2015-2016东北师范大学附属中学、长春十一高和松原实验中学三校联考理科数学试题及答案

2016年吉林省松原实验中学、长春十一中、东北师大附中三校联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁U A）∩（∁B）=（）UA．{1，2，7，8}B．{4，5，6}C．{0，4，5，6}D．{0，3，4，5，6}2．（5分）已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．（5分）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或 B．或C．D．或104．（5分）函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx ﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．5 C．7 D．3+25．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π6．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．37．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π9．（5分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤810．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）11．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a=|MO|+|MT|12．（5分）已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③B．②③C．③④D．②④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）已知0＜θ＜π，tan（θ+）=，那么sinθ+cosθ=．15．（5分）若x，y满足条件，目标函数z=﹣3x+2y的最小值为．16．（5分）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；（Ⅱ）若，，求b．18．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．19．（12分）甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．20．（12分）椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB 分别与椭圆C1交于点E，F．（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当，x∈（1，+∞）时，求证：．四、选做题：[选修4－1：几何证明选讲]（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．[选修4－4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4－5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．2016年吉林省松原实验中学、长春十一中、东北师大附中三校联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁U A）∩（∁B）=（）UA．{1，2，7，8}B．{4，5，6}C．{0，4，5，6}D．{0，3，4，5，6}【解答】解：全集U={x∈N|x≤8}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，3，7}，∴∁U A={0，2，4，5，6，8}；B={2，3，8}，∴∁U B={0，1，4，5，6，7}；∴（∁U A）∩（∁U B）={0，4，5，6}．2．（5分）已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【解答】解：∵复数z1=1+i，z2=1﹣i，∴====﹣2i．故选：D．3．（5分）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或 B．或C．D．或10【解答】解：∵实数数列：1，a，81成等比数列，∴a2=81，解得a=9或a=﹣9，当a=9时，曲线方程为x2+=1表示焦点在y轴的椭圆，其中a=3，c==2，故离心率e==；当a=﹣9时，曲线方程为x2﹣=1表示焦点在x轴的双曲线，其中a=1，c==，故离心率e==；故选：A．4．（5分）函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx ﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．5 C．7 D．3+2【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，由m＞0，n＞0可得（+）（m+n）=3+≥3+2=3+2当且仅当即m=﹣1且n=2﹣时取等；故选D．5．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．故选B．6．（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3【解答】解：甲地肯定进入夏季，因为众数为22°C，所以22°C至少出现两次，若有一天低于22°C，则中位数不可能为24°C；丙地肯定进入，10.2×5﹣（32﹣26）2≥（26﹣x）2，∴15≥（26﹣x）2，若x≤21，不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．故选：C．7．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．9．（5分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．10．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（0，2） D．（1，2）【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．f′（x）=．∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2=0有两个绝对值大于1的解，∴m＞1．故选：D．11．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a=|MO|+|MT|【解答】解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．12．（5分）已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③B．②③C．③④D．②④【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴该命题错误；②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；∴该命题错误；③（1）x＜0时，f（x）=e x（x+1）；∴﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；（2）x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴x＞1时，f（x）＞0；∴f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；∴该命题正确；④（1）x＜0时，f′（x）=e x（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；（2）x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；∴该命题正确；∴正确的命题为③④．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．【解答】解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．14．（5分）已知0＜θ＜π，tan（θ+）=，那么sinθ+cosθ=﹣．