整理高中数学必修五第二章《数列》导学案及章节检测

§2.3 等差数列的前n项和班级： .组名： . 姓名： .时间：年月日【本卷要求】：1.动脑思考2.听懂是骗人的，看懂是骗人的，做出来才是自己的3.该背的背，该理解的理解，该练习的练习，该总结的总结，勿懈怠！4.多做多思，孰能生巧，熟到条件反射，这样一是能见到更多的出题方式，二是能提高做题速度5.循环复习6.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法7.做完本卷，总结该章节的知识结构，以及常见题型及做法8.独立限时满分作答9.步骤规范，书写整洁10.明确在学习什么东西，对其中的概念、定律等要追根溯源，弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活11.先会后熟：一种题型弄懂了，再多做几道同类型的，总结出这种题型的做法，直到条件反射【一分钟德育】是谁这些年来，在茫茫的人海中，是谁最关心你最疼爱你？在你最需要帮助的时候，是谁向你伸出援助之手？在你出门在外的时候，是谁总是牵挂着你惦念着你？是谁总是盼着你回家等着你吃饭？在你生病的时候，是谁最紧张最着急？在你最高兴的时候，是谁比你更高兴？在你最痛苦的时候，是谁比你更痛苦？在你最失落无助的时候，是谁来安慰你鼓励你？在你最孤独寂寞的时候，是谁来陪伴你？是谁对你的生命影响最大？【导读导思】自主学习、课前诊断先通读教材，画出本节课中的基本概念及物理规律，回答导学案预习中涉及的问题，独立完成，限时25分钟。

一、等差数列前n项和公式是什么？你能推导出来吗？它们什么时候用比较合适？二、等差数列前n项和有什么性质？题目中出现什么特征时使用？三、如何找到前n 项和最大值或最小值，以及是前几项？如何应用等差数列前n 项和二次式的轴对称性的性质？四、在等差数列的基础上，加绝对值，再求前n 项和，如何处理？五、涉及等差数列奇数项和偶数项和，一般如何处理？六、如何证明构造的新数列为等差数列？七、1-1,1,2n n n S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩什么时候使用？以及如何使用？【知识小结】1.()()()1121212()22a n n n n n n n n n S na d a a nS d S n n S S na na S λ+-⎧=+⎪⎪+⎪=⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=+⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩11中首项和公差涉及末项时使用常数项为0的n 的二次式，二次项系数等于公差的一半，求首项a =S 轴对称性求最值自创性质选择、填空时用涉及与的转换时使用n 可扩展为任意正整数，即使无意义时，也不影响结果2.常用技巧1. 用首项和公差表示题中出现的量2. 特殊值法3. 罗列法【巩固练习】选择题、填空题每题6分，解答题、计算题每题12分题型一、等差数列前n 项和公式的基本应用 1.已知等差数列{}n a 中， （1）131,,1522n a d S ==-=-，求n 及n a ； （2）11,512,1022n n a a S ==-=-，求d ； （3）524S =，求24a a +2.等差数列{a n }中，a 1+a 7=42， a 10-a 3=21， 则前10项的S 10等于（ ） A 、 720 B 、257 C 、255 D 、不确定3.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n ，而a 1，a 3，a 5，a 7，……组成一新数列{C n }，其通项公式为 （ ） A 、 C n =4n-3 B 、 C n =8n-1 C 、C n =4n-5 D 、C n =8n-9 题型二、等差数列的前n 项和性质的应用4.等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定其前n 项和的公式吗？5.等差数列的前10项之和是100，前100项之和是10，求前110项之和。

必修5 数列复习小结 第2课时高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T练习：1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，求该数列的通项公式。

答案：⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、n S 为{n a }的前n 项和，n S =3（n a －1），求n a （n ∈N +）3、设数列{}n a 满足2*12333()3n n a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法） 例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

答案：12+=n a n练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

答案：)1(2+=n n a n4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法） 例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n题型二 根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ） 5、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 .题型三：求数列的前n 项和基本方法：A ）公式法，B ）分组求和法1、求数列n{223}n +-的前n 项和n S .C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++111； 例1、求和：S =1+n ++++++++++ 32113211211例2、求和：nn +++++++++11341231121 .D ）倒序相加法， 例、设221)(xx x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++E ）错位相减法，1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .2.21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）题型五：数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；。

