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常系数非齐次线性微分方程组待定系数法的新的推导方法

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二阶常系数非齐次微分方程

二阶常系数非齐次微分方程

因
多项式 .
本质上为实函数 ,
均为 m 次实
小 结:
对非齐次方程
为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则可设特解:
例4.
解: 本题
特征方程
不是特征方程的根,
的一个特解 .
故设特解为
代入方程得
比较系数 , 得 于是求得一个特解
例5.
解: 特征方程为 对应齐次方程的通解为
的一个特解.
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
例2.
解: 本题
特征方程为
对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得
因此特解为 所求通解为
的通解.
其根为
二、
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
第二步 求出如下两个方程的特解
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
为特征方程的单根 ,
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
其根为
的通解.
因此设非齐次方程特解为
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根,
则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则设特解为
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
二阶常系数线性非齐次微分方程 : ①
根据解的结构定理 , 其通解为
齐次方程通解
非齐次方程特解
求特解的方法
— 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .

待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用

待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用

待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用长期以来，人们在探讨这样一个问题，即当f(t)具有特殊类型时，怎样用待定系数法求出非齐次线性微分方程组x’=Ax+f(t)的特解，但是没有取得成功。

本文将给出关于这种方法一个比较圆满的回答，它不仅为特殊类型非齐线性微分方程组求解拓宽了渠道，又给解决实际问题带来了方便。

非齐线性微分方程组x’=Ax+f(t)(1)满足初始条件φ（t0）=η的解，由公式φ（t）=exp［(t-t0)A］η+∫t t0exp［(t-s)A］·f(s)ds(2) 给出，这里如果我们知道方程组（1）的一个特解φ（t），则方程组（1）满足初始条件的解就可以写成φ（t）=exp［（t-t0）A］η+φ（t）.(3)下面介绍当f(t)具有某些特殊型式时怎样求出特解。

引理［1］若方程（1）中矩阵A的互异特征根为λ1，λ2，…，λl,重数分别为n1,n2,…,n l,(n1+n2+…+n1=n),则有非奇异矩阵T（T为n×n阶矩阵），使得exp［（t-s）A］=T［exp(t-s)J］T-1，其中J具有约当标准型，即有矩阵空白处元素均为零。

定理1：方程组（1）当f(t)=(b mt m+…+b1t+b0)e at时有型如φ（t）=∑m+k-1i=0c it ie at(4)的特解。

其中b j,c i,(j=0,1,2,…,m;i=0,1,…,m+k-1)分别为维列向量，k=max(n1,n2,…,n l)证明：显然φ（t）=∫t t0exp［（t-s）A］·f(s)ds是方程组（1）的特解。

由引理及f(t)的形式有exp［（t-s）A］·f(s)=T［exp（t-s）J］T-1·f(s),即其中dn ik为n i维列向量(i=1,2…,l)所以定理2：方程组（1）当f(t)=［A(t)cosβt+B(t)sinβt］e at时有型如φ（t）=e at［P(t)cosβt+Q(t)sinβt］. (5)的特解［其中P(t),Q(t)是次数为k+m-1的实系数多项式，αβ为常数，A（t）,B(t)是多项式，次数一个m次，另一个不超过m次］.证明：由定理1的证明知道，当α不是实数，而是复数时有关结论仍然正确。

常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法

常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法

常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法线性非齐次常系数方程是指具有以下形式的方程：$$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)\\qquad (1)$$其中，$a_i$为常数，$f(x)$为已知函数，$y=y(x)$是未知函数，$y',y'',\\cdots,y^{(n)}$分别表示$y$关于$x$的1、2、$\\cdots$、$n$阶导数。

方程中的$f(x)$称为非齐次项，若$f(x)=0$，则方程称为齐次方程。

求解线性非齐次常系数方程的一般步骤是先求出对应的齐次方程的通解，再通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解，最终得到该方程的通解。

待定系数法是一种求解非齐次方程的特解的方法，其基本思想是假设非齐次项$f(x)$可以表示成若干个基本函数的线性组合，然后通过确定基本函数的系数，求出一个特解。

之后，将该特解与齐次方程的通解相加，就可以得出非齐次方程的通解。

下面我们详细介绍待定系数法的具体步骤：步骤1：求出对应的齐次方程的通解齐次方程对应的特征方程是：$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\\cdots+a_1r+a_0=0\\qquad (2)$$我们可以用求解特征方程的方法来求出齐次方程的通解。

