高考数学大一轮复习通用版课件 (1)

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式2014高考会这样考 1.考查对充分条件、必要条件、充要条件的理解应用，主要以客观题形式出现；2.和其他数学知识相结合，考查充要条件的推理判断和命题的等价性．复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．[难点正本疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A ⃘B ，且B ⃘A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号填在横线上) 答案 ②③解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 2．“x >2”是“1x <12”的________条件．答案 充分不必要解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <12，∴“x >2”是“1x <12”的充分条件．②1x <12⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <12”的不必要条件．3．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为若a ＝b <0，则a ＋b 2≠ab ，所以充分性不成立；反之，因为a ＋b2＝ab ⇔a ＝b ⇔a ＝b ≥0，所以必要性成立，故“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的必要不充分条件．4．(2011·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一命题的四种形式及其关系例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是() A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断． 答案 D解析 命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 探究提高 (1)熟悉概念是正确书写或判断命题的四种形式真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接 判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特 例．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 C解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 题型二 充要条件的判断例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断． 答案 D解析 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f (－x )f (x )＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件； 对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ； 反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A . 所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.探究提高 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件． 其中真．命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④. 题型三 充要条件的应用例3 已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件． 思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． 解 (1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5， 因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M ∩P ＝{x |5<x ≤8}”的一个充分但不必要条件．探究提高 利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个 条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的 检验．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5， 解得a >4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，[2分] ∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，[3分]由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，[5分] ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．[6分]∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，[2分]由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，[4分]由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．[6分]∵p 是q 的充分而不必要条件，∴PQ ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题 的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 失误与防范1．判断命题的真假及写命题的四种形式时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠π4.2．(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B. 4．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎨⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7．(2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8．(10分)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0， ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．9．(12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1>1，m ＋1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1m ＋1<5， 解得2<m ≤4或2≤m <4，∴2≤m ≤4.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·上海)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 ∵mn >0，∴⎩⎨⎧ m >0，n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n <0，当m >0，n >0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn >0，所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．2．已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C 解析 由1x －2≥1，得2<x ≤3； 由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a ≤3. 所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4.a >4D /⇒a >5，但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件．二、填空题(每小题5分，共15分)4．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)解析 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合； 当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4a <0， 解得a >1.即p ：{ a |a >1}．由f (x )在R 上为减函数，得0<4a －3<1，解得34<a <1.即q ：{a |34<a <1}，由题意，可知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 的取值范围是{a |a >1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a >1}； 当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |34<a <1}＝{a |34<a <1}； 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)．5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，得1≤x <2. 6．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件． 答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件． 三、解答题7．(13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时， A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。