多自由系统振动之三频率方程零根和重根情形之四受迫振动之五有阻尼

分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。

T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni

n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n


将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0

振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）

如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：

3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1

0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。

单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。

多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。

主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。

多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。

多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。

直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。

振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。

因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。

3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。

[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。

三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。

图3-1 3自由度系统)(1t P 3m )(2t P 1m 2m )(3t P 1k 1c 2c 3c 2k 3k 4k 4c解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。

质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。

每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。