高中数学第二章数列2-3等比数列同步导学案新人教B版必修5考纲要求1、理解等比数列的概念2、掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及性质3、并能利用有关知识解决相应问题B案（基础回归）1、如果—1，a，b，c，—9成等比数列，那么A、b=3，ac=9B、b=—3，ac=9C、b=3，ac=—9D、b=—3，ac=—92、在等比数列{an}中，a2=8，a5=64，则公比q为A、2B、3C、4D、83、在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数）且前n项和Sn=3n+k，则k等于A、—1B、1C、0D、24、在等比数列{an}中，a8=10，则a3·a13= 。

5、已知an=2an—1（n≥2），a1=1，cn=，则{cn}的前n项和Sn=1。

2an6、已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，则S30= 。

C 案（典型例题分析）题型一、等比数列的基本量例1：等比数列{an}中，Sn 为前n 项和，若S3+ S6=2S9，求q 的值。

二、等比数列的证明例2：设数列{an}中，a1=1，Sn+1=4an+2，bn=an+1—2an （1）求证：数列{bn}为等比数列。

（2）求数列{bn}的前n 项和Tn 。

引申2：已知数列{an}中a1=1且满足an+1=2an+1求{an}的通项公式。

三．等比数列的综合应用例3：已知a1=2，点（an ，an+1）在函数f （x ）=x2+2x 的图象上。

其中n=1，2，3……（1）证明数列{lg （1+an ）}是等比数列。

（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）……（1+an ）求Tn 。

当堂检测：1、已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且S3=3a1，则数列{an}的公比q 的值为 。

2、（1）例题2中如果Cn=nna 2 求证：{cn}为等差数列（2）求{an}的通项公式。

A 案 必做题：1、在等比数列{an}中，a3·a4·a5=3，a6·a7·a8=24，则a9·a10·a11的值等于 A 、48 B 、72C 、145D 、1922、等比数列{an}中，如果公比q<1，那么等比数列{an}是 A 、递增数列 B 、递减数列C 、常数列D 、无法确定增减性3、等比数列{an}中，a7a11=6，a4+a14=5，则=1020a a A 、 B 、3223C 、或D 、—或—322332234、正项等比数列{an}中，a5a6=81，则log3a1+log3a2+……+log3a10= A 、5 B 、10C 、20D 、405、正项等比数列{an}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5= A 、33 B 、72C 、84D 、1896、三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数为 。

第二章 《数列（复习）》1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .【知识链接】（复习教材P 28 ～P 69，找出疑惑之处）(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．【学习过程】※ 学习探究1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3． 求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++. ※ 典型例题例1在数列{}n a 中，1a ＝1，n ≥2时，n a 、n S 、n S －12成等比数列. （1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.例2已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n ，均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯⋯+=，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2004的值．※ 动手试试练 1. 等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ；等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e . 如果(1)n n n c a b n =+≥，且124,8.c c == 求数列{}n c 的通项公式.练2. 如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前n 个内切圆的面积和.练3. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去回了5个伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55986B. 46656C. 216D. 36【学习反思】※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）.A. 59B. 31C. 30D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第n 行最右边的数是2n ， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …2. 选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20% 改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30% 改选A 种菜. 用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数，如果1300,a = 求10a .。

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，3,,,3a d a d a d a d --++. 当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ . 课后作业1. 在等差数列n 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

