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利用待定系数法求直线和圆的方程

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围成直角三角形，可用该ｂ来表示直线在．ｚ　轴上的截距，从而表示出直角三角形的面　积，建立方程求出待定系数ｂ．　解　设所求直线在Ｙ轴上的截距为ｂ，　则该直线方程可设为Ｙ一÷．ｚ＋ｂ，故与　轴　的交点为（一３ｂ，Ｏ）．　所以妻×１　ｂ　ｌ×｝一３ｂ　１—６，解得ｂ一　±２，所求直线方程为Ｙ一÷ｚ±２，即　一３ｙ　＋６—０或　一３ｙ一６—０．　点评　当直线的斜率ｋ确定时，可设　直线在Ｙ轴上的截距ｂ为待定系数．　例３　已知直线ｚ过点Ａ（２，一３），分别　求与直线２　＋　一３—０平行或垂直的直线Ｚ　的方程．　分析　直线ｚ过点定点，且与直线２ｚ　＋　一３—０平行或垂直，可抓住两直线平行、　垂直的关系，设出直线ｚ的一般式方程．　解　若直线ｚ与２　＋Ｙ一３—０平行，　可设直线ｌ的方程为２ｚ＋Ｙ＋　一０，　因为直线ｚ过点Ａ（２，一３），所以　一　１，则与直线２　＋Ｙ一３—０平行的直线方　程为２ｘ＋Ｙ一１—０；　若直线ｚ与２ｚ＋Ｙ一３—０垂直，可设直　线ｌ的方程为ｚ一２ｙ＋　一０，　因为直线ｚ过点Ａ（２，一３），所以　一　８，则与直线２　＋Ｙ一３—０垂直的直线方　程为ｚ一２　一８：０．　点评　与直线Ａｚ＋Ｂ　＋Ｃ一０平行的　直线方程可设为Ａｘ＋Ｂｙ＋ｍ一０；与直线　Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ一０垂直的直线方程可设为Ｂｘ　—Ａ　＋ｍ＝０．　二、在圆的方程中设待定系数　例４　已知直线ｚ　：３　＋４　一５一ｏ，如果　过点（一１，２）的直线ｌ　与Ｚ　垂直，Ｚ２与圆心在　
直线　一２ｙ一０上的圆Ｍ相切，圆被直线Ｚ　
分成两段圆弧，其弧长比为２：１，求圆Ｍ的　
方程．　
分析　由于所求圆与Ｚ。相切，因此圆　
心Ｍ到ｚ　的距离等于圆的半径，并且圆心Ｍ　
又在直线ｚ一２ｙ一０上，因此可用圆的标准　
方程：（ｚ～口）　＋（　一６）　—ｒ。求解，其中待定　
系数的为口，ｂ，ｒ．　
解　因为过点（一１，２）的直线ｚ　与Ｚ　
垂直，直线Ｚ　的方程为３ｘ＋４　一５—０，　
所以直线ｚ２的方程为：４ｚ一３　＋１０—０．　
设圆心Ｍ的坐标为（ａ，６），圆Ｍ的半径　
为Ｒ，则日一２ｂ＝０．　①　
因为圆Ｍ与直线Ｚ。相切，并且圆Ｍ被　
直线ｚ　分成两段圆弧，其弧长比为２：１，　
所以丝　一Ｒ
，　５　

所以　－２Ｘ堕　
．　

可得４ａ一３ｂ＋１０—２×（３ａ＋４ｂ一５）或　
４ｎ一３ｂ＋１０：一２×（３ａ＋４ｂ一５）．　
即２ａ＋１ｌｂ－－２０—０，　②　
或２ａ＋ｂ＝０．　③　
由①②联立，可解得ｎ—　８
，
６一　４

．　

所以Ｒ一　．故所求圆Ｍ的方程为　
（　一号）　＋（　—　４）　：：：　．　
由①③联立，可解得ｎ一０，６—０．　
所以Ｒ一２．故所求圆Ｍ的方程为ｚ　＋　
．ｙ　一４．　
综上，所求圆Ｍ的方程为（ｚ一＿鲁Ｉ）　＋　