【解答】解：∵0＜θ＜π，=，∴tanθ=﹣=，再根据sinθ＞0，cosθ＜0，sin2θ+cos2θ=1，可得sinθ=，cosθ=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．15．（5分）若x，y满足条件，目标函数z=﹣3x+2y的最小值为﹣1．【解答】解：作出x，y满足条件，所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x+z可知：当直线经过点A时，直线的截距最小，解方程组可解得A（1，1）此时目标函数z取最小值z=﹣3+2=﹣1，故答案为：﹣1．16．（5分）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序是②④．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；（Ⅱ）若，，求b．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由条件：，由于：acosC+ccosA=b，所以：，即：2（a+c）=3b…．（5分）（Ⅱ）∵，∴，…．（6分）∵，∴ac=8…．（8分）又∵b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB），由2（a+c）=3b，∴，∴b=4…．（12分）18．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）（Ⅱ）P到平面ABCD的距离d=1所以：而：，所以h=2…．（12分）19．（12分）甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95）（82，75）（82，80）（82，90）（82，85）（82，95）（82，75）（82，80）（82，90）（82，85）（79，95）（79，75）（79，80）（79，90）（79，85）（95，95）（95，75）（95，80）（95，90）（95，85）（87，95）（87，75）（87，80）（87，90）（87，85）基本事件总数n=25，记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：（82，75）（82，80）（82，75）（82，80）（79，75）（95，75）（95，80）（95，90）（95，85）（87，75）（87，80）（87，85）事件A包含的基本事件数是m=12，所以，（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：=85，=85，甲乙平均分相同；又甲的标准差的平方（即方差）S甲2=31.6，乙的标准差的平方（即方差）S乙2=50，S甲2＞S乙2，甲乙平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，∴派甲去比较合适．20．（12分）椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB 分别与椭圆C1交于点E，F．（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．∴依题意，设C1：，C2：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：b2=1，所以椭圆C1：，C2：…．（4分）证明：（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则，，，，…．（6分）∴，直线PA，PB斜率之积为常数﹣2…．（8分）解：（2）设E（x1，y1），则，，，∴，同理：…．（10分）∴，由k EA=k PA，k FB=k PB，结合（1）有…．（10分）21．（12分）设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当，x∈（1，+∞）时，求证：．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），当时，，…（3分）令f′（x）＞0，得：或，所以函数单调增区间为：，，令f′（x）＜0，得：，所以函数单调减区间为：，…（5分）（Ⅱ）若证，成立，只需证：，即：2（x﹣1）lnx+1＞2（x﹣1）当x＞1时成立…（6分）设g（x）=2（x﹣1）lnx﹣2（x﹣1）+1（x＞1），∴，显然g′（x）在（1，+∞）内是增函数，且g′（1）=﹣2＜0，，∴g′（x）=0在（1，2）内有唯一零点x0，使得：，且当x∈（1，x0），g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞），g′（x）＞0．∴g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增…（10分），g（x）min=g（x0）=2（x0﹣1）（lnx0﹣1）+1==，∵x0∈（1，2），∴，∴g（x）min＞0，∴成立…（12分）四、选做题：[选修4－1：几何证明选讲]（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．[选修4－4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4－5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥2|x+5|⇒|x﹣1|≥|x+5|⇔（2x+4）（x﹣1﹣x﹣5）≥0，解得：x≤﹣2，∴原不等式解集为{x|x≤﹣2}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+|x+5|≥|x﹣a﹣（x+5）|=|a+5|，若f（x）≥8恒成立，只需：|a+5|≥8，解得：a≥3或a≤﹣13．。

2015-2016学年吉林省东北师大附中、长春十一高、松原实验中学三校联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U={x ∈N|x ≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．{1，2，7，8} B ．{4，5，6} C ．{0，4，5，6} D ．{0，3，4，5，6}2．已知复数z 1=1+i ，z 2=1﹣i ，则=（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．2i D ．﹣2i3．若实数数列：1，a ，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）A ． 或B ．或C ．D ．或104．函数f （x ）=a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20+2πB ．20+3πC ．24+2πD ．24+3π6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃） ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．37．已知条件p ：，条件q ＜0：直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π9．若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤810．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，2）11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT| 12．已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③B．②③C．③④D．②④二、填空题13．向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．已知0＜θ＜π，，那么sinθ+cosθ=．15．若x，y满足条件，目标函数z=﹣3x+2y的最小值为．16．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；（Ⅱ）若，，求b．18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．19．甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．20．椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于点E，F．