2016届高考数学大一轮复习课时跟踪检测(四十四)直线、平面垂直的判定及其性质文(含解析)

课时跟踪检测(四十四)直线、平面垂直的判定及其性质(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分一、选择题1．(2015·海淀模拟)若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直2．(2015·石家庄调研)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β3．(2015·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对4．(2015·绵阳诊断)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A．l⊂α，m⊂β，且l⊥mB．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β5．(2015·天津模拟)如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D -ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC .其中正确的是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①③④6．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1C.32 D ．2二、填空题7．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．(2015·福建四地六校月考)点P 在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A -D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．9．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)10．(2015·海淀期末)已知某四棱锥的底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．(1)若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________；(2)关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．所有正确结论的序号是________．三、解答题11．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC-AB1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F12．如图，在正方体ABCD-A为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.B卷：增分提能1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．2．(2015·西城一模)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．(1)求证：AB∥平面SCD；(2)求证：SN⊥平面ABCD；(3)在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由．3．(2015·商丘质检)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C ＝4.(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求证：FB∥平面A′DE.答案A 卷：夯基保分1．选D 对于A ，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 错；对于B ，垂直于直线l 的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B 错；对于C ，垂直于平面β的平面与直线l 平行或相交，故C 错；易知D 正确．2．选D A 项中，应该是b ∥α或b ⊂α；B 项中，如果是墙角的三个面就不符合题意；C 项中，α∩β＝m ，若a ∥m 时，满足a ∥α，a ∥β，但是α∥β不正确；所以选D.3．选D 过直线a 的平面α有无数个，当平面α与直线b 平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b 相交时，过交点作平面α的垂线与b 确定的平面β⊥α.故选D.4．选D 对于A ，l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m ，如图(1)，α，β不垂直； 对于B ，l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n ，如图(2)，α，β不垂直；对于C ，m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m ，直线l 没有确定，则α，β的关系也不能确定； 对于D ，l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β，则必有l ⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β. 5．选B 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B.6．选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2， 所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中， B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12.7．解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ， ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．解析：由题意可得直线BC 1平行于直线AD 1，并且直线AD 1⊂平面AD 1C ，直线BC 1⊄平面AD 1C ，所以直线BC 1∥平面AD 1C .所以V A -D 1PC ＝V P -AD 1C .点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以体积不变．故①正确； 连接A 1C 1，A 1B ，可得平面AD 1C ∥平面A 1C 1B . 又因为A 1P ⊂平面A 1C 1B ， 所以A 1P ∥平面ACD 1，故②正确；当点P 运动到B 点时△DBC 1是等边三角形， 所以DP 不垂直BC 1.故③不正确； 因为直线AC ⊥平面DB 1，DB 1⊂平面DB 1. 所以AC ⊥DB 1.同理可得AD 1⊥DB 1. 所以可得DB 1⊥平面AD 1C . 又因为DB 1⊂平面PDB 1. 所以可得平面PDB 1⊥平面ACD 1. 故④正确．综上正确的序号为①②④. 答案：①②④9．解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③10.解析：(1)由三视图知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，如图所示，所以该四棱锥的体积为13×2×2×1＝43.(2)由图可知PQ ⊥平面ABCD ，则有PQ ⊥AB ，又AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ，于是侧面P AB ⊥侧面PBC ，同理可知侧面PDC ⊥侧面PBC ，故①正确；由上述易知AB ⊥PB ，CD ⊥PC ，所以△P AB ，△PCD 为直角三角形，又四棱锥的侧视图为直角三角形，所以△PBC 为直角三角形，故②正确；由图易判断平面P AB 与平面P AD 不垂直，故③正确．综上知①②③均正确．答案：(1)43(2)①②③11．证明：(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ， 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形， 所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1中点， 所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE . 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC .(2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ， F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC . 又因为AA 1⊥底面ABC ， 而BF ⊂底面ABC ， 所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1， AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1. 因为OE ⊂平面A 1EC ， 所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.12．解：(1)证明：连接AD 1，BC 1，由正方体的性质可知，DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ，又AB ∩AD 1＝A ，∴DA 1⊥平面ABC 1D 1， 又AE ⊂平面ABC 1D 1， ∴DA 1⊥AE .(2)所求G 点即为A 1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连接AH ，EH ，由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ， AH ∩EH ＝H ，可证DF ⊥平面AHE ，∵AE ⊂平面AHE ， ∴DF ⊥AE . 又DF ∩A 1D ＝D ，∴AE ⊥平面DF A 1，即AE ⊥平面DFG . B 卷：增分提能1．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形， 所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 故B 1C ⊥平面ABO .由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC .又OH ⊥AD ，AD ∩BC ＝D ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ， 且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为217. 2．解：(1)证明：因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ， 又因为AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ， 所以AB ∥平面SCD .