常微分方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法

常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法线性非齐次常系数方程是指具有以下形式的方程：$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)\\qquad (1)$$其中，$a_i$为常数，$f(x)$为已知函数，$y=y(x)$是未知函数，$y',y'',\\cdots,y^{(n)}$分别表示$y$关于$x$的1、2、$\\cdots$、$n$阶导数。

方程中的$f(x)$称为非齐次项，若$f(x)=0$，则方程称为齐次方程。

求解线性非齐次常系数方程的一般步骤是先求出对应的齐次方程的通解，再通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解，最终得到该方程的通解。

待定系数法是一种求解非齐次方程的特解的方法，其基本思想是假设非齐次项$f(x)$可以表示成若干个基本函数的线性组合，然后通过确定基本函数的系数，求出一个特解。

之后，将该特解与齐次方程的通解相加，就可以得出非齐次方程的通解。

下面我们详细介绍待定系数法的具体步骤：步骤1：求出对应的齐次方程的通解齐次方程对应的特征方程是：$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\\cdots+a_1r+a_0=0\\qquad (2)$$我们可以用求解特征方程的方法来求出齐次方程的通解。

步骤2：假设待求特解的形式设非齐次项$f(x)$可以表示为：$$f(x)=P(x)e^{kx}$$其中，$P(x)$为多项式 or 三角函数或其他一些特殊函数，$k$为待定系数。

步骤3：确定待求特解中的待定系数待定系数要根据$f(x)$中的函数形式确定。

一般来说，$P(x)$的次数（或者三角函数、其他函数的阶数）决定了需要确定的待定系数的个数。

如果$f(x)$中有多个基本函数，则需要对每个基本函数都设一个待定系数，并分别解出这些待定系数。

步骤4：代入非齐次方程，得到待定系数的解将假设的特解代入非齐次方程$(1)$中，将各项展开并整理，得到一个关于待定系数的方程，解出待定系数。

非齐次方程求解题技巧非齐次方程通常由齐次方程和特解两部分组成，解这类方程的一般思路是先解齐次方程得到通解，再找到一个特解，最后将齐次方程和特解合并得到非齐次方程的通解。

以下将介绍求解非齐次方程的常见方法和技巧。

一、待定系数法待定系数法是解非齐次线性常微分方程的常用方法。

假设非齐次方程为\\[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y^{(1)}+a_ny=g(x) \\]其中$g(x)$为已知函数，$y^{(k)}$表示$y$的$k$阶导数。

用$y_1(x),y_2(x),...,y_n(x)$表示齐次方程的$n$个线性无关的解，则非齐次方程的通解可设为\\[y=C_1y_1+C_2y_2+...+C_ny_n+y_p \\]其中$C_1,C_2,...,C_n$为待定常数，$y_p$为特解。

先求齐次方程的通解：对于$n$阶齐次方程$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y^{(1)}+a_ny=0 $，假设它的特征方程的根为$r_1,r_2,...,r_n$，则齐次方程的通解为\\[ y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+...+C_ne^{r_nx} \\] 其中$C_1,C_2,...,C_n$为常数。

再求特解：将待定系数法所设的非齐次方程代入原方程，化简并比较系数，得到待定系数的值。

常用的待定系数的选取方法有：（1）如果$g(x)$是多项式，则$y_p$也选为多项式，且$y_p$的次数不高于$g(x)$的次数。

（2）如果$g(x)$是三角函数的线性组合或指数函数$e^{ax}$与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。