（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当，x∈（1，+∞）时，求证：．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4--1几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=2PB2．[选修4--4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4--5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年吉林省东北师大附中、长春十一高、松原实验中学三校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{1，2，7，8} B．{4，5，6} C．{0，4，5，6} D．{0，3，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={x∈N|x≤8}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，3，7}，∴∁U A={0，2，4，5，6，8}；B={2，3，8}，∴∁U B={0，1，4，5，6，7}；∴（∁U A）∩（∁U B）={0，4，5，6}．【点评】本题考查了补集与交集的运算问题，是基础题目．2．已知复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算法则，进行化简与运算即可．【解答】解：∵复数z1=1+i，z2=1﹣i，∴====﹣2i．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数运算与化简问题，是基础题目．3．若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）A．或B．或C． D．或10【考点】等比数列的通项公式；曲线与方程．【分析】由等比数列的可得a的值，分类讨论可求曲线的离心率．【解答】解：∵实数数列：1，a，81成等比数列，∴a2=81，解得a=9或a=﹣9，当a=9时，曲线方程为x2+=1表示焦点在y轴的椭圆，其中a=3，c==2，故离心率e==；当a=﹣9时，曲线方程为x2﹣=1表示焦点在x轴的双曲线，其中a=1，c==，故离心率e==；故选：A．【点评】本题考查等比数列和圆锥曲线，涉及分类讨论的思想，属基础题．4．函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．【考点】基本不等式；指数函数的图象变换．【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3+ +，由基本不等式可得．【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）=a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，由m＞0，n＞0可得=（）（m+n）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题．5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与正方体的组合体，由7个平面和1个曲面组成．【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．故选B．【点评】本题考查了圆柱，棱柱的三视图和面积计算，属于基础题．6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】利用众数、中位数、方差、平均数的性质求解．【解答】解：甲地肯定进入夏季，因为众数为22°C，所以22°C至少出现两次，若有一天低于22°C，则中位数不可能为24°C；丙地肯定进入，10.2×5﹣（32﹣26）2≥（26﹣x）2，∴15≥（26﹣x）2，若x≤21，不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．故选：C．【点评】本题考查众数、中位数、方差、平均数的应用，是基础题，解题时要认真审题，熟练掌握基本概念．7．已知条件p：，条件q＜0：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由直线和圆的位置关系以及充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得直线y=kx+2为x+y﹣2=0，圆心（0，0）到直线的距离d==1=r，故可得直线与圆x2+y2=1相切，即p可推出q；当直线与圆x2+y2=1相切时，=1，解得k=±，不是k=﹣，即q不能推出p，故p是q的充分不必要条件．故选：A【点评】本题考查充要条件的判定，涉及直线与圆的位置关系，属基础题．8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时，S的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时S的值∵2+22+23+…+26=126故最后一次进行循环时n的值为6，故判断框中的条件应为n≤6故选B【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．10．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）的图象判断导函数f'（x）的正负进而得到m的关系得到答案．【解答】解：f′（x）==由图知m﹣2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，故选C【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT| 【考点】双曲线的简单性质．【分析】先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．【解答】解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．【点评】本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．12．已知函数定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，其中正确的命题是（）A．①③B．②③C．③④D．②④【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）为奇函数，可设x＞0，从而有﹣x＜0，从而可求出f（x）=e﹣x（x﹣1），从而可看出﹣1，1，0都是f（x）的零点，这便得出①②错误，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，从而判断出③的正误，可分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导数，根据导数符号可判断f（x）的单调性，根据单调性即可求出f（x）的值域，这样便可得出∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．【解答】解：①f（x）为R上的奇函数，设x＞0，﹣x＜0，则：f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x）；∴f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴该命题错误；②∵f（﹣1）=0，f（1）=0；又f（0）=0；∴f（x）有3个零点；∴该命题错误；③（1）x＜0时，f（x）=e x（x+1）；∴﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；（2）x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；∴x＞1时，f（x）＞0；∴f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；∴该命题正确；④（1）x＜0时，f′（x）=e x（x+2）；∴x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；（2）x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；∴该命题正确；∴正确的命题为③④．故选：C．