(2)证明：因为AB ⊥SA ，AB ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面SAD ，又因为SN ⊂平面SAD ，所以AB ⊥SN . 因为SA ＝SD ，且N 为AD 中点， 所以SN ⊥AD . 又因为AB ∩AD ＝A ， 所以SN ⊥平面ABCD .(3)存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD .理由如下：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作FP ∥SN 交SC 于点P ，连接PD ，PB . 因为SN ⊥平面ABCD ，所以FP ⊥平面ABCD . 又因为FP ⊂平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为ND ∥BC ， 所以NF FC ＝ND BC ＝12.在△SNC 中，因为FP ∥SN ， 所以NF FC ＝SP PC ＝12.则在棱SC 上存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ，此时SP PC ＝12.3．证明：(1)由题意，△A ′DE 是△ADE 沿DE 翻折而成的， ∴△A ′DE ≌△ADE .∵∠ABC ＝120°，四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝60°. 又∵AD ＝AE ＝2，∴△A ′DE 和△ADE 都是等边三角形．如图，连接A ′M ，MC ， ∵M 是DE 的中点， ∴A ′M ⊥DE ，A ′M ＝ 3.在△DMC 中，MC 2＝DC 2＋DM 2－2DC ·DM cos 60°＝42＋12－2×4×1×cos 60°， ∴MC ＝13.在△A ′MC 中，A ′M 2＋MC 2＝(3)2＋(13)2＝42＝A ′C 2. ∴△A ′MC 是直角三角形，∴A ′M ⊥MC . 又∵A ′M ⊥DE ，MC ∩DE ＝M ， ∴A ′M ⊥平面BCD . 又∵A ′M ⊂平面A ′DE ， ∴平面A ′DE ⊥平面BCD . (2)取DC 的中点N ，连接FN ，NB .∵A ′C ＝DC ＝4，F ，N 分别是A ′C ，DC 的中点， ∴FN ∥A ′D .又∵N ，E 分别是平行四边形ABCD 的边DC ，AB 的中点， ∴DN 綊EB ，∴四边形EBND是平行四边形，∴BN∥DE.又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.。

解 (1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC,………2′ 又∵PA⊥底面ABCD,BD 平面ABCD,∴BD⊥PA, 又∵PA∩AC=A,…………………………………….3′ ∴BD⊥平面PAC. 故当a=2时,BD⊥平面PAC……………………….4′
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、 MN……..5′ ∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………………………..6′ ∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………………………..7′ 即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………………………………………..9′ 故(3当)设aM=4是时B,CBC边边上的符中合点题M设使的P点MM⊥, DM. ∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………………………………………11′ 因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD≥2AB,即a≥4为所 求…………….12′
ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t，则t的
取值范围是
.
解析: 如图2，过K作KM⊥AF于M点，连接DM，
由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，与折前的图
1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且
DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA,
AK DA
AD ， t DF 1
分析 （1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面 PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知 ABCD为正方形. （2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知， M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.

课时跟踪检测(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④2．(2014·南昌模拟)设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a ⊂α，b ⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对3．已知在空间四边形ABCD 中，AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，且△BCD 是锐角三角形，则必有( )A ．平面ABD ⊥平面ADCB ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BDCD ．平面ABC ⊥平面BDC4.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．25.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)6．假设平面α∩平面β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥β，垂足分别为B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有下面四个条件：①AC ⊥α；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)7．(2013·辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.8．(2013·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别为CD 和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.第Ⅱ卷：提能增分卷1．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22.图1 图2(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .2．如图，在三棱锥A -BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC＝π6，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D 、E 分别为AB 、OB 的中点． (1)求证：CO ⊥平面AOB ；(2)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置；若不存在，请说明理由．3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当B1EEC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．答 案第Ⅰ卷：夯基保分题1．选D 易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．故选D.2．选D 过直线a 的平面α有无数个，当平面α与直线b 平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b 相交时，过交点作平面α的垂线与b 确定的平面β⊥α.故选D.3．选C ∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BDC ，又AD ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面BDC .故选C.4．选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.由面积相等得66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12.5．解析：由定理可知，BD ⊥PC . ∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时， 即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)6．解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③7．证明：(1)证明：由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得P A⊥BC.又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，所以BC⊥平面P AC.(2)连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为P A中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.8．证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A ⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD，因为P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)证明：如图1，在等边三角形ABC 中，AB ＝AC . ∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC，∴DE ∥BC ，∴DG ∥BF ，如图2，DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DG ∥平面BCF . 同理可证GE ∥平面BCF .∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：如图1，在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，∴AF ⊥FC ，∴BF ＝FC ＝12BC＝12.