步骤2：假设待求特解的形式设非齐次项$f(x)$可以表示为：$$f(x)=P(x)e^{kx}$$其中，$P(x)$为多项式 or 三角函数或其他一些特殊函数，$k$为待定系数。

步骤3：确定待求特解中的待定系数待定系数要根据$f(x)$中的函数形式确定。

一般来说，$P(x)$的次数（或者三角函数、其他函数的阶数）决定了需要确定的待定系数的个数。

如果$f(x)$中有多个基本函数，则需要对每个基本函数都设一个待定系数，并分别解出这些待定系数。

步骤4：代入非齐次方程，得到待定系数的解将假设的特解代入非齐次方程$(1)$中，将各项展开并整理，得到一个关于待定系数的方程，解出待定系数。

常系数线性非齐次方程组特解的求法—待定系数法

常系数线性非齐次方程组特解的求法—待定系数法

+
⎜⎛ ⎜
−4 2
⎟⎞ ⎟e
t的一个特解
.
dt ⎜⎝ 1 −17 12⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
解Q特征方程为
4－λ − 9
5
det(A－λE) = 1 −10－λ 7 = −(λ－1)(λ－2)(λ－3) = 0
1 −17 12－λ
-2-

∴ λ = 1是A的单特征根.
由定理3，令X ∗
=
⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜ y⎟,
⎜⎝ z ⎟⎠
设特解为X∗ = (D1t 2 + D2 t + D3 )e3t (D1, D2 , D3为待定向量),
-4-

记 ⎜⎜⎛
3 ⎟⎞ − 1⎟
=
B1，
⎜⎝ 2 ⎟⎠
将特解代入原方程组：
（2D1t + D2）e3t + 3(D1t 2 + D2 t + D3 )e3t = A(D1t 2 + D2 t + D3 )e3t + B1e3t 两边约掉 e 3t ,比较 t的同次幂系数可得：
可见欲使上面矩阵的秩为 2，应取 k=14.
∴可得 d 01 = 14, d 02 = 28, d 03 = 42, 代入第二组可得：
⎧ ⎪ ⎨
3d11－9d12 d11－11d12
+ 5d13 + 7d13
= =
18 26
⎪⎩d11－17d12 + 11d13 = 41
解得： d12
=
4d13－15 6
解 Q 方程组的特征方程为
det(A－λE) =
1－λ 1 －1 1－λ
= (1－λ)2
+ 1 =0

推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法与微分方程的应用的综合应用

推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法与微分方程的应用的综合应用

推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法与微分方程的应用的综合应用微分方程是数学中重要的研究对象，它在各个科学领域以及实际问题的建模与求解中发挥着重要作用。

本文将探讨推导微分方程的常系数非齐次线性微分方程与二阶线性微分方程的解法以及它们在实际问题中的应用。

一、常系数非齐次线性微分方程的推导与解法常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y = r(x)$$其中$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$为常数，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$r(x)$为已知函数。

为了求解该微分方程，首先需要找到它的特解。

令$y^*=c_1y_1^*+c_2y_2^*+...+c_ny_n^*$为方程的一个特解，其中$y_1^*,y_2^*,...,y_n^*$为线性无关的函数，$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。

将$y^*$代入微分方程中，可得：$$a_n(y_1^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_1^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_1^*)'+a_0y_1^*+a_n(y_2^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_2^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_2^*)'+a_0y_2^*+...+a_n(y_n^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_n^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_n^*)'+a_0y_n^* = r(x)$$由于$y_1^*,y_2^*,...,y_n^*$为线性无关的函数，因此以上方程等价于：$$a_n(y_1^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_1^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_1^*)'+a_0y_1^* = 0$$$$a_n(y_2^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_2^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_2^*)'+a_0y_2^* = 0$$$$...$$$$a_n(y_n^*)^{(n)}+a_{n-1}(y_n^*)^{(n-1)}+...+a_1(y_n^*)'+a_0y_n^* = r(x)$$由于$y_1^*,y_2^*,...,y_n^*$为方程的特解，因此上述方程组的解为零。