【点评】考查奇函数的定义，对于奇函数，已知一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，函数零点的定义及求法，指数函数的值域，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，可画图解本题．二、填空题13．向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得（+）（2﹣）=0，根据向量数量积的运算化简得=0，即可求出向量与的夹角．【解答】解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．【点评】本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．14．已知0＜θ＜π，，那么sinθ+cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式求得sinθ和cosθ的值，可得sinθ+cosθ的值．【解答】解：∵0＜θ＜π，=，∴tanθ=﹣=，再根据sinθ＞0，cosθ＜0，sin2θ+cos2θ=1，可得sinθ=，cosθ=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．15．若x，y满足条件，目标函数z=﹣3x+2y的最小值为﹣1．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x结合图象可得．【解答】解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A时，直线的截距最小，解方程组可解得A（1，1）此时目标函数z取最小值z=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；（Ⅱ）若，，求b．【考点】余弦定理；正弦定理．（Ⅰ）由已知及降幂公式可得，由acosC+ccosA=b，【分析】可得，即可得解．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式可求ac=8，利用余弦定理可得b2=（a+c）2﹣2ac（1+cosB），代入（Ⅰ）的结论2（a+c）=3b，即可解得b 的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由条件：，由于：acosC+ccosA=b，所以：，即：2（a+c）=3b…．（5分）（Ⅱ）∵，∴，…．（6分）∵，∴ac=8…．（8分）又∵b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB），由2（a+c）=3b，∴，∴b=4…．（12分）【点评】本题主要考查了降幂公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P﹣ABF体积的4倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）利用体积公式，即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（6分）（Ⅱ）P到平面ABCD的距离d=1所以：而：，所以h=2…．（12分）【点评】本题考查直线与平面、平面与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．19．甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（Ⅱ）现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件数可以通过列举得到，每个人有五个分数，共有25种结果，从列举出来的事件中看出满足条件的事件数，得到概率．（II）派那一个取参加竞赛，要看出这两个同学的平均分和方差，他们的平均分相同，不能从平均分上区别，需要作出两个人分数的方差，选一个方差较小的去参加比赛．【解答】解：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95）（82，75）（82，80）（82，90）（82，85）（82，95）（82，75）（82，80）（82，90）（82，85）（79，95）（79，75）（79，80）（79，90）（79，85）（95，95）（95，75）（95，80）（95，90）（95，85）（87，95）（87，75）（87，80）（87，90）（87，85）基本事件总数n=25，记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：（82，75）（82，80）（82，75）（82，80）（79，75）（95，75）（95，80）（95，90）（95，85）（87，75）（87，80）（87，85）事件A包含的基本事件数是m=12，所以，（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：=85，=85，甲乙平均分相同；又甲的标准差的平方（即方差）S甲2=316，乙的标准差的平方（即方差）S乙2=50，S甲2＞S乙2，甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，∴派乙去比较合适．【点评】本题考查茎叶图，考查两组数据的平均数和方差，对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征．20．椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于点E，F．（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意，设C1：，C2：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，从而得到b2=1，由此能求出椭圆C1与C2的方程．（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则，，，由此能证明直线PA，PB斜率之积为常数．（2）设E（x1，y1），则，，，由此能求出直线AF与直线BE的斜率之积为常数．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．∴依题意，设C1：，C2：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：b2=1，所以椭圆C1：，C2：…．（4分）证明：（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则，，，，…．（6分）∴，直线PA，PB斜率之积为常数﹣2…．（8分）解：（2）设E（x1，y1），则，，，∴，同理：…．（10分）∴，由k EA=k PA，k FB=k PB，结合（1）有…．（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之积为常数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程、斜率公式等知识点的合理运用．21．设函数，（a＞0）（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当，x∈（1，+∞）时，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为2（x﹣1）lnx+1＞2（x﹣1）当x＞1时成立，设g（x）=2（x﹣1）lnx﹣2（x﹣1）+1（x＞1），通过判断函数的单调性，求出g（x）的最小值，从而证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），当时，，…（3分）令f′（x）＞0，得：或，所以函数单调增区间为：，，令f′（x）＜0，得：，所以函数单调减区间为：，…（5分）（Ⅱ）若证，成立，只需证：，即：2（x﹣1）lnx+1＞2（x﹣1）当x＞1时成立…（6分）设g（x）=2（x﹣1）lnx﹣2（x﹣1）+1（x＞1），∴，显然g′（x）在（1，+∞）内是增函数，且g′（1）=﹣2＜0，，∴g′（x）=0在（1，2）内有唯一零点x0，使得：，且当x∈（1，x0），g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞），g′（x）＞0．∴g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增…（10分），g（x）min=g（x0）=2（x0﹣1）（lnx0﹣1）+1==，∵x0∈（1，2），∴，∴g（x）min＞0，∴成立…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4--1几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=2PB2．