2.5 等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一 等比数列前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（q n －1）q －1＝a 1－a n q1－q ＝a 1q n q －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1．2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q·q n＋a 11－q，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n＋A ．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________． 答案 －13解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为13，∴k ＝－13.知识点二 等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q mS n (q 为数列{a n }的公比)． 3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q ． 思考 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520 答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______．(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____． 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列， 即7，S 4－7，91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)， 解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2. 反思与感悟 解决有关等比数列前n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n 项和的相关性质，常常可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q 的讨论．解题中把握好等比数列前n 项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地．跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( ) A ．2 B.73C.83 D ．3 答案 B解析 方法一 因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝（1＋q 3）S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 方法二 由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13. 又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.题型二 等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则：A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ，…A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0，解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－（1.0082）61－1.0082≈880.8. 故小华每期付款金额约为880.8元．方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则：A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)；A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)；…A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．反思与感悟 分期付款问题是典型的求等比数列前n 项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同．解决这类问题有两种处理方法，如本题中方法一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；而方法二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋ (800)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋ (400)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.题型三 新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明 由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ， 2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2. ∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)， 且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg （2a n ＋1＋1）lg （2a n ＋1）＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝52n －1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5（1－2n）1－2＝(2n－1)lg 5， ∴T n ＝52n－1.(3)解 ∵b n ＝log2a n ＋1T n ＝lg T n lg （2a n ＋1）＝（2n－1）lg 52n －1lg 5＝2n－12n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴S n ＝2n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞4 024， 即n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞2 013. 当n ≤2 012时，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜2 013； 当n ≥2 013时，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.反思与感悟 数列创新题的特点及解题关键 特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大． 解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析．跟踪训练3 记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T ＜a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . (1)解 当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝a 2＋9a 2＝30， ∴a 2＝3，a 1＝a 23＝1，故a n ＝a 1qn －1＝3n －1.(2)证明 对任意正整数k (1≤k ≤100)． 由于T ⊆{1，2，…，k }，则S T ≤a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝1＋3＋32＋…＋3k －1＝3k－12＜3k ＝a k ＋1.(3)证明 设A ＝∁C (C ∩D )，B ＝∁D (C ∩D )， 则A ∩B ＝∅，S C ＝S A ＋S C ∩D ，S D ＝S B ＋S C ∩D ，S C ＋S C ∩D －2S D ＝S A －2S B ，∴S C ＋S C ∩D ≥2S D 等价于S A ≥2S B . 由条件S C ≥S D 可得S A ≥S B .①若B ＝∅，则S B ＝0，所以S A ≥2S B 成立， ②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中的最大元素为I ，B 中的最大元素为m ， 若m ≥I ＋1，则由(2)得S A ＜S I ＋1≤a m ≤S B ，矛盾． 又∵A ∩B ＝∅，∴I ≠m ，∴I ≥m ＋1，∴S B ≤a 1＋a 2＋…＋a m ＝1＋3＋32＋…＋3m －1＜a m ＋12≤a I 2≤S A2， 即S A ＞2S B 成立．综上所述，S A ≥2S B . 故S C ＋S C ∩D ≥2S D 成立．1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n－13C.1－（－4）n 5D.1－（－2）n3答案 B解析 由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1，∴a 2＝1， 又∵a 4＝4，∴a 4a 2＝4.∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1， 公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n－13.2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析 设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)． 由题意得2＋22＋23＋ (2)≥100， ∴2n －1≥50，∴2n≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6.3．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．52 答案 A解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16，∴S 3m ＝12＋16＝28.4．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4， 即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1（1－q 3）1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q ，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝3a 141－q，S 12－S 6＝a 7（1－q 6）1－q ＝a 1·q 6（1－q 6）1－q ＝a 14×341－q，∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)，∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． 综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．等比数列中用到的数学思想1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论； (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0，0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0，0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n－1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n－1)也与指数函数相联系．3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n，a 11－q当成整体求解．。

§2.4 等比数列制作：_____________审核：______________班级： .组名： . 姓名： .时间：年月日【本卷要求】：1.动脑思考2.每个点都要达标，达标的标准是能够“独立做出来”，不达标你的努力就体现不出来3.听懂是骗人的，看懂是骗人的，做出来才是自己的4.该记的记，该理解的理解，该练习的练习，该总结的总结，勿懈怠！5.明确在学习什么东西，对其中的概念、定律等要追根溯源，弄清来龙去脉才能理解透彻、应用灵活6.先会后熟：一种题型先模仿、思考，弄懂了，再多做几道同类型的，总结出这种题型的做法，直到条件反射7.每做完一道题都要总结该题涉及的知识点和方法8.做完本卷，总结该章节的知识结构，以及常见题型及做法9.独立限时满分作答10.多做多思，孰能生巧，熟到条件反射，这样一是能见到更多的出题方式，二是能提高做题速度11.循环复习12.步骤规范，书写整洁【一分钟德育】高中学生学习方法常规在学习过程中，掌握科学的学习方法，是提高学习成绩的重要条件。