高数第十二章常系数非齐次线性微分方程

高数第十二章常系数非齐次线性微分方程
k x y * xQ ( x ) e m
x 结 论 : 如 果 f ( x ) P ( x ) e ,则 ( 1 ) 的 解 具 有 形 如 : m
的 特 解 , 其 中 Q ( x ) 是 与 P ( x ) 同 次 的 多 项 式 . m m
x Q ( x ) e , 不 是 特 征 根 m x y *x Q )e , 是 单 特 征 根 m(x 2 x x Q ( x ) e , 是 重 特 征 根 m
代 入 上 式 , 比 较 系 数 可 求 出 Q ( x ) , m x 从 而 得 ( 1 ) 的 特 解 为 y * = Q ( x ) x e .
( i i i )如 果 是 特 征 方 程 r p r q0 的 重 根 , 则
2
m
p q0 , , 且 2 p0 , 于 是 有
i x
P P P P i) x i) x l n ( l n ( ( ) e ( ) e 22 i 22 i
P () x e
( i ) x
P () x e
( i ) x
12
P P P P P l n P l n l n 其 中 P ( x ) i ,P ( x ) i 22 i 22 22
其 中 0 , = 2 , P x , P 0 l n
所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为 y y 0 ,
2 特 征 方 程 为 r 1 0 , 特 征 根 r i .


因 i 2 i 不 是 特 征 方 程 的 根 , 所 以 可 设 特 解 为 y * ( a x b ) c o s 2 x ( c x d ) s i n 2 x

常微分方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法

常微分方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法

3
d 2x dx L[x] = 2 + p + qx = b0 + b t +L+ bntn. 1 dt dt 当 q = 0, p ≠ 0 时, 零为方程的单特征根，令 为方程的单特征根，
ϕ(t) = t(B0 + B1 +L+ Bnt )
n
为方程的二重特征根， 当 q = 0, p = 0 时, 零为方程的二重特征根，
x(t) = eα t y(t), 则方程变为: 则方程变为: 做变换
d2 y dy 2 n + (2α + p) + (α + pα + q) y = b0 + b1t +L+ bnt . 2 dt dt B0 + B1t +L+ Bnt n , α2 + pα + q ≠ 0, ϕ(t) = t(B0 + B1t +L+ Bnt n ), α2 + pα + q = 0,2α + p ≠ 0, 2 t (B0 + B1t +L+ Bnt n ), α2 + pα + q = 0,2α + p = 0,
l = max{m, n}
不是对应齐次方程 特征根时 取 对应齐次方程的 当 α + iβ 不是对应齐次方程的特征根时,取 k = 0. 特征根时 当 α + iβ 是对应齐次方程的特征根时,取 k =1.
14
的通解. 例5 求 x'' + x' − 2x = et (cos t −9;' + x' − 2x = 0的通解 特征方程

常系数线性非齐次微分方程

常系数线性非齐次微分方程

2 是单根， 设 y* x(Ax B)e2x,
代入方程, 得 2Ax B 2A x


A

1 2
,
于是 y* x(1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2
y C1e2x 2
.
例2 求通解 y 6 y 9 y 5xe3x
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y

x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x

R(2) m
(
x
)
sin
x];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y*,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x) j,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y

