高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》章末复习+单元测试(整理含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系章末检测（A）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH 交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．下列推理错误的是( )A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④4．在空间中，下列说法中不正确的是( )A．两组对边相等的四边形是平行四边形B．两组对边平行的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β8．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有( )A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．异面直线D ．相交成60°角10．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A ．12512π B．1259π C．1256π D．1253π11．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D112．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC ＝60°，那么这个二面角大小是( )A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．(12分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD．19．(12分) 如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．21．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求点A到平面BC′D的距离．22．(12分) 如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC ∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°．(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明CD⊥平面ABF；(3)求二面角B－EF－A的正切值．第二章点、直线、平面之间的位置关系(A) 答案1．B [(如图)，∵P∈HG，HG⊂面ACD，∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，面BAC∩面ACD＝AC；∴P∈AC，选B．]2．C [若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．]3．D [当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]4．A5．D [由于AD ∥A 1D 1，则∠BAD 是异面直线AB ，A 1D 1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．] 6．B7．C [A 中还有可能n ⊂α；B 中n ∥m ；D 中还有可能m ∥β或m ⊂β或相交不垂直；C 中，由于m ∥β，设过m 的平面γ与β交于b ，则m ∥b ，又m ⊥α，则b ⊥α，又b ⊂β，则α⊥β，所以C 正确．]8．A [∵四边形SG 1G 2G 3是正方形， ∴SG 1⊥G 1E ，EG 1⊥G 2F ，FG 3⊥SG 3．当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变， EG ，GF 成为四面体的面EGF 的相邻两条边，因此，在四面体S －EFG 中侧棱SG ⊥GE ，SG ⊥GF ， ∴SG ⊥平面EFG ．]9．D [恢复成正方体(如图)， 易知△ABC 为等边三角形， 所以∠ABC ＝60°．选D ．]10．C [球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝1256π．选C ．] 11．B [证BD ⊥面CC 1E ，则BD ⊥CE ．]12．A [连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三角形，设AD ＝a ， 则B ′C ＝AC ＝2a ，B ′D ＝DC ＝a ， 所以∠B ′DC ＝90°．] 13．9解析 由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD， 解得SD ＝9． 14．a >6解析 (如图)由题意知：PA ⊥DE ， 又PE ⊥DE ，所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE ． 易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD ，即3a －x ＝x3．∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6． 15．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)解析 由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 16．④解析 ①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面；③a 可能与α内的直线异面． 17．解 直线MN ∥平面A 1BC 1， 证明如下：∵MD /∈平面A 1BC 1，ND /∈平面A 1BC 1．∴MN ⊄平面A 1BC 1．如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1． 又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1．18．证明 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴EF ∥面ACD ． (2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ． ∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ．又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ， ∴面EFC ⊥面BCD ．19．证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ， ∴SA ⊥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC ． ∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥AE ． 又SB ⊥AE ，∴AE ⊥平面SBC ．∴AE ⊥SC ．又EF ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEF ． ∴AF ⊥SC ．(2)∵SA ⊥平面AC ，∴SA ⊥DC ．又AD ⊥DC ，∴DC ⊥平面SAD ．∴DC ⊥AG ．又由(1)有SC ⊥平面AEF ，AG ⊂面AEF ，∴SC ⊥AG ，∴AG ⊥平面SDC ，∴AG ⊥SD ．20．(1)证明连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 中点，∴OE ∥PA ．∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ，∴PA ∥面BDE ．∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝0，∴BD ⊥面PAC ．又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE ．(2)解 取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD ．∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ， ∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a ． ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3． 21．(1)证明 ∵点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上，∴C ′O ⊥平面ABD ，∴C ′O ⊥DA ．又∵DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ，∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥BC ′．又∵BC ⊥CD ，∴BC ′⊥C ′D ．∵DA ∩C ′D ＝D ，∴BC ′⊥平面AC ′D ．(2)解如图所示，过A 作AE ⊥C ′D ，垂足为E ，连接BE ．∵BC ′⊥平面AC ′D ，∴BC ′⊥AE ．∴AE ⊥平面BC ′D ．故AE 的长就是A 点到平面BC ′D 的距离．∵AD ⊥AB ，DA ⊥BC ′，∴AD ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥AC ′．在Rt △AC ′B 中，AC ′＝AB 2－BC ′2＝32．在Rt △BC ′D 中，C ′D ＝CD ＝33．在Rt △C ′AD 中，由面积关系，得AE ＝AC ′·AD C ′D ＝32×333＝6． ∴点A 到平面BC ′D 的距离是6．22．(1)解 因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED ．所以∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ．故ED ⊥CD ．在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22，CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos ∠CED ＝ED CE ＝223． 所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223．(2)证明 如图，过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°． 由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB ，从而CD ⊥AB ．又CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF ．(3)解 由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF ．因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF ．过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于点M ，则∠GNM 为二面角B －EF －A 的平面角．连接GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM ，从而BC ⊥GM ．由已知，可得GM ＝22． 由NG ∥FA ，FA ⊥GM ，得NG ⊥GM ．在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GM NG ＝14． 所以二面角B －EF －A 的正切值为14．。

