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机械振动学总结论文第一章 机械振动学基础第一节 引言我们用一下方法研究机械振动： 1：激励物理模型。
2：建立数学模型。
3：方程求解。
4：结果阐述。
第二节 机械振动的运动学概念什么是机械振动？答：机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式)(x t x =来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数()()1,2,3......x t x t nT n =+=来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为)2sin()2cos(ψπϕπ+=-=t TA t T A x 式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即)sin()cos(2ψωωψωω+-==+==t A xa t A xv可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
从x x 2ω-=可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有()cos()sin()j wt z AeA wt jA wt ϕϕϕ+==+++可以将上式改写成t j t j j e A e Ae z ωωω==它包含振动的振幅和相角俩个信息，在振动分析时，由于它会给计算带来许多方便而常常得到应用。
二：周期振动任何周期函数满足以下条件： （1）：函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）：在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
第四节有阻尼自由振动
（Damped Free Vibration）
前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。
实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。
振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。
尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。
一、粘性阻尼（Viscous Damping）
------------- 最常见的阻尼力学模型
在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度成正比，即
=&
F cx
F--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度
⋅
c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m
二、粘性阻尼自由振动
()
k x
∆+
以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。
由牛顿运动定律，得运动方程
mx cx kx
++=
&&&（2-10）
设方程的解为
()st
x t Ae
=
代入式（2-10），得
2
()0
st
ms cs k Ae
++=
因为0
A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为
20
ms cs k
++=（2-11）
------ 系统的特征方程（频率方程）
它的两个根为
1,22
c
s
m
=-±（2-12）
则方程（2-10）的通解为
1211212s t s t c t m
x A e A e e
A A e
=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝
⎭
（2-13）
式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件
00(0),(0)x x x x ==&&
确定。
显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于
是实数、零，还是虚数。
当
2
02c k m m
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。
因此
02n c m ω==
令
02n
c c c
c m ζω===
叫做阻尼比。
∵
022n c c m m
ζζω==
∴ 式（2-12）可写成
(
1,2n s ζω=-± （2-14）
可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。
1. 1ζ
> (c >
系统称为过阻尼系统（强阻尼）。
运动方程的解为
()
1
2n n n t
t
t
x e
A A e
ζω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期蠕动。
2. 1ζ
= (c =
系统称为临界阻尼系统。
运动方程的解为
()12n t
x e
A A t ω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期运动。
3. 1ζ<
(c <
系统称为弱阻尼系统（欠阻尼）。
式（2-12）可写成
(1,2n s ζω=-±
令
d
n ω= --- 有阻尼固有频率
故运动方程的解为
()1
2n d d t
j t
j t
x e
A e
A e
ζωωω--=+
由欧拉公式cos sin j e
j θ
θθ±=±，则上式可写为
()12cos sin n t d d x e C t C t ζωωω-=+
式中1C 和2C 是待定常数，由初始条件确定。
设0t
=时，有
00(0),(0)x x x x ==&&
则系统对初始条件的响应为
00
0cos sin n t
n d d d x x x e
x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+
⎪⎝⎭
& （2-18） 上式也可写为
()sin n t d x Ae t ζωωϕ-=+
其中
000,d n x A tg x x ωϕζω==+&
A
因
max n t
x Ae
ζω-=
所以响应的振幅被限制在曲线n t
Ae
ζω-±之内，随时间而逐渐
衰减。
因而有阻尼系统的自由振动是衰减振动，当t →∞，
0x →
，振动最终消失。
阻尼对自由振动的影响:
（1）设无阻尼系统的自由振动振动周期为2n
n
T π
ω=
有阻尼系统的自由振动振动周期为
22d
T π
πω=
=
可见：阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。
当阻尼较小时，例如
0.05 1.001250.999n d n T T ζωω=== 0.2 1.020.980n d n T T ζωω===
所以在阻尼较小时，阻尼对周期和频率的影响可以忽略不计。
（2）设相邻两次振动的振幅分别为i x 和1i x +，则振幅比为
()1n i
n n i t T
i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++===
式中η称为减幅系数。
可见阻尼比ζ越大，减幅系数η就越大，振幅衰减得就越快。
例如
10.05 1.37
0.73i i x x ζη+===
即每一个周期内振幅减小27﹪.由此可见，即使阻尼较小时，振幅的衰减也是很快的。
例题2-8 一刚体质量为10kg ，用一块橡胶和一层毛毡支
承在地板上，如图所示。
已知毛毡的刚度
12000f k N m =，阻尼系数330f c N s m =⋅；橡胶的
刚度3000r
k N m = N/m ，阻尼系数100r c N s m =⋅。
求系统的等效刚度、等效阻尼系数和阻尼比。
c k f
c
解：两块毛毡和橡胶垫可看作串联。
则系统的等效刚度
3000120002400300012000
r f eq r f k k k k k ⨯⨯===++ （N m ）
系统的等效阻尼系数
10033076.6100330
r f eq r f c c c c c ⨯⨯==≈++ （N s
m ⋅）
阻尼比
0.248c ζ==≈
例题： 一阻尼缓冲器，静载荷P 去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10％，求缓冲器的阻尼系
数。
解：由题知
(0)0
x =&，设
0(0)x x =， 系统的响应为
0(cos sin )n t
n d d d
x x e
x t t ζωζωωωω-=+
速度为
22020()sin sin n n t n d d d
n t d d
x x e t x e t
ζωζωζωωωωωωω--=-+=-&
设在时刻1t 质量m 越过平衡位置到达最大位移，这时速度为
1
1200sin n n t d d
x x e
t ζωωωω-==-
&
解得 1d
t π
ω=
对应的最大位移为
1
1100()n t x x t x e
x e
ζω-==-=-由题知
1
0.1x e x ==
解得
0.59ζ=≈
第五节 对数衰减率
测定阻尼自由振动的振幅衰减率是确定振动系统阻尼的一个常用的方法。
已知减幅系数为
()1n i n n i t T i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++=== 则对数衰减率为
1
ln i n i x T x δζω+==
将有阻尼系统的自由振动振动周期22d T
πω==代入上式，得
2πζ
δ= （2-22）
当阻尼很小时（0.2ζ≤）
2δπζ≈ （2-23）
上式提供了根据实验测定的振幅衰减曲线的对数求阻尼系数的方法。
在相继的n 次振动中，振幅1x 、2x ，…，n x 有如下关系
12231
n T n n x x x e e x x x ζωδ+=====L
因而有
1121231
n n n n x x x x e x x x x δ++=⋅=L ∴ 11
1ln n x n x δ+= （2-24）。