C1
cos
x

C2
sin

待定系数法求常系数非齐次线性微分方程的解——零化子法

待定系数法求常系数非齐次线性微分方程的解——零化子法

ｘ ＋． （ 笔＋ （ｙ ｇ ） ｎ ． ％ ＝ （ － ・ ） １ ）
＝０
（ ２ ）
（ ３）
和 相 应 的齐 次 线 ｌ 程 生方 。 （ ｎ （ ｘ － ）ｄ ｙ ＋ｎ ）ｄ ｎＩ＋ … ＋ ｎ ）ａ ＋ ｎ （ பைடு நூலகம் ｙ ０ 戈）
收稿 日期 ：００ ４１ ２１－ — ０ ６ 作者简介： 殷华敏 （９５ ）女 ， １７ 一 ， 甘肃庆 阳人 ， 讲师 ， 主要从事数学基础课程的教学．
当 ａ， ｉ＝０ １ … ， 是 实 常 数 时 ， 性 微 分 算 子 （ ） 以 通 过 特 征 方 程 ０ ， ， ｎ都 线 １ 可
＋ａ ｏ＝ ０进 行 因 式 分 解 换 句 话 说 ， 果 ｒ 如 】是 ａ ＋ａ
＂ａ ４ －
＋… ＋ａ ｍ ｌ
十 … ＋ａｍ ＋ａ ＝ ０的 根 ， 么 Ｌ ＝ １ ｏ 那
ｎ ｕｓｈｎ ａ ｑｕ ｆ０ ０ ｅ ｒｅ ａｉｎ ㈣ 渤 ｎ ｎ
一
—
ｈ ｍ０ ｅ ０ ｇ。
＋ ．‘ ．
ｄ
ｘ
ｙ＝
）．
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ：ｐ ｒｉｕ ａ ｏ ｕ ｉｎ；ｄ ｆｅｅ ｔａ ｐ ｒｔ ｒ ｎ ｉ ｉ ｔｒｏ ｅ ａ０ ｄ ａ ｔ ｌｒ ｓ ｌ ｔ ｃ ｏ ｉ ｒ ｎ ｉｌｏ ｅ ａｏ ；ａ ｎ ｈ ｌ ｏ ｐ ｒ ｔ ｒ ｆ ａ
（ 陇东学院 数学系， 甘肃 庆阳 ７５０） ４００
摘
要： 用待定 系数——零化子法讨论 了常系数非齐次线性微分方程 ｎ ｄｘｎ－ ａｎ １ｄｘｎ－Ｉ ＋ Ｉ ＿ －
ａ ｙ
… ＋ 口
＋ｎ ， 。）
： ｇ ）的解 ． （ 关 键词 ： 解 ； 分 算子 ； 化 算子 ． 特 微 零 中 图分 类号 ：１５ １ 文 献标 识码 ： 文 章编 号 ： ７ ． ３ ｛００ ０ － ０ － Ｏ７ ． Ａ １ ４１ ０ ２ １ ｝５ ０６０ ６ ７ ０ ３

待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程

待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程

待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程摘要：在自然科学、工程技术中，许多实际问题可以归结为二阶常微分方程，因此求二阶常微分方程的解有着非常重要意义。

本文介绍利用待定系数法法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程。

关键词：二阶常微分方程；待定系数法我们要求非齐次方程的通解，关键在于求出非齐次方程的一个特解，接下来以二阶常系数非齐次线性常微分方程为例，根据自由项的形式来讨论两种不同的求解方法。

对于方程当时，方程写成其中为任意实数，方程(1-2)即为二阶常系数非齐次线性常微分方程。

待定系数法1 方法介绍当自由项具备下面两种特殊形式时，利用待定系数法求解特解较为简便。

类型一:其中是多项式，为常数。

设其中为常数。

(1)若不是特征根方程有特解(2)若为特征方程的k重根方程有特解其中是待定常数，可通过比较系数来确定。

类型二:其中为常数，为的次数不高于的多项式，但二者中至少有一个次数为。

(1)若不是特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。

(2)若为k重特征根，则方程有形如的特解，其中为次多项式。

2 应用举例(1)为多项式的情形例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。

故齐次方程的通解为，其中为任意常数，再求非齐次方程的一个特解。

，对应,而不是特征根，故特解形如，其中待定，代入原方程得=，比较系数得解得，所以特解为因此，原方程的通解为，其中为任意常数。

(2)为多项式与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根，故齐次方程通解为其中为任意常数。

，对应不是特征根，故特解形如代入原方程，消去，比较系数得，因此原方程的通解为，其中为任意常数。

(3)为三角函数与指数函数的组合的情形例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。

故齐次方程的通解为，其中为任意常数。

，而不是特征根，故特解形如。

代入原方程，比较系数得。

因此原方程的通解为，其中为任意常数。

常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法

常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法

高阶线性非齐次常系数方程的待定系数法
总结词
通过比较方程的系数和初始条件，求解出待定系数的 值。
详细描述
对于高阶线性非齐次常系数方程，我们可以将其表示为 $y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + p_2(x)y^{(n-2)} + cdots + p_n(x)y = q(x)$ 的形式。通过比较方程的系数和初始 条件，我们可以求解出待定系数的值。具体来说，将方 程两边同时除以 $y$，得到 $frac{y^{(n)}}{y} + p_1(x)frac{y^{(n-1)}}{y} + p_2(x)frac{y^{(n-2)}}{y} + cdots + p_n(x) = frac{q(x)}{y}$。然后，将等式两边积 分，得到 $ln |y| + int p_1(x) dx = int frac{q(x)}{y} dx$。 最后，通过求解这个方程，我们可以得到 $y$ 的通解。
对未来研究的展望
01
进一步研究待定系数法在其他 类型微分方程中的应用，如高 阶微分方程、偏微分方程等， 以拓展该方法的应用范围。
02
探讨待定系数法的理论依据和 数学原理，深入研究其内在机 制和性质，为该方法的改进和 完善提供理论支持。
03
结合数值计算和计算机技术， 研究如何提高待定系数法的计 算效率和精度，以适应大规模 复杂问题的求解需求。
定义与性质
01
线性
方程中的未知函数和其导数都是 一次的，即形式为 y''+py'+qy=f(x)。
非齐次
02
03
常系数
与某个已知函数f(x)有关，即形 式为y''+py'+qy=f(x)。

