常微分方程3.4-线性非齐次常系数方程的待定系数法

d2x dt 2
b0
b1t
bnt n.
直接积分得方程的特解……
(t) t2 (B0 B1t Bntn ).
4
L[ x ]
d2x dt2
p
dx dt
qx
b0
b1t
bnt n .
综合情况, 我们得到特解形式:
(t
)
B0 t(B0
B1t B1t
Bnt n , Bnt n
),
t 2 (B0 B1t Bnt n ),
www.hzdiyan.co m www.sysm k120.com www.qcxgqt.co m www.tcsac.com http://sj .39.net/dx/150527/4630604.html http://sj .39.net/dx/150526/4630038.html http://sj .39.net/dx/150509/4621414.html http://sj .39.net/dx/150526/4630001.html http://sj .39.net/dx/150526/4629997.html http://sj .39.net/dx/150517/4624817.html http://sj .39.net/dx/150517/4624816.html http://sj .39.net/dx/150513/4623087.html http://sj .39.net/dx/150513/4623086.html http://sj .39.net/dx/150525/4629500.html http://sj .39.net/dx/150525/4629498.html http://sj .39.net/dx/150525/4629496.html http://sj .39.net/dx/150525/4629488.html http://sj .39.net/dx/150515/4624389.html http://sj .39.net/dx/150515/4624384.html http://sj .39.net/dx/150515/4624378.html http://sj .39.net/dx/150523/4628925.html http://sj .39.net/dx/150523/4628922.html http://sj .39.net/dx/150519/4625738.html http://sj .39.net/dx/150517/4624823.html
12 23
28 29
11
例7 求方程
d2x dt 2
6
dx dt
5x
3et
5t 2
的通解.
解:
先求对应齐次方程的
d2x dt 2
6
dx dt
5x
0的通解.
这里的特征方程 2 6 5 0 有两个解
1 1, 2 5.
对应齐次方程的通解为: x c1et c2e5t .
再求非齐次方程的一个特解.
代入原方程得
2Bcost 2Asin t 2sin t. 比较方程两边的系数得: A 1, B 0.
故原方程的特解为: (t) t cos t.
因而原方程的通解为: x c1 cost c2 sin t t cost.
18
作业: P149 2，3，6，7，8 (1)，9, 10
19
A 3. 4
对第二个方程, 设特解 2 (t) B0 B1t B2t 2
代入第二个方程得:
B0
62 25
,
B1
12 5
,
B2
1.
原方程的通解为
x
c1et
c2e5t
3 4
tet
t2
12 5
t
62 . 25
13
三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积
L[x] x px qx [ Am (t) cos t Bn (t)sin t]e t
齐次方程通解为: x(t) c1 c2et .
f (t) 4t3. 因为零是特征方程的单根,
故特解形式为 (t) t(B0 B1t B2t 2 B3t3),
将 (t) 代入方程得: B3 1, B2 4, B1 12, B0 24.
原方程的特解为: (t) t(t3 4t2 12t 24).
http://sj.39.net/dx http://www.tulo utours.com/
3
L[ x ]
d2x dt2
p
dx dt
qx
b0
b1t
bnt n .
当 q 0, p时,0 零为方程的单特征根，令
(t) t(B0 B1 Bntn )
当 q 0, p时,0 零为方程的二重特征根，
对应齐次方程的通解为: x c1 cost c2 sin t. 再求非齐次方程的一个特解.
i i 是特征根, 故原方程特解的形式为 (t) t(Acost B sin t)
17
例6 求方程
d2x dt 2
x
2
sin
t
的通解.
方程特解的形式为 (t) t(Acos t B sin t)
bnt
n.
(t
)
B0 t(B0
B1t B1t
Bnt n , Bnt n
),
t 2 (B0 B1t Bnt n ),
2 p q 0, 2 p q 0,2 p 0, 2 p q 0,2 p 0,
8
L[
x]
d2x dt2
p
dx dt
qx
(b0
b1t
bn t n
将 (t) 代入方程得
2B2 B1 2B0 2(B2 B1)t 2B2t 2 8t 2. 比较上式两端的系数, 可得 B2 4, B1 4, B0 2.
因此, 原方程的一个特解为
(t) 2 4t 4t2.
6
例2
求方程
d2x dt 2
dx dt
4t3的通解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 0,2 1.