（3）如果$g(x)$是多项式与指数函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。

（4）如果$g(x)$是多项式与三角函数的乘积，则$y_p$选取与$g(x)$形式类似的函数形式，并系数为待定。

待定系数法在解微分方程1 待定系数法概述待定系数法是一种求解常系数非齐次线性微分方程的方法之一。

它通过假设非齐次项的形式，从而确定待定系数，再将其代入非齐次线性微分方程中，逐步求解得到通解。

2 待定系数法的假设在待定系数法中，我们假设非齐次项的形式为$f(x)$，其中$f(x)$是已知函数。

我们需要根据$f(x)$的具体形式来假设待定系数。

对于常见的函数形式，我们可以做出以下假设：1. 当$f(x)$为常数或多项式时，假设待定系数为与$f(x)$同阶次的多项式。

2. 当$f(x)$为$e^{ax}$形式时，假设待定系数为$Ae^{ax}$。

3. 当$f(x)$为$sin(ax)$或$cos(ax)$形式时，假设待定系数为$Asin(ax)+Bcos(ax)$。

3 求解待定系数在做出待定系数的假设后，我们需要将其代入非齐次线性微分方程中，进而求解待定系数的值。

做法如下：1. 将待定系数代入非齐次线性微分方程中，得到一个新的方程。

2. 比较新方程中各阶导数系数与待定系数所代表的阶次系数，列出方程组。

3. 解出方程组中的未知系数，即求得待定系数的值。

4 案例分析下面以一个具体的例子来展示待定系数法的求解过程：求解微分方程$y''-3y'+2y=e^{2x}$。

1. 首先，假设待定系数为$Ae^{2x}$。

2. 将待定系数代入原方程，得到一个新的方程$(D-2)^2(Ae^{2x})-3(D-2)Ae^{2x}+2Ae^{2x}=e^{2x}$，其中$D$是微分符号。

3. 对新方程中各阶导数系数与待定系数所代表的阶次系数进行比较，得到方程组$(4A-3A+2A)e^{2x}=e^{2x}$，解得$A=1$。

4. 代入待定系数$Ae^{2x}$中得到通解$y=C_1e^x+C_2e^{2x}+e^{2x}$。

5 总结待定系数法是一种简单实用的求解常系数非齐次线性微分方程的方法。

它的关键是根据不同的非齐次项形式，做出不同的待定系数假设，并关注新方程中待定系数所代表的阶次系数，列出方程组求解。

待定系数法求微分方程待定系数法求微分方程微分方程是一种含有未知函数及其导数的方程，是科学和工程中常用的一种数学工具。

微分方程的求解方法包括常见的分离变量法、变量代换法、二阶常系数线性微分方程等各种方法。

本篇文档主要介绍待定系数法求微分方程的方法。

一、待定系数法的基本思路待定系数法适用于形如$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=f(x)$的非齐次高阶线性微分方程的求解。

它的基本思路是首先猜测非齐次项f(x)的形式$u(x)$，然后试图求出未知常数$c_i$，使得待求解的函数$y(x)$能表示为$y(x)=y_h(x)+u(x)$的形式，其中$y_h(x)$表示对应齐次微分方程的通解。

为确定待求解常数$c_i$，我们对待猜测函数$u(x)$求导若干次，然后代入原方程中消去$y^{(n)},y^{(n-1)},...,y'$等项，最终得到一组关于$c_i$的方程组，解出$c_i$后就可以得到非齐次微分方程的特解。

需要指出的是，待定系数法只适用于$u(x)$为关于$x$的多项式或正弦余弦函数的情形。

二、常见问题解答1. 待定系数法什么情况下不适用？待定系数法只适用于$u(x)$为若干个多项式或正弦余弦函数之和的情形。

如果$u(x)$是一个更为复杂的函数，例如幂函数、指数函数、对数函数、阶乘等，可通过变量代换等方法转化为更为简单的形式。

2. 如何确定猜测函数$u(x)$的形式？对于形如$f(x)=P_m(x)e^{kx}$的非齐次项，可以猜测$u(x)=Q_m(x)e^{kx}$的形式，其中$P_m(x),Q_m(x)$分别为$m$阶多项式。

对于形如$f(x)=P_m(x)\cos(\omegax)+Q_n(x)\sin(\omega x)$的非齐次项，可以猜测$u(x)=R_m(x)\cos(\omega x)+S_n(x)\sin(\omega x)$的形式，其中$R_m(x),S_n(x)$分别为$m,n$阶多项式。

