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+AB ABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的?s s ，?s s 是一小段弧的弧长，?s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x ,y坐标的增量?s s =s s −s s −1，?s s =s s −s s −1，?s s 与?s s 是可正可负的。

第二类曲线积分计算公式曲线积分是高等数学中的重要概念，它是对向量场在曲线上的积分。

在积分过程中，我们需要根据曲线的特性来选择适合的计算公式。

第二类曲线积分计算公式是其中一种常用的公式，它可以帮助我们计算向量场在曲线上的积分。

本文将详细介绍第二类曲线积分计算公式的定义、性质以及应用。

一、第二类曲线积分计算公式的定义在介绍第二类曲线积分计算公式之前，我们需要先了解一下曲线积分的概念。

对于一个二维向量场 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，我们可以定义其在曲线 $C: y=f(x)$ 上的积分为：$$int_C F(x,y)cdot ds=int_a^bF(x,f(x))cdotsqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中，$ds=sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ 表示曲线元素。

这个积分式子就是曲线积分的基本形式。

在这个基础上，我们可以继续分类讨论，分成第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第二类曲线积分是指曲线积分中，积分项中的 $F(x,y)$ 为一个梯度场的情况。

具体来说，如果存在一个标量场$varphi(x,y)$，使得 $ablavarphi(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，那么我们就称$F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ 为一个梯度场。

此时，第二类曲线积分的计算公式为：$$int_C F(x,y)cdot ds=varphi(B)-varphi(A)$$其中，$A$ 和 $B$ 分别表示曲线 $C$ 的起点和终点。

也就是说，第二类曲线积分的结果只与曲线的起点和终点有关，与曲线的具体形状无关。

二、第二类曲线积分计算公式的性质第二类曲线积分计算公式有以下几个重要的性质：1. 线性性质对于任意两个梯度场 $F_1(x,y)=(P_1(x,y),Q_1(x,y))$ 和$F_2(x,y)=(P_2(x,y),Q_2(x,y))$，以及任意两个标量场$varphi_1(x,y)$ 和 $varphi_2(x,y)$，有：$$int_C (F_1(x,y)+F_2(x,y))cdot ds=int_C F_1(x,y)cdot ds+int_C F_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdot F(x,y))cdot ds=kcdotint_C F(x,y)cdot ds$$$$int_C (varphi_1(x,y)+varphi_2(x,y))cdot ds=int_C varphi_1(x,y)cdot ds+int_C varphi_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdotvarphi(x,y))cdot ds=kcdotint_Cvarphi(x,y)cdot ds$$其中，$k$ 是任意常数。

向相一致。设
f (x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k
是定义在 L 上的向量值函数，则称
∫ f ⋅ τ ds = ∫ [P(x, y, z) cosα + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cosγ ]ds
L
∫ f ⋅τ ds = - ∫ f ⋅τ ds 。
L
-L
注意这个等式两边的τ是方向相反的。
性质 2 （线性性） 设两个向量值函数 f , g 在定向的分段光滑曲
线 L 上的第二类曲线积分存在，则对于任何常数α, β ，α f + βg 在 L 上
的第二类曲线积分也存在，且成立
∫ (α f + βg) ⋅ τ ds = α ∫ f ⋅ τ ds + β ∫ g ⋅ τ ds 。
在 L 上连续，那么由定理 14.1.1 得到第二类曲线积分的计算公式
∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
L
= ∫ [P(x, y, z) cosα + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cosγ ]ds
L
=
b
∫a
[
P(
x(t),
z
F (ξ i ,ηi ,ζ i )
Pn=B
功。
Pi+1
Ki τ
P0=A O
Pi
P1 P2
y
x
为了解决这个问题，在曲线 L 上插入一些分点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 ), ", Pn−1 (xn−1, yn−1 , zn−1 ) ，

x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角.
x2(t) y2(t)
cos sgn( )x(t) sin sgn( ) y(t) ;
x2(t) y2(t)
x2(t) y2(t)
其中是 s 与x轴正向的夹角. 由定义得:
P( x, y)dx Q( x, y)dy [P( x, y)cos Q( x, y)sin]ds
的切向量的方向余弦为cos ,cos ,cos ,则上的三个第
二型(对坐标的)曲线积分可定义为:
P( x, y, z)dx P( x, y, z)cosds
Q( x, y, z)dy Q( x, y, z)cos ds
R( x, y, z)dz R( x, y, z)cosds 即 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
若曲线L
:
x y
x(t ) ,
y(t )
t
则
f ( x, y)ds
f [ x(t ), y(t )]
x 2 (t ) y 2 (t )dt
L
使用上述计算方法应注意 :
(1).曲线L必须表示为参数方程的形式.
(2).定限后的下限一定小于上限 .
特别地,当曲线L可用显函数表示为L : y y( x), x [a, b]
定理、设L是光滑的有向曲线(从A到B), L可用参数方程
表示为:
L
:
x
y
x(t ) ,
y(t )
t由变化到 , 其中t 对应L的
起点A( x( ), y( )), t 对应于L的终点B( x( ), y( )),
函数x(t ), y(t )导数连续, 设向量值函数