新编人教版精品教学资料(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：画图或在正方体模型中观察可得．答案： B2．在空间四边形各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：由已知P∈EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC，同理可得，P∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.答案： B3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B ，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故正确； 选项C ，若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故错误；选项D ，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系有三种可能：l ⊥β，l ∥β，l ⊂β，故错误． 答案： B4．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C －BM －A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析： 如图所示，由AB ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝ 2.∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， ∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22， ∴∠CMA ＝90°. 答案： C5．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．相交成60°解析： 如图所示，△ABC 为正三角形，故AB ，CD 相交成60°.答案： D6．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析： 根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.答案： D7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D1解析：由BD⊥AC，BD⊥AA1，知BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE.故选B.答案： B8．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23 B.33C.23 D.13解析：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD. 因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积交换易求得CH＝2 3.在Rt △CDH 中，sin ∠CDH ＝CH CD ＝23. 答案： A9．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195解析： 如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ， ∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.答案： B10.如图，点P 是△ABC 所在平面外一点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PO ⊥平面ABC 于点O ，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心解析： 如图所示，连接OA ，OC . 由于PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，所以PA ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ，所以BC ⊥PA .又PO ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ， 所以BC ⊥PO .又PO ∩PA ＝P ，所以BC ⊥平面PAO ，所以BC ⊥AO . 同理可证AB ⊥OC ，所以O 是△ABC 的垂心．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④若l 与α内的两条直线垂直，则直线l 与α垂直．上面命题中，正确的序号是________．(写出所有正确命题的序号)解析： ①即面面平行的判定定理；②即线面平行的判定定理；③由α内有一条直线垂直于l 不能得到该直线垂直于β，也就得不到α和β垂直，故不正确；④不符合线面垂直的判定定理，因此不正确．答案： ①②12．在四面体A －BCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为________．解析： 如图所示，取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ，DE . ∵AC ＝2，其余各棱长都为1，∴AD ⊥CD ，∴EF ⊥CD .又BF ⊥CD ， ∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角． ∵EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2.∴∠BEF 是直角． ∴cos ∠BFE ＝EF BF ＝33. 答案：3313．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．解析： 由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使得B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1.此题还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件．答案： B 1D 1⊥A 1C 114．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．解析： 如图，①取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD .故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ， 故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角， 而∠ABE ＝45°，∴③不正确．④分别取BC ，AC 的中点M ，N ，连接ME ，NE ，MN ，则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且EM ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角． 在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a ，∴△MEN 是正三角形， ∴∠EMN ＝60°，故④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.16．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．解析：(1) 证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2) 因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.所以CD⊥A1D，CD⊥DE.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.又∵A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面ADC.所以V三棱锥C－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.17．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D 是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．解析：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1，∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.18．(本小题满分14分)如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D 为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值．解析：(1)证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，∴PD＝12AB＝10，∴AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角．由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，∴sin∠BPC＝BCPB＝25.。

