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习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ2F cos ＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l gah l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。
设质量为m ，单位是kg 。
弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。
弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。
当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形∆：，同时也产生弹簧恢复力K ∆，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K ⋅∆若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。
首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。
现设质量m 向下运动到x ，此时弹簧恢复力为K(∆+x)，显然大于重力W ，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx xm (1-1-1 令mkp =2(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为02=+x p x(1-1-3)设方程的特解为 ste x =将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为ips p s ±==+2,1220则(1-1-3)的通解为ptD pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)C 、D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时00,x xx x == （1-1-5）()x m x k W F=+∆-=∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ∆==k mgW xx)则pt pxpt x x sin cos 00 += （1-1-6）经三角变换，又可表示为)sin(α+=pt A x（1-1-7）其中 001220,x px tg p x x A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角α与系统的参数和初始条件有关。
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α 2F cos α＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。
解：111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4）)(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知）由（题1-3图题1-4图1-5如题1-5图所示，质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标x ，设系统的振动方程为：sin()x A wt a =+则系统运动过程中速度表达式为：cos()x Aw wt a =+&系统最大位移和速度分别为：max max x Ax Ax==&系统在运动过程中，动能表达式为：2222212221*********x x T m x m x m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭&&&& 弹性势能为：2211221122x U k R k x R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭系统最大动能为：22222max 122211111()()22222Aw Aw T m Aw m Aw m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭最大弹性势能为：22max11221122A U k R k A R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由于系统机械能守恒，因此：max max T U =22222122211111()()22222Aw Aw m Aw m Aw m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211221122A k R k A R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由上式可解得系统的固有频率为：题1-5图1122122232R k k R w I m m R +=⎛⎫++ ⎪⎝⎭1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为0I ，求系统的固有频率。
解：设曲臂顺时针方向转动的ϕ角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为)sin(αϕ+Φ=t p n 。
ϕ很小，系统的动能为22212)(21)(2121ϕϕϕ&&&l m a m I T O ++=)cos(αϕ+Φ=t p p n n & 所以， 222222122max 212121l p a p m p I T n n n O Φ+Φ+Φ=取系统平衡位置为势能零点。
设各弹簧在静平衡位置伸长为321,,δδδ，由∑=0)(F mO， 02233111=-++l k b k ga m a k δδδ （A ）由题意可知，系统势能为a g m l kb k a k V ϕδδϕδδϕδδϕ1222222323321211])[(21])[(21])[(21+--+-++-+=（B ） 将（A ）式代入（B ）式，可得系统最大势能为，222223221max 212121l k b k a k V Φ+Φ+Φ=由， max max V T = 得=Φ+Φ+Φ222222122212121l p a p m p I n n n O 222223221212121l k b k a k Φ+Φ+Φ 所以，有22212223212lm a m I l k b k a k p O n++++=1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg ，弹簧静伸长是1cm ，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm 减至0.16cm ，求阻尼系数c 。
解：振动衰减曲线得包络方程为：ntX Ae-=振动20个循环后，振幅比为：200.640.16nTd e = 题1-6图∴ln 420Td n=代入215TTd =-,得：2222ln 44()20nn P N π=- 又 10n stgP g d == ∴2ln 4()20n＝224100g N π- ∴c = 6.9 N s /m32c mk lac =，222n 3ml ka p =1-8一长度为l 、质量为m 的均质刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。
写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。
解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。
由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：0220=++a k l c I ϕϕϕ&&&m cn ml ka p ml ka m c ml I n32,303312222220==∴=+3+∴=ϕϕϕ&&&Θ 当n ＝p n 时，c ＝c C323232mkl am p nm c n C ===∴题1-8图OmgϕX OY OF KF C1-9如题1-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。
解：222222222222222224222242224202224142n n n c d nI kb b ca a ml kb ca kb ca ml ml kb p ml b k p l ca n ml n p ca b kml l blc mka kbc a p p n ml m l kmb l c a mlϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=--=--∴++=∴=====∴==-=-=-&&&&&&&&&Q m 当时m1-10如题1-10图所示，质量为2000 kg 的重物以3 cm/s 的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。
已知k =48020 N/m ，c =1960 Ns/m ，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为022=++x p x n x n &&&所以有 x&&+c m x &+kmx =0 其特征方程为：2r +19602000r+480202000=0 r =-0.49±4.875i所以：x =1c 0.49te-cos4.875t+2c 0.49te-sin4.875t由于n < p n ，由已知条件，题1-9图题1-10图49.020********=⨯==m c n ，01.242000480202===m k p n ，00=x ，03.00=x & m/s 。
故通解为)sin cos (21t p C t p C e x d d nt +=-其中，875.422=-=n p p n d 。
代入初始条件，得006.0,0000201==+===dd p x p x nx C x C &&，得 t pe C x d nt sin 2-= =0.0060.49t e -sin4.875tx&=0.0060.49te -(-0.49) sin4.875t+0.006⨯4.875cos4.875 物体达到最大振幅时，有0cos sin 22=+-=--t p p e C t p e nC xd d nt d nt & 既得t = 0.30 s 时，物体最大振幅为528.0)3.0875.4sin(006.03.049.0=⨯=⨯-e x cm1-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为d p ，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为m ω，求系统的无阻尼固有频率n p 、相对阻尼系数ζ及对数衰减率δ。
解：221ζω-=n m p ， 22n p p n d -=， np n=ζ； 三个方程联立，解得：22222md md p p ωωζ--=2m 2n 2ω-=d p p2221222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-===d m md dd nd p p p p p nT ωπωππζδ。