以下我分别从预习、上课、作业、复习、考试、课外学习等六个方面，谈一下学习方法的常规问题。

应当说明的是，我这里所谈的是各科学习的一般规律，不涉及具体学科。

一、预习。

预习一般是指在老师讲课以前，自己先独立地阅读新课内容，做到初步理解，做好上课的准备。

所以，预习就是自学。

预习要做到下列四点：1、通览教材，初步理解教材的基本内容和思路。

2、预习时如发现与新课相联系的旧知识掌握得不好，则查阅和补习旧知识，给学习新知识打好牢固的基础。

3、在阅读新教材过程中，要注意发现自己难以掌握和理解的地方，以便在听课时特别注意。

4、做好预习笔记。

预习的结果要认真记在预习笔记上，预习笔记一般应记载教材的主要内容、自己没有弄懂需要在听课着重解决的问题、所查阅的旧知识等。

二、上课。

课堂教学是教学过程中最基本的环节，不言而喻，上课也应是同学们学好功课、掌握知识、发展能力的决定性一环。

第二章数列2.2等差数列一、学习目标1.理解等差解数列的定义和通项公式，会判断数列是否是等差数列，并会应用通项公式解决问题。

2.理解等差中项的定义，会应用等差中项的性质解决问题。

【重点、难点】等差数列的概念和通项公式，等差中项的性质二、学习过程【导入新课】1.等差数列的定义：a n= _________.3.等差中项若______成等差数列,则A叫a与b的等差中项,且A=_____.【典型例题】例1.在等差数列{a n}中，a2=5,a6=17，则a14=( )A.45B.41C.39D.37例2.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n}，a1和a3是方程x2－8x+7=0的两个根，求它的通项公式.例3.已知等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则a n=__________.【变式拓展】1．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=( )A．10 B．18 C．20 D．282.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，此等差数列的公差d为____________．三、总结反思(1)通项公式的作用：根据通项公式,在a1,a n,d,n中知道任何三个可求另一个,也可用于等差数列的判断.等差数列的通项公式可变形为a n=dn+(a1-d),当d≠0时可把a n看作自变量为n的一次函数.(2)等差数列的单调性(1)当公差d<0时,等差数列为递减数列.(2)当公差d=0时,等差数列为常数列.(3)当公差d>0时,等差数列为递增数列.四、随堂检测1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a7=-4,则公差d= .2.已知首项a1=1,公差d=-2的等差数列{a n},当a n=-27时,n= .3.x-1与y+1的等差中项为5,则x+y= .4.等差数列{a n}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为.。

高中数学第二章数列2-1数列同步导学案新人教B 版必修5课程要求了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.n 基本概念1．叫做数列，叫做这个数列的项.2．就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以来表示一个数列，图象是一些，它们位于.4．根椐数列的项数可以把数列分为和.根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为、、和.5．那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列的前项和记为，即则{}n a n nS ,321n n a a a a S ++++=概念深化1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的表达式；+N {}n ,,2,12．如果知道了数列的通项公式，那么依次用去替代公式中的就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项； ,3,2,1n3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如的不足近似值，精确到所构成的数列就没有通项公式.2 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1 ,4142.1,414.1,41.1,4.1,14．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列：,1,1,1,1,1,1---它可以写成也可以写成,)1(n n a -=⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n还可以写成等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.2)1(+-=n n a5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.典例精析题型一 根据数列的前几项，写出数列的通项公式.{}n a例1 写出下列数列的一个通项公式：(1)；（2）； ,33,17,9,5,3 ,544,433,322,211 （3）；（4） ,777,,7777,777,77,7.,1337,1126,917,710,1,32 --- 命题意图：寻求规律，写出通项公式.。