高数待定系数法高等数学中的待定系数法是一种非常有用的数学解题方法，它在求解线性齐次和非齐次常微分方程、解线性代数方程组等数学问题中发挥着重要的作用。

通过对方程中的未知系数进行合理的设定和推导，待定系数法能够得到方程的特解，从而解决问题。

待定系数法常用于求解形如$y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} +\cdots + a_0y = f(x)$的线性齐次或非齐次常微分方程，其中$n$为正整数，$a_{n-1}, \cdots, a_0$为已知常数，$f(x)$为已知函数。

待定系数法的基本思想是假设方程的特解是一个符合特定形式的函数，然后通过代入方程并求解未知系数，得到特解。

为了有效应用待定系数法，我们需要根据$f(x)$的类型选择相应的形式来设定待定系数。

以下是一些常见的$f(x)$类型及其相应的设定方式：1. 当$f(x)$为常数、多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数等特殊类型时，可以设定特解为与$f(x)$相同类型的函数，其中系数为待定系数。

2. 当$f(x)$为多项式与指数函数、正弦函数、余弦函数等的线性组合时，可以设定特解为相应类型的函数的线性组合，其中系数为待定系数。

3. 当$f(x)$为幂函数乘以一个特殊函数，如多项式函数乘以指数函数、正弦函数、余弦函数等，可以设定特解为乘积形式，并设定相应的待定系数。

通过设定合适的待定系数并将其代入方程后，我们可以得到一组关于待定系数的方程。

解此方程组即可得到待定系数的具体值，从而得到方程的特解。

需要注意的是，待定系数法只能得到非齐次方程的特解，而对于齐次方程的解需要采用其他的方法求解。

此外，在选择待定系数时，需要根据题目要求和方程的类型灵活设定，以获得精确且符合实际的特解。

待定系数法是高等数学中一种重要而实用的解题方法，对于提高解决问题的效率和准确性具有重要的指导意义。

熟练掌握待定系数法的原理和应用，可以帮助我们更好地解决线性齐次和非齐次常微分方程、解线性代数方程组等数学问题，并在实际应用中发挥重要的作用。

待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程摘要：在自然科学、工程技术中，许多实际问题可以归结为二阶常微分方程，因此求二阶常微分方程的解有着非常重要意义。

本文介绍利用待定系数法法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程。

关键词：二阶常微分方程；待定系数法我们要求非齐次方程的通解，关键在于求出非齐次方程的一个特解，接下来以二阶常系数非齐次线性常微分方程为例，根据自由项的形式来讨论两种不同的求解方法。

对于方程当时，方程写成其中为任意实数，方程(1-2)即为二阶常系数非齐次线性常微分方程。

待定系数法1 方法介绍当自由项具备下面两种特殊形式时，利用待定系数法求解特解较为简便。

类型一:其中是多项式，为常数。

设其中为常数。

(1)若不是特征根方程有特解(2)若为特征方程的k重根方程有特解其中是待定常数，可通过比较系数来确定。

类型二:其中为常数，为的次数不高于的多项式，但二者中至少有一个次数为。

(1)若不是特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。

(2)若为k重特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。

2 应用举例(1)为多项式的情形例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。

故齐次方程的通解为，其中为任意常数，再求非齐次方程的一个特解。

，对应,而不是特征根，故特解形如，其中待定，代入原方程得=，比较系数得解得，所以特解为因此，原方程的通解为，其中为任意常数。

(2)为多项式与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根，故齐次方程通解为其中为任意常数。

，对应不是特征根，故特解形如代入原方程，消去，比较系数得，因此原方程的通解为，其中为任意常数。

(3)为三角函数与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。

故齐次方程的通解为，其中为任意常数。

，而不是特征根，故特解形如。

代入原方程，比较系数得。

因此原方程的通解为，其中为任意常数。