（　一÷）　一　或ｚ　
点评　如果颢设条件中涉及所求凤的　
圆心或半径，或圆心到某直线的距离，通常　利用待定系数法选用圆的标准方程求解．　例５　求过三点Ａ（０，０），Ｂ（１，１），Ｃ（４，　２）的圆的方程．　分析　由于已知条件知：圆过三点　Ａ（Ｏ，Ｏ），Ｂ（１，１），Ｃ（４，２），与圆心、半径没有　直接关系，因此可选用含有三个待定系数　Ｄ，Ｅ，Ｆ的圆的一般方程ｚ　＋ｙ　＋Ｄｘ＋Ｅｙ　＋Ｆ一０求解．　解　设圆的方程为　＋ｙ　＋Ｄｘ＋Ｅｙ　４－Ｆ一０，因为Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在圆上，　所以Ａ，Ｂ，Ｃ三点坐标都满足所设圆的　方程，把Ａ（０，０），Ｂ（１，１），Ｃ（４，２）代入所设　方程，　ｆＦ—Ｏ’　ｆＤ一一８，　得　Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋２：０，　即＜Ｅ＝：＝６，　【４Ｄ＋２Ｅ＋Ｆ＋２０—０，　ＩＦ＝＝＝０．　故所求圆的方程为　＋ｙ　一８ｘ＋６ｙ　一０．　点评　如果题设条件中涉及所求圆经　过某些点，那么利用待定系数法选用圆的一　般方程，建立Ｄ，Ｅ，Ｆ的三元一次方程求解．　本题也可写出线段ＡＢ，ＡＣ（或ＢＣ）的垂直　平分线方程，求出两者的交点，即为所求圆　的圆心，也可使问题得解．　三、在圆系方程中设待定系数　例６　求过直线２　＋　＋４—０与圆　ｚ　＋　＋２ｘ－－４　＋１—０的交点，且面积最小的　圆的方程．　分析　圆系方程主要有两大类：（１）经　３６　Ｎｅｗ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｅｎｔｒａｎｃｅ　Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ　过圆Ｃ：ｚ　＋　４－Ｄｘ＋Ｅｙ４－Ｆ一０与直线ｚ：　
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ一０的交点的圆的方程可设为　
。＋ｙ。４－Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋　（Ａｚ４－Ｂｖ４－Ｃ）一　
０，其中　就是所要求的待定系数；（２）经过　
圆Ｃｌ：　＋　＋Ｄｌｌｚ＋Ｅ１．ｙ＋Ｆ２—０与圆Ｃ２：　
＋　＋Ｄｚｚ＋Ｅ　ｙ＋Ｆ　一０的交点的圆的　
方程可设为　＋　。＋ＤＩｚ４－Ｅ１ｙ＋Ｆ２＋　（　。　
４－ｙ　＋Ｄｚｚ＋Ｅｚ　Ｙ＋Ｆｚ）一０（不包括圆Ｃ２），　
其中　就是所要求的待定系数．因此本题可　
选用圆系方程的第一种形式求解．　

解　设过直线２　＋　＋４—０与圆　。４－　
ｙ。４－２ｘ一４　＋１—０的交点的圆的方程为ｚ　
＋　＋２ｘ一４ｙ４－１＋　（２ｘ＋ｙ　４－４）一０，整理　
得ｚ　＋ｙ。４－（２　４－２Ａ）ｌｚ　４－（　一４）ｙ　４－１十４　
＝＝＝０，　
要使圆的面积最小，即圆的半径ｒ最小，　

则　一　
二　一÷√ｓ（　一詈）　＋萼，当　

且仅当　一　时，　一半，此时所求圆的方　
程为　４－ｙ２＋譬　一　＋詈一ｏ．　
点评　本题求面积最小的圆，就是以　
两交点构成的线段为直径的圆，也可求出　
圆：ｚ　＋　＋（２４－２　）ｚ４－（　一４）ｙ４－１　４－４　一　
０的圆心（一１一　，２一丢），该点在直线２ｘ＋　