第二章 数列§2.1数列的概念与简单表示法【学习目标】1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；2. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.【学习过程】1、课前准备（预习教材P 28 ~ P 30 ，找出疑惑之处） 复习1：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？2、新课导学探究任务：数列的概念⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式. 反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？5．数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.6.通项公式法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一个通项公式是 .7.图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．8. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .9. 列表法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？反思：所有数列都能有四种表示方法吗？【学习评价】1．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（ ） A. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n2．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第（ ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3．数列,10,6,3,1……的一个通项公式是（ ）.A.12+-n n B.2)1(+n n C.2)1(-n n D.321-+n 4．以下通项公式中，不是数列3,5,9，……的通项公式的是（ ） A 21n n a =+ B 23n a n n =-+C 21n a n =+D 1.5(2)(3)5(1)(3) 4.5(1)(2)n a n n n n n n =-----+-- 5．已知数列{}n a 满足12a =,111nn na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为（ ） A. 12-B. 12C. 13-D. 136．在数列{}n a 中，12n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a 的值是 （ ） A.3- B.11- C.5- D.19 7.正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列}{n a 有以下结论，①155=a ；②620a =；③数列}{n a 的递堆公式),(11*+∈++=N n n a a n n 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S ，则=2a AA ．4B ．2C ．1D ．2-9．{}n a 满足1111,1,2n n a a a -==-则9a 的值为 （ ） A.12B.1- C .2 D.2- 10．试探究下列一组数列的基本规律:0,2,6,14,30,…,根据规律写出第6个符合规律的数,这个数是( )A.60B.62C.64D.94【总结与提升】※ 学习小结1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的任意一项.3. 数列的递推公式. ※ 知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. n 刀最多能将比萨饼切成几块？ 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多少块？n 刀呢？解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第n 刀最多与前n －1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n 刀的切痕最多被前n －1刀分成n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块. 记刀数为1时，饼的块数最多为1a ，……，刀数为n 时，饼的块数最多为n a ，所以n a =1n a n -+.由此可求得n a =1+2)1(+n n .、§2.2等差数列【学习目标】1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.【学习过程】1、课前准备（预习教材P36 ~ P39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？2、新课导学※学习探究探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，…② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A=探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . .【学习评价】1.已知等差数列:5,3,1,1,---.则下列不是该数列的项的是 ( )A.11B.29n -C.45n -D.522．{an}是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是( )A ．24B ．27C ．30D ．33 3．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A ．34B ．35C ．36D ．374．等差数列{an}中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N*，则n （n ≥3）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 5．设{a n }为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为（ ）①{a n 2} ②{pa n } ③{pa n +q } ④{na n }（p 、q 为非零常数）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．已知c b 、、a 成等差数列，则二次函数c bx ax ++=2y 2的图像与x 轴交点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1或27．由1a =1，131nn n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项为（ ）A 、10334 B 、100 C 、1001 D 、1041 8．已知数列的通项公式是()()3122n n n a n n ⎧+⎪=⎨-⎪⎩是奇数是偶数，则23a a ⋅等于（ ）A.70B.28C.20D.89．已知数列{}n a ，25n a n =-+，它的前n 项的和最大时，n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．1310．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列【总结与提高】※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).3. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.4. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++3.判别一个数列是否等差数列的三种方法，即： （1）1n n a a d +-=；（2）(0)n a pn q p =+≠； （3）2n S an bn =+.§2.3 等差数列的前n 项和【学习目标】1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.【学习过程】1、课前准备（预习教材P 42 ~ P 44，找出疑惑之处）复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？2、新课导学 ※ 学习探究探究：等差数列的前n 项和公式问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S =小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： .等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.3.数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a . 等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.【学习评价】1．已知等差数列{a n }中，a １＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） A.55 B.45 C.35 D.252．已知等差数列{an}的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－903．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A ．9B ．10C ．19D ．294. 等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{nS n}的前11项和为 （ ）A.-45B.-50C.-55D.-66 5．将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，……. 则第2008层正方体的个数是（ ）.A ．4011B ．4009C ．2017036D ．2009010 6．已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( )A.18B.27C.36D.457．某乡建设线路，有48根电线杆，最近一根竖直离电线杆堆放处1000m ，以后每隔50m 竖一根，如果一辆车一次能运6根，全部运完返回，这辆车共走了（ ）.A ．18400mB ．18450mC ．36800mD ．36900m 8．等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d ．9. 数列｛a n ｝，｛b n ｝满足a n b n =1, a n ＝n 2＋3n ＋2，则｛b n ｝的前10次之和为 10.已知整数对排列如: ()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,32,2,3,1,1,4,()2,3,()()3,2,4,1,()()1,5,2,4,，则第60个整数对是_______________.【总结与提升】※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个. ※ 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d .3.等差数列奇数项与偶数项的性质如下： （1）若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；（2）若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；S n 偶奇＝.…… ……§2.4等比数列【学习目标】1.理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3.体会等比数列与指数函数的关系.4.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；5. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.【学习过程】1、课前准备（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处） 复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ， 等差数列的性质有：2、新课导学 ※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n aa -= （q ≠0）2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：【学习评价】1． 设{}n a 是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则18a a +与45a a +的大小关系为（ ） A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+ C ． 1845a a a a +=+ D ．与公比的值有关 2．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=（ ） A ． 10 B ． 15 C ． 5 D ．6 3．设{}n a 是正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a =，那么36930a a a a =（ ）A ． 102 B ． 202 C ． 162 D ．1524．三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ） A ．2，4，8 B ．8，4，2 C ．2，4，8，或8，4，2 D ．142856,,333- 5．等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，由1{}na 的前n 项的和是（ ） A ．15 B ． 1n q S C ．1n S q- D ．n q S7．一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ） A ．三边边长之比为3:4:5，B ．三边边长之比为，CD．较大锐角的正弦为12， 8．等比数列1a 2a 3a 的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令123t a a a =，则t 的取值范围是（ ）A ． 3[,0)m -B ． 3[,)m -+∞C ． 3(0,]mD ．3(,]m -∞ 9.若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ） ①2{}n a ，2{}n a 是等比数列 ②{lg }n a 成等差数列 ③1{}na ，{}n a 成等比数列 ④{}n ca ，{}n a k ±(0)k ≠成等比数列。

