2017_2018学年高中数学课时跟踪检测(七)循环语句新人教A版必修3

第三章 数系的扩充与复数的引入复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i ，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解．[典例1] (1)复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15i D ．－15(2)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1 解析：(1)选 B1－2＋i ＋11－2i＝－2－i －2＋－2－＋1＋2i －＋＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ，故虚部为15.(2)选B 由纯虚数的定义，可得{ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2. [对点训练]1．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以所以a ＝83.答案：832．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．解：(1)由{m 2－2m －＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3.∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由{ m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2.∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． (3)由{m 2－2m －，m 2＋3m ＋2>0，得－1<m <1－3或1＋3<m <3.∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限．1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减；乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.2．复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i 幂的周期性变化，即i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1，复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意义等结合在一起考查．另外计算要注意下面结论的应用： (1)(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2， (2)(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2， (3)(1±i)2＝±2i， (4)1i＝－i ， (5)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ， (6)a ＋b i ＝i(b －a i)．[典例2] 复数i 2＋i 3＋i41＋i 等于( )A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i解析：选D i 2＋i 3＋i 41＋i ＝－i 1＋i ＝－－2＝－12－12i.[典例3] 已知复数z 1＝15－5i2＋2，z 2＝a －3i(a ∈R)． (1)若a ＝2，求z 1·z 2； (2)若z ＝z 1z 2是纯虚数，求a 的值． 解：由于z 1＝15－5i ＋2＝15－5i3＋4i＝－－＋－＝25－75i25＝1－3i. (1)当a ＝2时，z 2＝2－3i ，∴z 1·z 2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i －6i ＋9＝11－3i. (2)若z ＝z 1z 2＝1－3i a －3i ＝－a ＋a －a ＋＝a ＋＋－3a a 2＋9为纯虚数，则应满足⎩⎨⎧a ＋9a 2＋9＝0，3－3aa 2＋9≠0，解得a ＝－9.即a 的值为－9. [对点训练]3．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 解析：选A z ＝＋－＋＝－1＋i ，故选A.4．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋b i ＝11－7i1－2i ，∴a ＋b i ＝－＋－＋＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：85．计算：(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)；(2)2＋3i 3－2i；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)2＋3i 3－2i ＝2＋33＋23－23＋2＝2＋33＋232＋22＝6＋2i ＋3i －65＝5i5＝i. (3)(2－i)2＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点Z (a ，b )一一对应，和向量OZ ―→一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．[典例4] 若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．[典例5] 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，z2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋15(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎨⎧y ＋2＝0，15y ＋x ＝0，∴{ x ＝4，y ＝－2，∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ， 由已知得{ 12＋4a －a 2>0，a －，∴2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)． [对点训练]6．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4,2)解析：选C 由i z ＝2＋4i ，可得z ＝2＋4ii ＝＋4－－＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．7．已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，A (1，2)，B (－2,6)，C (x ，y )． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝－2＋42.解得{ x ＝－5，y ＝0或{ x ＝－3，y ＝4. ∵|OA |≠|BC |，∴x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z ＝－5.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应复平面上的点Z ，则复数的模|z |＝|OZ ―→|＝a 2＋b 2，即Z (a ，b )到原点的距离．[典例6] 已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最小值． 解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则|x ＋y i ＋2－2i|＝1， 即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1. ∴(x ＋2)2＋(y －2)2＝1. ∴|z －3－2i|＝x －2＋y －2＝x －2＋1－x ＋2＝－10x ＋6，由(y －2)2＝1－(x ＋2)2≥0，得x 2＋4x ＋3≤0. ∴－3≤x ≤－1，∴16≤－10x ＋6≤36. ∴4≤－10x ＋6≤6.∴当x ＝－1时，|z －3－2i|取最小值4. 法二：由复数及其模的几何意义知： 满足|z ＋2－2i|＝1，即|z －(－2＋2i)|＝1的复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，半径r ＝1的圆，而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离．由圆的知识可知|z －3－2i|的最小值为|AC |－r . 又|AC |＝＋2＋－2＝5，所以|z －3－2i|的最小值为5－1＝4.[对点训练]8．在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是( )A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线解析：选B ∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．9．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.解：法一：设z＝x＋y i(x，y∈R)，∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，|z－i|＝|x＋y i－i|＝|x＋(y－1)i|＝x2＋y－2＝－y2＋y－2＝5－2y.∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.故当y＝－2时，5－2y取最大值9，从而5－2y取最大值3，此时x＝0，即|z－i|取最大值3时，z＝－2i.法二：方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3，即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知－2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )A．1＋i B．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：选D 由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－1－＋－＝－1－i ，故选D.2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：选Ba1＋i ＋1＋i 2＝a－2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a2i ， 由题意可知1－a2＝0，即a ＝1.5．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.6．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1.7．已知f (n )＝i n－i －n(i 2＝－1，n ∈N)，集合{f (n )|n ∈N}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ，由i n的周期性知{f (n )|n ∈N}＝{0，－2i,2i}． 8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量对应的复数是( )A.10 B ．－3－i C ．1＋i D ．3＋i解析：选D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ， ∴对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件． 