《点、直线、平面之间的位置关系》章末综合测试B卷(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是()．4．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．相交成60°5．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°6．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小( ) A ．变大 B ．变小 C ．不变D ．有时变大有时变小8．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.11959．在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°10．如图，PC ⊥平面ABC ，CB ⊥AB ，P A 与平面ABC 所成的角为θ1，P A 与AB 所成的角为θ2，平面P AB 与平面ABC 所成的角为θ3，则( ) A ．cos θ1cos θ2＝cos θ3 B ．sin θ2sin θ3＝sin θ1 C ．sin θ1sin θ3＝sin θ2 D ．cos θ1cos θ3＝cos θ2二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．下列命题，正确的个数是________．①如果a 、b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面； ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果平面α的同侧有两点A ，B 到平面α的距离相等，则AB ∥α.12．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G 分别是棱BB1、AA1、AD的中点，则平面A1DE与平面BGF的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．13．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于点A，B，交β于点C，D，且P A＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．14．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．15．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C 为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分8分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面ACD1∥平面A1BC1.17．(本小题满分8分)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．18．(本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE.19．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求异面直线AC与EM所成角的大小；(2)求证：平面BDE⊥平面BCD.20．(本小题满分12分)已知等边三角形ABC的边长为a，AD为BC上的高，沿平行于BC 的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ.设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，x 为何值时，d2取得最小值，最小值是多少？参考答案一、选择题1.解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a 和b ，所以可以在直线a 上任取一点A ，则A ∉b ，过A 作直线c ∥b ，则过a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α. 2.解析：选B.易知m ，n 所成的角与二面角的大小相等，故选B.3.解析：选B.分别考虑该六边形在左、右侧面，前、后侧面及上、下底面上的投影，即可发现选项B 正好是上、下底面上的投影．4.解析：选D.如图所示，△ABC 为正三角形，故AB ，CD 相交成60°.5.解析：选D.取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，则∠EFH 为所求， 可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1， 从而可得∠EFH ＝30°.6.解析：选D.选项A 的已知条件中加上m ⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B 错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C 错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D 正确，由n ⊥α，n ⊥β，可得α∥β，又因为m ⊥β，所以m ⊥α.7.解析：选C.由于直线l 垂直于平面ABC ，∴l ⊥BC ，又∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面APC ，∴BC ⊥PC ，即∠PCB 为直角，与点P 的位置无关，故选C.8.解析：选B.如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE . ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ， ∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，∴PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135. 9.解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝ 2.∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ，∴∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°.10.解析：选B.∵CB ⊥AB 且PC ⊥平面ABC ， ∴AB ⊥平面PBC ， ∴AB ⊥PB .∴∠P AC ＝θ1，∠P AB ＝θ2，∠PBC ＝θ3.∴sin θ1＝PC P A ，sin θ2＝PB P A ，sin θ3＝PCPB ，则有sin θ1sin θ2＝PC PB＝sin θ3.即sin θ1＝sin θ2sin θ3.二、填空题11.解析：在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AA ′∥BB ′，AA ′却在过BB ′的平面AB ′内，故命题①不正确；AA ′∥平面B ′C ，BC ⊂平面B ′C ，但AA ′不平行于BC ，故命题②不正确，③显然正确． 答案：112.解析：在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是棱BB 1、AA 1、AD 的中点，所以FG ∥A 1D ，所以FG ∥平面A 1DE ，同理FB ∥平面A 1DE ，又FG ∩FB ＝F ，所以平面BGF ∥平面A 1DE . 答案：平行13.解析：若点P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则P A PC ＝ABCD ，可求得CD ＝20；若点P 在平面α，β之间，可求得CD ＝4. 答案：20或414.解析：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，易知AE ⊥面BB 1C 1C (图略)，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：60°15.解析：设AC ∩BD ＝O ，∵翻折后AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 即为二面角的平面角，则∠AOC ＝120°，且AO ＝1，∴d ＝1×sin 60°＝32.答案：32三、解答题16.证明：(1)过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线EM ，FN ，交AB ，BC 于M ，N ，连接MN .∵BB 1⊥平面ABC ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN .∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ， ∴AE ＝BF ， 又∠B 1AB ＝45°＝∠C 1BC ，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM ＝FN . ∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF ∥MN ，而MN ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC . (2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∵AD 1∥BC 1，CD 1∥A 1B ，又AD 1∩CD 1＝D 1，BC 1∩A 1B ＝B ， ∴平面ACD 1∥平面A 1BC 1.17.解：(1)证明：由已知得， △ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，则CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又因为CG ∩BG ＝G ， 因此AD ⊥平面BCG .由题意，EF 为△DAC 的中位线， 所以EF ∥AD .所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内作AO ⊥CB ，交CB 的延长线于O (图略)， 由于平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ， 所以AO ⊥平面BCD . 又G 为AD 的中点，因此G 到平面BCD 的距离h ＝12AO .在△AOB 中，AO ＝AB sin 60°＝3，所以V D -BCG ＝V G -BCD＝13S △BCD×h ＝13×12BD ·BC sin 120°×h ＝12. 