《数列》复习、其他知识:a i S i (n 1)a n 5a n nS n S n i (nn(n 1) n2分组求和；倒序相加。

a5.设元技巧：①三数成等差： a d,a,a d :②三数成等比：,a, aq 或a,aq,aq q【预习自测】课本P 67页:第］题： ________第2题： _______________ , ____________________ , _______________ , ______ 第4题： ___________ , _______________. 【课中导学】例1、在数列a n 中，a 1 = 3, n > 2时，a n a n 1 2n 1 0 .1. S na 1 a 2 a 32. 若数列 数列。

3. 若数列4. 数列前 a n 是等差数列, 是等比数列, n 项和：S n 是其前n 项的和,N ，那么 S k ， S 2kSk ，S 3k S 2k 成等差S n 是其前n 项的和，k，那么 S k , S 2kS k , S 3kS 2k 成等比数列。

2)(1)重要公式：1 2 (2)裂项求和；错位相减;(1 )求a2,a3; (2)证明：数列a n n是等比数列，求数列a.的通项公式⑶求数列a n的前n项和S n .变式：设数列a n满足S n i S n 2a“ i，且a i 3，求通项a n。

例2、假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%另外，每年新建住房中，中低「价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底：(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%*4 5 6(1.08 1.36,1.08 1.47,1.08 1.59)【总结】【反馈检测】ai 1, a ? a 5 4, a n 33 则 n 为( )35、 在等比数列 a n 中， (1)若 a 52,a 10 10，贝U 印5 = ___________________ ; (2) 若 a 45,a 8 6，贝U a z a® = _____________ ；(3r )若a 1a ?a 3 a ? 512，则= ____________________;设a .是由正数组成的等比数列，公比q 2，且30818283 a 30 2 ，那么 a 3 a 6 a 9 a 30 _______________ ；⑷若 S n 48, S 2n 60 = 48 ,则 S 3n ___________________ ； ⑸若 a 3 a 2 4 , a ? a 12，则 S n = _________ 。