12
10
例4
求
d2x dt 2
4
dx dt
4x
(1
t
Baidu Nhomakorabea
t
27
)e2t
的特解.
解: 做变换 x(t) e2t y(t), 则原方程变为
d2y dt2
1
t
t 27
对上面方程积分得到一个特解
y(t) t2 t3 t27 ,
12 23
28 29
因此, 原方程的特解为
(t) e2t [ t2 t3 t27 ].
)e
t.
对应的齐次方程的特征方程 2 p q 0.
(1) 当 不是特征根时, 方程的特解形式为
(t) (B0 B1t Bntn )e t.
(2) 当 是单特征根时, 方程的特解形式为
(t) t(B0 B1t Bntn )e t .
(3) 当 是二重特征根时, 方程的特解形式为
(t) t2 (B0 B1t Bntn )e t .
特征方程 2 2 0 的根为 1 1, 2 2
所以齐次方程的通解为
x c1et c2e2t
再求非齐次方程的一个通解，
15
x'' x' 2x et (cost 7sin t)
i 1 i 不是特征根，故 (t) et (Acost B sin t)
代入原方程得到
(3B A) cost (B 3A)sin t cos t 7sin t
原方程的通解为:
x(t) c1 c2et t(t3 4t2 12t 24).
7
二、非齐次项是多项式与指数函数之积
L[
x]
d2x dt2
p
dx dt
qx
(b0
b1t
bn t n
)e
t.
做变换 x(t) e t y(t), 则方程变为:
d2y dt 2
(2
p)
dy dt
(
2
p
q) y
b0
b1t
9
例3
求方程
d2x dt2
2
dx dt
x
t
2et
的一个特解.
解: 对应的齐次方程的特征根为二重根 12 1.
因此, 该方程特解的形式为
(t) t2 (B0 B1t B2t2 )et .
将 (t) 代入方程, 可得
B2
1 12
,
B1
0,
B0
0.
因此, 原方程的一个特解为 (t)
1
t 4et .
得 A=2，B=1，故原方程的特解为
(t) et (2cost sin t)
于是通解为
x
et
(2 cos t
sin
t)
c1et
c e2t 2
16
例6 求方程
d2x dt 2
x
2
sin
t
的通解.
解: 先求对应齐次方程的
d2x x 0 dt 2
的通解.
这里的特征方程 2 1 0 有两个解 12 i
因为方程的右端由两项组成, 根据解的叠加 原理, 可先分别求下面两个方程的特解.
12
d 2 x 6 dx 5x 3et dt 2 dt
d2x dt 2
6
dx dt
5x
5t
2
这两个特解之和为原方程的一个特解. 1 1, 2 5.
对于第一个方程, 设特解 1(t) Atet
代入第一个方程得:
q 0, q 0, p 0, q 0, p 0,
通过比较系数法来确定待定常数 B0 , B1,, Bn
5
例1
求方程
d2x dt 2
dx dt
2x
8t
2
的一个特解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 2,2 1.
零不是特征根,因此, 设方程特解的形式为
(t) B0 B1t B2t2.
通常利用待定系数法来求解。
2
一、非齐次项是多项式
L[x]
d2x dt 2
p
dx dt
qx
b0
b1t
bnt n.（3.4.2）
当 q 时0,零不是方程的特征根.
可取特解形式为 (t) B0 B1 Bntn （3.4.3）
其中 B0, B1,是待Bn定常数.
比较方程 L[(t)] b0 b1t bnt n 同次幂的系数…… 解出 B0, B1, Bn
3.4 线性非齐次常系数方程
线性非齐次常系数方程的待定系数法. 在第2节给出的常数变易法比较繁琐，
本节将给出比较简单的解法.
1
考虑常系数非齐次线性方程
L[x]
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
an x f (t) (3.4.1)
当 f (t是) 一些特殊函数，
如指数函数，正余弦函数，及多项式时，
方程的特解 (形t)式为
(t) tk [Pl (t) cos t Ql (t)sin t]e t ,(k 0,1)
l max{m,n}
当 不i是对应齐次方程的特征根时,取 k . 0 当 是i对应齐次方程 的特征根时,取 k . 1
14
例5 求 x'' x' 2x et (c的os通t 解7.sin t) 解：先求对应齐次方x程'' x' 2x 的0通解