常系数非齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程

特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
例1.
的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
4
4
2
二、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
y py qy Pm (x) e(i) x
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
一、 f (x) e xPm (x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 , y* e x[ Q (x) Q(x) ]

线性非齐次方程快速待定系数法

线性非齐次方程快速待定系数法
线性非齐次方程 快速 待定 系 数 法
上 海师院 数学 系
对 于 常系数 线 性 非齐次 方程
二
卢亭鹤
(1)
其中 定 系数 法
,
。
十` 公
一卜
,
“
一
,
D
,
“
一
+ 六
`
。
D
n
,
D -
d dt
’
求其 特解 的方 法 很 多
,
,
特
方法 简单但计 算 工 作 量 大
算 子 解 法 则需要 一 套 理 论 准备
“
十
”
是 用 来 分 隔 各项 而 不 是 求 和
x
一
。
求方 程
,
一
}
。
丫
一 去’ 」 右
, 1 祷 。
一
的通 解
p
一
解
先 求特 解
特解
一
因为
一
。
~
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( 才)
一
言
万
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“
一
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3
、
、 t 犷瞥 洲
1
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一
一
“
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其中
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Z 、
d
,
、
d
。
按 下 法 求得
一 5
1 6
O
1 6 二 5
一 一 0 0
/
我们 现 在 提 出 的
解 法是 介 于 这二 者 之 间 做 一 个 除法
,
特别 是 当 八 )
一
几 (约 为

