微分方程的例题分析及解法
本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念
本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法
本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；
对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程
)(x
y f y =' 令x
y u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。
三、二阶微分方程的解法
1．特殊类型的二阶常微分方程
本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：
（1）)(x f y =''，直接积分；
（2）),(y x f y '=''，令p y ='，
（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dy
dp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程
对于相应的齐次方程，利用特征方程
02=++q p λλ
求通解：
（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点
)()(x P e x f m x μ=
和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~
cos )()(+= 设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用
求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析
（一）一阶微分方程
1．关于可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如
0)()()()(2211=+dy y g x f dx y g x f （1） 的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若0)()(12≠y g x f ，则方程（1）可化为变量已分离的方程
dx x f x f dy y g y g )
()()()(2112-= 两端积分，即得（1）的通解：
C x F y G +=)()(
（2）
（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为)sin(c x y +=，但显然1±=y 也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。如齐次型微分方程。 )(
x y f y ='或)(x
y f dx dy = （3） 可用代换ux y =化为
x dx u u f du =-)( 两端同时积分即可求解。
（2）关于一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是指形如
)()(x q y x p y =+' （4） 的方程，其中)(x p 、)(x q 是已知函数，其特点是y ，y '都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式
))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +⎰⎰
=⎰- （5） 来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程
0)(=+'y x p y
的通解⎰=-dx x p Ce y )(，再令C 来未知函数)(x C ，将
⎰
=-dx x p e x C y )()(代入方程（4），求出)(x C ，最后得到所求通解⎰
=-dx x p e x C y )()(。 有的方程把x 看作未知函数，y 看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程
0)ln (ln =-+dy y x xdx y
可变形为关于)(y x x =的一阶线性非齐次方程
y
y y x dy dx 1ln =+ 如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。
n y x q y x p y )()(=+'，)1,0(≠n
用代换n y z -=1则化为)()1()()1(x q n z x p n z -=-+'
（二）关于常数变易法
所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数C 变为待定函数)(x C ，然后代入线性非齐次微分方程中，求出)(x C ，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。
常数变易法的关键是如何确定)(x C ，由于0)(=+'y x p y 的通解为⎰
=-dx x p Ce y )(（1），将常数C 用)(x C 代换，设⎰=-dx x p e x C y )()（为方程)()(x q y x p y =+'的通解，
将其代入方程中，就得到关于待定函数)(x C 的导数)(x C '应满足的方程，即
)()()(x q e x C dx x p =⎰'-
（*）
（*）式是求)(x C 过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实
上，它的左端是将通解⎰=-dx x p e x C y )()(中的)(x C 换成)(x C '，右端是原方
程中右端顶（非齐次项）将（*）式变形，再求积分就得到)(x C 。
D dx e x q x C dx x p +⎰=⎰-)()()(
例 求x
nx x y
y 21-=-'的通解。 解 这是一阶线性方程，x x p 1
)(-=，x x x q ln 2)(-
=。相应的齐次方程0=-'x
y y 的通解为Cx y =。 设非齐次方程的通解为x x C y )(=，代入原方程，得
x
x x x C ln 2)(-=' ⎰⎰=-=)1(ln 2ln 2)(2x
xd x x x C C x
x x dx x x x ++=-=⎰2ln 22ln 22 所求通解为面Cx x x x C x
x x y ++=++=2ln 2)2ln 2(