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得ADDE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PBPC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BDDC=PB2PB，∵ADDE=BDDC，∴ADDE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4--4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的互化，参数得几何意义，属于基础题．[选修4--5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）若a=1，不等式：f（x）≥2|x+5|⇒|x﹣1|≥|x+5|，等价于（x﹣1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩，把f（x）≥8恒成立转化为|a+5|≥8，求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥2|x+5|⇒|x﹣1|≥|x+5|⇔（2x+4）（x﹣1﹣x﹣5）≥0，解得：x≤﹣2，∴原不等式解集为{x|x≤﹣2}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+|x+5|≥|x﹣a﹣（x+5）|=|a+5|，若f（x）≥8恒成立，只需：|a+5|≥8，解得：a≥3或a≤﹣13．【点评】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查数学转化思想方法，是中档题．。

2015---2016学年（高二）年级上学期期中考试（数学理）学科试卷命题人：赵乾说明：1、此试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

2、 满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个．．．．正确选项) 1．下列所给出的赋值语句中正确的是（）A.x -=5B.x y ==1C.y y =-D.x y +=12．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（） A.1 B.1- C.2D.2-3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（） A ．32y x =±B ．3y x =±C ．33y x =± D ．32y x =±4. 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x =21，则x =1”的否命题为：“若x =21，则x ≠1”B ．“x =-1”是“x x --=2560”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得x x ++<210”的否定是：“x R ∀∈，均有x x ++>210”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 5．已知平面α的法向量为(2,2,4),(3,1,2)n AB =-=-r u u u r，点A 不在α内，则直线AB 与平面的位置关系为 ( )A ．AB α⊥B ．AB α⊂C ．AB 与α相交不垂直D ．//AB α6．已知:p R x ∀∈，210x x -+>，:q ()0,x ∃∈+∞，sin 1x >，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∨ C ．p q ∨⌝ D ．p q ⌝∧⌝ 7．过抛物线的焦点F 的直线交该抛物线于点A ．若|AF|=3，则点A 的坐标为（） A ．（2，22） B ．（2，22-）C ．（2，22±） D ．（1，±2）8．直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为（） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定9．设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（）． A ．αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥B ．m αγ=I ，αγ⊥，βγ⊥ C ．αγ⊥，βγ⊥，m α⊥D ．n α⊥，n β⊥，m α⊥10．下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720=S ，则在判断框中 应填入关于k 的判断条件是（）A ．?6≥kB ．?7≥kC ．?8≥kD ．?9≥k11．如图，空间四边形C OAB 中，a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，C c O =u u u r r，点M 在OA 上，且23OM =OA u u u u r u u u r，点N 为C B 中点，则MN u u u u r 等于（）A ．121232a b c -+r r rB ．211322a b c -++r r rC ．111222a b c +-r r rD ．221332a b c +-r r r12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点2(,)a abc c -与点1F 关于直线bxy a =-对称，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．5C ．2D ．2第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共分，共20分)13．“m >-1”是“方程22121x y m m-=++表示双曲线”的一个条件.14..15．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则 12PF PF ⋅u u u r u u u u r的取值范围是.16.已知P 为抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的 坐标是(2,0)，则||||PA PM +的最小值为__________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）设p :114≤-x ；q :2(21)(1)0x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（I ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； （II ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值．19已知曲线C 上任意一点M 满足4||||21=+MF MF , 其中F 1(),0，-3F 2(),0，3（II ）已知直线:3l y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，PA ⊥底面ABCD ，且22====BC AB AD PA ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．（I ）求证：PB ADMN ⊥平面；（II ）求BD 与平面ADMN 所成的角；（III ）点E 在线段PA 上，试确定点E 的位置，使二面角E CD A --为︒45． 21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为24，离心率为23．（I ）求椭圆的标准方程； （II ）若直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点．点)1,2(P 为椭圆上一点，求△PAB 的面积的最大值．22．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若 不是，请说明理由.2015---2016学年（高二）年级上学期期中考试（数学理）学科答案命题人：赵乾说明：1、此试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。