第二章数列§2.1.1 数列的概念与简单表示法（一）§2.1.2 数列的概念与简单表示法（二）§2.2.1 等差数列(一)§2.2.2 等差数列（二）§2.3.1 等差数列的前n项和（一）§2.3.2 等差数列的前n项和（二）§2.4.1 等比数列（一）§2.4.2 等比数列（二）§2.5.1 等比数列的前n项和（一）§2.5.2 等比数列的前n项和（二）§2.6.1 小结与复习第二章 数列课题：§2.1.1数列的概念与简单表示法（一）编写： 审核： 时间：一、教学目标：1、理解数列及其有关概念；2、了解数列和函数之间的关系；3、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式. 二、问题导学：1、数列概念：_________________________________2、通项公式：_________________________________ 三、问题探究：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，··· （2）正方形数：1，4，9，16，···（2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。

（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。

有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：_________________________________ 叫做这个数列的项.数列与集合区别：集合：无序性、互异性、确定性，数列：有序性、可重复性、确定性。

【步步高】2014-2015学年高中数学第二章数列复习课检测试题新人教A版必修5课时目标综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 1 2 121a bcA.1 B ．答案 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.2．已知等比数列{a n }，a 1＝3，且4a 1、2a 2、a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由题意可设公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3， 又a 1＝3，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84.3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 设项数为2n ，公比为q .由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1. ① S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n . ②②÷①得，q ＝17085＝2，∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 11－q 2n 1－q ＝1－22n1－2，∴2n ＝8.4．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1 答案 B解析 由题意a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35.∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.38 答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 答案 C解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2，∴S n ＝22n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋23n ，＝－(n －232)2＋2324∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 二、填空题7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．答案 2,4,8解析 设这三个数为a q ，a ，aq .由a q·a ·aq ＝a 3＝64，得a ＝4.由a q ＋a ＋aq ＝4q ＋4＋4q ＝14.解得q ＝12或q ＝2. ∴这三个数从小到大依次为2,4,8.8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____．答案 5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11.则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192，∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5.9．如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝______.答案 0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz＝d log m 1＝0.10．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝________.答案 48解析 易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q＝3S 6＝a11－q 61－q＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12＝S 3·q 12＝3×24＝48. 三、解答题11．设{a n }是等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d.∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18.当⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去)此时，b n ＝b 1qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－14<0舍去此时，b n ＝b 1qn －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n a n ＋3(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n a n ＋3＝12n n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2n ＋1. 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝12n ＋2n ＋1>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.能力提升13．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .解 由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )． ∵d ≠0，由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3.∴ak n ＝a 1·3n －1.又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1，∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1.∵a 1≠0，∴k n ＝2·3n －1－1，∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)－n ＝3n－n －1.14．设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1b n －1 (n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1. (1)证明 由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t 3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ， ① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t . ② ①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t，(n ＝2,3，…)． ∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)解 由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t，得b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)解 由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列．于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－43·12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n ＋13＝－49(2n 2＋3n )．1．等差数列和等比数列各有五个量a1，n，d，a n，S n或a1，n，q，a n，S n.一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d(或q)，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．。

必修5 数列复习小结 第2课时 第 20 课时一、学习目标（1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）提高分析、解决问题能力．二、例题探究例1（2009浙江文）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．I ） 求1a 及n a ；II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例 2 (2009山东卷文)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=-- 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=- 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n 项和n T .例3.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解: (Ⅰ)依题意知，数列n A 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以2(1)480(20)490102n n n A n n n -=+⨯-=-， 2111500(1)500(1)500(1)600222n n B =++++++-＝2111500500()600222nn ++++- ＝11[1()]22500500600112n n -+⨯--＝5005001002n n -- (Ⅱ)依题意得，n n B A >，即2500500100490102n n n n -->-， 可化简得250102n n n <+-， ∴可设n n f 250)(=，2()10g n n n =+- 又+∈N n ，∴可设)(n f 是减函数，)(n g 是增函数，又5050(3)(3)2,(4)(4)8816f g f g =>==<= 则4n =时不等式成立，即4年三、课后作业1.（2007宁夏）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于________22．（2006江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝_________1003.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为．答案262n n-+四、反思总结。