在图2中，∵BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋FC 2，∴∠BFC ＝90°，∴FC ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1，在图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面BCF ，由(1)知平面GDE ∥平面BCF ，∴AF ⊥平面GDE .在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32， ∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ，∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118，∴V F -DEG ＝13S △DGE ·FG ＝3324. 2．解：(1)证明：因为AO ⊥平面COB ， 所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO .即△AOC 与△AOB 为直角三角形． 又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2，可知△BOC 为直角三角形． 所以CO ⊥BO ，又因为AO ∩BO ＝O ， 所以CO ⊥平面AOB .(2)在段线CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点． 如图，连接DF ，EF ，因为D 、E 分别为AB 、OB 的中点，所以DE∥OA .又DE ⊄平面AOC 上，所以DE ∥平面AOC . 因为E 、F 分别为OB 、BC 的中点，所以EF ∥OC .又EF ⊄平面AOC ，所以EF ∥平面AOC ，又EF ∩DE ＝E ，EF ⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.3．解：(1)证明：在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又∵AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，CC1⊂平面BCC1B1，C1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)由(1)，得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．当B1EEC1＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.证明如下，作图如图所示．事实上，正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D，E分别是BC，B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B＝DE.又∵B1B∥AA1，且B1B＝AA1，∴DE∥AA1，且DE＝AA1.∴四边形ADEA1为平行四边形，∴EA1∥AD.而A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.。

课时跟踪检测(四十六) 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．(2015·海淀模拟)若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则( )A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直2．(2015·石家庄调研)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β3．(2015·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对4．(2015·绵阳诊断)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A．l⊂α，m⊂β，且l⊥mB．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β5．(2015·天津模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD 和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D­ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( )A．①②④B．①②③C ．②③④D ．①③④6．如图，直三棱柱ABC ­A1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12B ．1 C.32D ．2二、填空题7．如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．(2015·福建四地六校月考)点P 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A ­D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．9．假设平面α∩平面β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥β，垂足分别为B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有下面四个条件：①AC ⊥α；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)10．(2015·海淀期末)已知某四棱锥的底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．(1)若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________；(2)关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面．所有正确结论的序号是________．三、解答题11．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC­A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.12．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.答案1．选D 对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确．2．选D A项中，应该是b∥α或b⊂α；B项中，如果是墙角的三个面就不符合题意；C项中，α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确；所以选D.3．选D 过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.4．选D 对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，如图(1)，α，β不垂直；对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，如图(2)，α，β不垂直；对于C ，m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m ，直线l 没有确定，则α，β的关系也不能确定；对于D ，l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β，则必有l ⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.5．选B 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B.6．选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 7．解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．解析：由题意可得直线BC 1平行于直线AD 1，并且直线AD 1⊂平面AD 1C ，直线BC 1⊄平面AD 1C ，所以直线BC 1∥平面AD 1C .所以VA ­D 1PC ＝VP ­AD 1C .点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以体积不变．故①正确； 连接A 1C 1，A 1B ，可得平面AD 1C ∥平面A 1C 1B .又因为A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，故②正确；当点P 运动到B 点时△DBC 1是等边三角形，所以DP 不垂直BC 1.故③不正确；因为直线AC ⊥平面DB 1，DB 1⊂平面DB 1.所以AC ⊥DB 1.同理可得AD 1⊥DB 1.所以可得DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1.所以可得平面PDB 1⊥平面ACD 1.故④正确．综上正确的序号为①②④.答案：①②④9．解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③10．解析：(1)由三视图知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，如图所示，所以该四棱锥的体积为13×2×2×1＝43.(2)由图可知PQ ⊥平面ABCD ，则有PQ ⊥AB ，又AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ，于是侧面PAB ⊥侧面PBC ，同理可知侧面PDC ⊥侧面PBC ，故①正确；由上述易知AB ⊥PB ，CD ⊥PC ，所以△PAB ，△PCD 为直角三角形，又四棱锥的侧视图为直角三角形，所以△PBC 为直角三角形，故②正确；由图易判断平面PAB 与平面PAD 不垂直，故③正确．综上知①②③均正确．答案：(1)43(2)①②③11．证明：(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1. 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE .又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC .(2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE ，得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ，所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.12．解：(1)证明：连接AD 1，BC 1，由正方体的性质可知，DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ，又AB ∩AD 1＝A ，∴DA 1⊥平面ABC 1D 1，又AE ⊂平面ABC 1D 1，∴DA1⊥AE.(2)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.。