由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R)有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2i D ．－2－2i解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴z ＝2－2i.11．定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i＝3－i.12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________．解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45.答案：4515．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 20＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0， 即(x 20＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i. 答案：4i16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a＋2＋b＋5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．18．(本小题12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求＋2＋22z的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，∴z ＝－4＋3i ， ∴＋2＋22z＝－7＋－4＋＝24＋7i4－3i＝3＋4i. 19．(本小题12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i＋2.求： (1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 解：z 2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i3＋4i＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 20．(本小题12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝－2＋－2＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，得＋2＋a ＋＋b＋2－＋＋1＝1－i ，即a ＋b ＋a ＋i＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.21．(本小题12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴－a2＋4<13，∴a2－8a ＋7<0，解得1<a <7.∴a 的取值范围是(1,7)．22．(本小题12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数． (1)求m 对应的点的轨迹； (2)求|z |的最大值、最小值． 解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则m ＋3m －3＝x ＋＋y i x －＋y i ＝x 2＋y 2－－6y ix －2＋y 2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0. ∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点． (2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)， ∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9；最小值为|3＋33i|－3＝3.。

课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1 求函数的最值1．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．无最值 B ．有极值 C ．有最大值 D ．有最小值2．函数f (x )＝x 2e x在区间(－3，－1)上的最大值为( ) A ．9e －3B ．4e －2C ．e －1D ．4e 23．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．4．已知函数f (x )＝ln xx.(1)求f (x )在点(1，0)处的切线方程； (2)求函数f (x )在[1，t ]上的最大值．题组2 由函数的最值确定参数的值5．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2 D.526．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .当0<a <2时，f (x )在[1，4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．题组3 与最值有关的恒成立问题7．若对任意的x >0，恒有ln x ≤px －1(p >0)，则p 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．(1，＋∞) C ．(0，1) D ．[1，＋∞)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝13x 3－2x 2在区间[－1，5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值2．函数f (x )＝x ·2x ，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最大值B ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最小值C ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最大值D ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足x ≠1时(x －1)·f ′(x )>0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)<2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)≤2f (1)4．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12C.52 D.225．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．8．设函数f (x )＝2ax －b x ＋ln x ，若f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，(1)求a 、b 的值；(2)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上存在x 0使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，求c 的取值范围．答案题组1 求函数的最值1． 解析：选A f ′(x )＝2＋sin x >0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上无最值．2．解析：选B ∵f ′(x )＝e x (x 2＋2x )，令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0(舍)． ∴f (x )在(－3，－2)上递增；在(－2，－1)上递减． ∴f (x )在(－3，－1)上的最大值为f (－2)＝4e －2. 3．解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算得f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1， 所以M ＝24，m ＝－8，所以M －m ＝32. 答案：324． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1－ln xx2. (1)f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －1. (2)令f ′(x )＝1－ln xx2＝0，解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当1<t <e 时，f (x )在[1，t ]上单调递增，f (x )max ＝f (t )＝ln tt，当t ≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递增， 在[e ，t ]上单调递减，f (x )max ＝f (e)＝1e，综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧ln t t ，1<t <e ，1e ，t ≥e.题组2 由函数的最值确定参数的值 5．解析：选C y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1.因为f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，又f (1)＝m ＋52，f (－2)＝m －2，所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.6．解：令f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝0， 得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1，4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)，所以f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1，4]上的最大值为f (2)＝103.题组3 与最值有关的恒成立问题7．解析：选D 原不等式可化为ln x －px ＋1≤0，令f (x )＝ln x －px ＋1，故只需f (x )max≤0，由f ′(x )＝1x－p 知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1p 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ，＋∞上单调递减．故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＝－ln p ，即－ln p ≤0，解得p ≥1. 8． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1，3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴x ∈[－2，6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ， ∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ， ∴c <－18，∴c 的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞)．[能力提升综合练]1． 