18.证明：(1)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC .又∵AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD .∵AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1， 且CC 1∩DE ＝E ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)法一：∵A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， ∴A 1F ⊥B 1C 1.又∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥A 1F .又∵CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，且CC 1∩B 1C 1＝C 1， ∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知，AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F ∥AD . 又∵AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴直线A 1F ∥平面ADE .法二：由(1)知，AD ⊥平面BCC 1B 1， ∵BC ⊂平面BCC 1B 1，∴AD ⊥BC .∵A 1B 1＝A 1C 1，∴AB ＝AC .∴D 为BC 的中点． 连接DF (图略)，∵F 是B 1C 1的中点， ∴DF 綊BB 1綊AA 1.∴四边形ADF A 1是平行四边形．∴A 1F ∥AD .∵AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴A 1F ∥平面ADE .19.解：(1)∵M 为DB 的中点，如图，取BC 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥DC ，且MN ＝12DC ，∴MN ∥AE ，且MN ＝AE ，∴四边形ANME 为平行四边形， ∴AN ∥EM ，∴EM 与AC 所成的角即为AN 与AC 所成的角． 在Rt △ABC 中，∠CAN ＝45°，∴异面直线AC 与EM 所成的角为45°. (2)证明：由(1)知EM ∥AN ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AN ⊥BC ， ∴AN ⊥平面BCD ，∴EM ⊥平面BCD .∵EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD . 20.解：∵平面APQ ⊥平面PBCQ ，又AR ⊥PQ ，∴AR ⊥平面PBCQ ，从而AR ⊥RB . 在直角三角形BRD 中，BR 2＝BD 2＋RD 2＝(12a )2＋(32a －x )2，AR 2＝x 2，故d 2＝BR 2＋AR 2＝2x 2－3ax ＋a 2(0<x <32a )，所以当x ＝34a 时，d 2取得最小值58a 2.。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试题新人教A版必修2(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案 B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案 B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是( )A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案 DA．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( )A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案 B①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案 CA．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案 A①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案 C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C，故选D.答案 D①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 解析 易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE . ∵EF 在直线B 1D 1上，易知B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ， V A －BEF ＝13×12×12×1×22＝224. ∴A 、B 、C 选项都正确，由排除法即选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知A ，B ，C ，D 为空间四个点，且A ，B ，C ，D 不共面，则直线AB 与CD 的位置关系是________．解析 如图所示：由图知，AB 与CD 为异面直线．答案 异面14．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，F ，G ，H ，如果EH ，FG 相交于一点M ，那么M 一定在直线________上．答案 BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．使△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD 与CD 的关系为________； (2)∠BAC ＝________. 解析 (1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°， ∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a . ∴BD ＝CD ＝22a . ∴折叠后BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°. 答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则：①四边形BFD ′E 一定是平行四边形；②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号) 解析 如图所示：∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解 (1)点M 为PD 的中点．理由如下：连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则点O 为BD 的中点，连接OM ， ∵PB ∥平面ACM ，∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线，故点M 为PD 的中点． (2)∵PA ⊥底面ABCD ，又底面是边长为1的正方形， ∴S 正方形ABCD ＝1，S △PAB ＝S △PAD ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×1×2＝22，S △PCD ＝12×1×2＝22. 故四棱锥P －ABCD 的表面积为S ＝1＋2×12＋22＋22＝2＋ 2. 19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴APAB＝ANAC＝A1MA1B，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.MN⊂面MPN，∴MN∥面BB1C1C.(2)NPBC＝ANAC＝23a2a＝13，NP＝13a，同理MP＝23a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝49a2＋19a2＝53a.20．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解 (1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ， 从而PQ ∥平面AC D .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △D PA 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55， 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 21．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明(1)在△ABD中，∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC ⊥平面PAB .解 (1)过A 作AE ∥CD ，根据三视图可知，E 是BC 的中点，且BE ＝CE ＝1，AE ＝CD ＝1.又∵△PBC 为正三角形，∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ，∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE .∴PA 2＝PE 2－AE 2＝2，即PA ＝ 2.正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2. (2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高PA ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32， ∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·PA ＝13×32×2＝22. (3)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC .∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2，在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2，∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形．∴AC ⊥AB .又∵AB ∩PA ＝A ，∴AC ⊥平面PAB .。