＋４—０上，可解得　—　８
，
从而求得圆的方　

程；还可直接求出两交点的中点及两交点间　
的距离。也．可使问题得解．

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圆的一般方程jiang

圆的一般方程jiang

2
练习
求圆x2 y 2 -2x 2 y 1 0的圆心和半径
圆心（1,1）半径为1
例2 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2） 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
方法一：
待定系数法
解：设所求圆的一般方程为：
2 2 2 2
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
1 2 2 D E 4 F 为半径的圆； 圆心、以 2
（2）当 D E 4F 0 时, 方程①表示一个
2 2
点
D E ； ， 2 2
2 2
（3）当 D E 4F 0 时, 方程①不表示任 何曲线.
x y Dx Ey F 0 D E 4 F 0
利用配方法，得：
D E D E 4F ① x y 4 2 2
2 2
2
2
对于x y Dx Ey F 0 ①
2 2
（1 ） 当 D 2 E 2 4F 0
D E ① 表示以为 ， 时， 2 2
2 2 2 2
称为圆的一般方程．
1 D E 表示以 ， 为圆心、以 2 2 2 D 2 E 2 4F 为
半径的圆；
例1 求圆
解：
x y 6x 4 y 5 0 的圆心和半径
2 2
D 6, E 4, F 5
D E 圆心 C ( , )即（-3, 2） 2 2 你能用配方法求 1 半径 D 2 E 2 4 F =2 2 圆心和半径吗？
(x 3 2 3 ) ( y )2 1 2 2
3 3 , 2 2
第1课时圆的标准方程

第1课时圆的标准方程

⑵圆 (x－2)2+(y+4)2=2. 圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆(x+1)2+(y+2)2=m2. 圆心 (－1, －2) ，半径|m|. 2. 你能快速说出下列圆的标准方程吗？
2 2 ( x 3) ( y 4) 25 （1）圆心C（-3，4），半径为5.
2 2 ( x 2) ( y 1) 9 （2）圆心C（2，-1），半径为3.
2a 4b 16, 所以 a b 1.
a 2, 得 b 3, r 5.
2
-8
所以，所求圆的方程为 ( x 2) ( y 3) 25.
2
【变式练习】已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，
-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的 标准方程.
2 2 2
圆内？
提示： (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
例4.已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以P1P2为直径的 圆的方程，并判断M(6,3)，Q(8,1)是在圆上,圆外 还是圆内？
例1. 求以C(4,-6)为圆心，半径等于3的圆的方程. 解:将圆心C（4，-6）、半径等于3代入圆的标准 方程，可得所求圆的方程为
（x 4) ( y 6) 9.
2 2
【变式练习】 写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(-3,4 )，半径是 5 (x+3)2+(y-4)2=5 (2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3) (x-8)2+(y+3)2=25
圆的一般方程

圆的一般方程

2 2 2
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (ห้องสมุดไป่ตู้,-3),C(2,8)都在圆上
5 1 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7 D E F 0 22 82 2D 8E F 0
2
2
E
2
2
4 F 0时 ,
D 2 , E 2 )为 圆 心 ，
方程
x

y
1 2
D x E y F 0表 示 以 点 (
2
D
E
2
2
4F为 半 径 的 圆 .
( 2 )当 D
2
2
E
2
4 F 0时 ,
D 2 , E 2 )
方程
x

y
D x E y F 0表 示 点 (
几何方法
O E
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
( 5 a ) (1 b ) r a 2 2 2 2 (7 a ) ( 3 b ) r b 3 (2 a )2 (8 b)2 r 2 r 5
练习:过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0 的割线，交圆C于A、B两点.求线段AB的中 点P的轨迹.
9.4.2圆的一般方程

9.4.2圆的一般方程


课堂基础巩固
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2化为一般方程是( A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＋3＝0 C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 D．x2＋y2＋2x－4y＋3＝0
[答案] D
)
2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( A. 2π B．2π
)
C．2 2π D．4π
[答案] C
a 2 3 (3)对方程x ＋y ＋ax－ 3 ay＝0配方，得(x＋ ) ＋(y－ 2 2
2 2
a)2＝a2. 当a＝0时，该方程表示的图形为一个点(0,0)． a 3 当a≠0时，该方程表示的图形为圆，圆心为(－2， 2 a)， 半径长为|a|.
[点评]
对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，
2 2
5 5 示以(4，0)为圆心，4为半径的圆．
规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步 骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与 y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－ 4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的 常数即可． (2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特 征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次 方程，代数特征明显．
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0
解法2：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线 方程为x＋y＝0
x＝1 由 x＋y＝0
得圆心坐标为M(1，－1)，
半径r＝|MA|＝ 5， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
总结评述：1.第(1)题中，容易发现，利用圆的性质的解 法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小，充分利用圆的 性质可简化解题过程． 2．用待定系数法求圆的方程时，①如果由已知条件容易 求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问 题，一般采用圆的标准方程，求出a、b、r即可．②如果给出 圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系，一 般采用一般方程，求出D、E、F即可．