解析：选B f ′(x )＝x 2－4x ＝x (x －4)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，而f (0)＝0，f (4)＝－323，f (－1)＝－73，f (5)＝－253，∴f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－323.2． 解析：选D f ′(x )＝2x＋x ·(2x)′＝2x＋x ·2x·ln 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1ln 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 2，＋∞时，f ′(x )>0，故函数在x ＝－1ln 2处取极小值，也是最小值． 3．解析：选A 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； 当x <1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )在x ＝1处取得最小值，即有f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，得f (0)＋f (2)>2f (1)．4．解析：选D |MN |的最小值，即函数h (t )＝t 2－ln t 的最小值，h ′(t )＝2t －1t＝2t 2－1t ，显然t ＝22是函数h (t )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 5．解析：f ′(x )＝e x－2.由f ′(x )>0得e x－2>0，∴x >ln 2.由f ′(x )<0得，x <ln 2. ∴f (x )在x ＝ln 2处取得最小值． 只要f (x )min ≤0即可． ∴eln 2－2ln 2＋a ≤0，∴a ≤2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2]6．解析：f (x )≥2，即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12， 且当0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时，g ′(x )<0， ∴当x ＝e 12时，g (x )取最大值g (e 12)＝e ， ∴a ≥e. 答案：[e ，＋∞)7． 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时， 函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时， 函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 8． 解：(1)∵f (x )＝2ax －b x＋ln x ，∴f ′(x )＝2a ＋b x2＋1x.∵f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，∴f ′(1)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0，2a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－13.∴所求a 、b 的值分别为－13、－13.(2)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上存在x 0，使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，只需c ≥f (x )min ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，由f ′(x )＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－（2x －1）（x －1）3x2， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上的最小值． 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13＋ln 12＝13－ln 2，∴c ≥13－ln 2.∴c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13－ln 2，＋∞.。

高中数学必修三答案【篇一：高一数学必修3测试题及答案】ass=txt>数学第一章测试题一．选择题1.下面的结论正确的是（）a．一个程序的算法步骤是可逆的b、一个算法可以无止境地运算下去的 c、完成一件事情的算法有且只有一种 d、设计算法要本着简单方便的原则 2、早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法 ( )a、 s1 洗脸刷牙、s2刷水壶、s3 烧水、s4 泡面、s5 吃饭、s6 听广播 b、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭、s5听广播 c、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭同时听广播 d、 s1吃饭同时听广播、s2泡面、s3烧水同时洗脸刷牙、s4刷水壶 3．算法 s1 m=as2 若bm，则m=b s3 若cm，则m=c s4 若dm，则 m=ds5 输出m，则输出m表示 ( ) a．a，b，c，d中最大值b．a，b，c，d中最小值c．将a，b，c，d由小到大排序d．将a，b，c，d由大到小排序 4.右图输出的是a．2005 b．65 c．64d．635、下列给出的赋值语句中正确的是( )a. 5 = mb. x =－x （第4题）c. b=a=3d. x +y = 06、下列选项那个是正确的（）a、input a;bb. input b=3 c. print y=2*x+1d. print 7、以下给出的各数中不可能是八进制数的是（） a.123 b.10 110 c.4724 d.7 8578、如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序until后面的“条件”应为（） a.i 10 b. i 8 c. i =9 d.i9 9．读程序甲： i=1 乙：i=1000s=0 s=0 while i=1000 do s=s+i s=s+i i=i+l i=i一1 wend loop until i1 print s prints4*xend end对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( )a．程序不同结果不同b．程序不同，结果相同c．程序相同结果不同d．程序相同，结果相同10．在上题条件下，假定能将甲、乙两程序“定格”在i=500，即能输出i=500 时一个值，则输出结果（）a．甲大乙小 b．甲乙相同 c．甲小乙大 d．不能判断二.填空题.11、有如下程序框图（如右图所示），则该程序框图表示的算法的功能是第（第11题）( 第12题)12、上面是求解一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的流程图，根据题意填写：（1）；（2）；（3）。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④【解析】根据排列的概念知①④是排列问题．【答案】 A2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有() A．6个B．10个C．12个D．16个【解析】符合题意的商有A24＝4×3＝12.【答案】 C3．计算A67－A56A45＝()A．12 B．24 C．30 D．36【解析】A67＝7×6A45，A56＝6A45，所以A67－A56A45＝36A45A45＝36.【答案】 D4．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为()A．6 B．8C．9 D．12【解析】由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．【答案】 C5．不等式A2n－1－n<7的解集为()A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{4}【解析】由A2n－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈－1N*且n－1≥2，所以n＝3,4.【答案】 C二、填空题6．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．【解析】因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．【答案】 37．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.【导学号：29472014】【解析】15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.【答案】15 68．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)【解析】将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．【答案】 1 680三、解答题9．下列问题中哪些是排列问题？(1)5名学生中抽2名学生开会；(2)5名学生中选2名做正、副组长；(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；(5)6位同学互通一封信；(6)以圆上的10个点为端点作弦；(7)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．【解】 (2)(4)(5)(7)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．10．解方程：A 42x ＋1＝140A 3x .【解】 根据排列数的定义，x 应满足⎩⎨⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *， 解得x ≥3，x ∈N *.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)．因为x ≥3，于是得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝534(舍去)．所以原方程的解为x ＝3.[能力提升]1．满足不等式A 7n A 5n>12的n 的最小值为( ) A ．12B ．10C ．9D ．8 【解析】 由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，则(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2(舍去)．又n ∈N *，所以n 的最小值为10.【答案】 B2．若a ∈N *，且a <20，则(27－a )(28－a )…(34－a )等于( )A ．A 827－aB ．A 27－a 34－aC ．A 734－aD ．A 834－a【解析】 A 834－a ＝(27－a )(28－a )…(34－a )．【答案】 D3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)【解析】 A 240＝40×39＝1 560.【答案】 1 5604．用1,2,3,4四个数字排成三位数(允许数字重复使用)，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n}．(1)写出这个数列的前11项；(2)这个数列共有多少项．【解】(1)这个数列的前11项为：111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成三位数的个数，每一数位都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．。