常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法

常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法
对应齐次方程的通解为: x c1et c2e5t .
再求非齐次方程的一个特解.
因为方程的右端由两项组成, 根据解的叠加 原理, 可先分别求下面两个方程的特解.
11
d 2 x 6 dx 5x 3et dt 2 dt
d2x dt 2
6
dx dt
5x
5t
2
这两个特解之和为原方程的一个特解. 1 1, 2 5.
将 (t) 代入方程得: B3 1, B2 4, B1 12, B0 24.
原方程的特解为: (t) t(t3 4t2 12t 24).
原方程的通解为:
x(t) c1 c2et t(t3 4t2 12t 24).
6
二、非齐次项是多项式与指数函数之积
L[
x]
d2x dt2
p
dx dt
因此, 原方程的一个特解为
(t) 2 4t 4t2.
5
例2
求方程
d2x dt 2
dx dt
4t3的通解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 0,2 1.
齐次方程通解为: x(t) c1 c2et .
f (t) 4t3. 因为零是特征方程的单根,
故特解形式为 (t) t(B0 B1t B2t 2 B3t3),
考虑常系数非齐次线性方程
L[x]
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
an x f (t) (3.4.1)
当 f (t是) 一些特殊函数，
如指数函数，正余弦函数，及多项式时，
通常利用待定系数法来求解。
1
一、非齐次项是多项式
L[x]
d2x dt 2
p
dx dt
qx
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f: f
云南师范大学学报 $ 自然科学版 &
第: )卷
# ( !" $ % &’ " $ % & $ ) & * 是齐次方程 # 其中 " 的通解 $ % & + $ -& " !. / " $ % & ! , * 恰好是齐次方程 1 % 4 6, 的 0 ’" + $ -& "! . $ % & 4 25
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中图分类号 * . / &
求常系数线性微分方程组的特解是微分方程 理 论 的 重 要 部 分 之 一$ 但在微分方程的初等解 法
3 . $ ) 4
; ; 1. 表 示 @次多项式 $ : ! A " 7A <= A <><= A . ; 1.
中$ 这 部 分 的 内 容 却 太 简 略 了$ 以至于没有
4 !, 7’ 3 ’, 4 6, ( 1 % 通解 / 故将通解 $ 代入方程 " $ % & !0 ) & 4 8 25 4 !, 3
7’ 3 ’, 它相当于 <个齐次微分方程 1 & + $ -& "! . / : 7’ 3 ’, $ -6 1 & + $ -& " / ] !, / =/ < : ]! . 它们分别有通解
表示特征方程 + <= ;7 ’ 引理 . B;阶常系数非齐次线性微分方程
E 9 : ! 6" C7 D ? 9 " @! 的特解是下列齐次线性微分方程 @< . ! 61 E " : ! 6" C7 ’
引起足够的重视 + 了深入探讨常系数线性微分 方 程 组 的 新 解 法$ 算 子 方 法 有 其 独 到 之 处+事 实 上$ 从算子 方 法 入 手 去 寻 求 常 系 数 线 性 微 分 方 程 组" 的新解法会显得非常方便 + 在我们前期的工 ! 2 4 作中 $ 我们先后给出了算子分解方法 3 初等行变 $ 换法 逆算子的形式幂级数展开 法 等 $ 并且将 $ 有关的方法初步推广到了变系数线性微分方程
* 1 % 4 6, " % ’" $ % & ]! 0 2 5 4 ]
4 !,
7’ 3 ’,
实际 上就是 求 $ $ , &去求出 $ , &的特解 / , &的 形 如
7’ 3 ’, ( 1 % 4 6, 31 % " $ % &! 0 !% 0 9 % &的特解 8 4 7$ 25 4 !3 ’,
@< . @< . E 9 即 C7 E " : ! 6" C7 ! 61 E " D ? 9 "H ’ $ @! 满 足 方 程 说 明 非 齐 次 线 性 微 分 方 程! F ! 9 " ! ) " + . "
但其推导过程却很繁 方 程 组 特 解 的 常 用 方 法$
. $ ) 4 杂3 在求解时还常常会出现问题 + 为了有效地 $
其中 W 为算子多项式 8 现设 "! X 是方 $ -& $ % & ; & / 1 % 程$ 则$ 于是有 F &的解 / E -6 ; & X $ % &! 0? % & / 7$
7’ , $ -6 1 & G E -6 ; G E X $ % & 7’ , !$ -6 1 & W $ -& $ E -6 ; & X $ % & 7’ , 1 % !$ -6 1 & W $ -& 0 ? % & 7$ 7’ , 1 % !W $ -& $ -6 1 & 0 ? % & 7$
7
的解 8 证略 8 定理 ) 是 ;的 3 重特征根 $ 则非 C设 1 3 [. & /
或者
$ E -6 ; & "! 0? % & 7$ 的解是下列齐次线性微分方程组
7’ , $ -6 1 & G E -6 ; G "! .
1 %
$ F & $ H &
( 齐次线性微分方程组$ F &具 有 形 如 " $ % &! 1 % $ , & $ % & 的 特 解 /其 中 9 9 $ % & / =/ 09 7’ _ 7’ _ ! $ 7’ _ $ < & > 其中 .‘ _ 可与 1 的重数无关 8 9 $ % & & / ‘3 7’ _ 证略 8
N 7. N 7.
# 收稿日期 * ) ’ ’ 2 1’ % 1. d 云南师范大学科研启动基金 ! 和云南省引进高层次人才工作经费 ! 资助 e 基金项目 * ) ’ ’ ) " ) ’ ’ 2 " 作者简介 * 化存才 ! 男$ 云南省玉溪市人 $ 博士 $ 教授 $ 现从事非线性动力学理论与应用研究 B . ( % 5 1" $
3 5 4 3 & 4 3 % 4 组" ! + 待定系数法不失为求常系数非齐次线性微分
! . "
! ) "
的解 + 证 明* 设 C 7 F ! 9 "是 方 程 ! . " 的 解 $则 E 9 E 9 而 D? 是齐次微分方程 : ! 6" F ! 9 " 7 D? 9 " $ 9 " @! @! @< . 3 2 4 ! 61 E " G 7 ’的 特 解 $所 以 有 ! 61
的解是齐次线性微分方程 ! ) "的解 +
解决这一问题 $ 在
3 & 4
中$ 我们给出了用待定系数法
求常系数非齐次线性微分方程组特解的充要条件 在本文中 $ 我们将主要给出推导常系数非 和公式 + 齐次线性微分方程 ! 组" 的待定系数法的新的简便 的算子方法 +
定理 . 是特征方程 : 重根 B设 E ! A "7 ’的 I 则 ;阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ! ! I J’ " $ . " K IE 9 有形如 C 7 9 的特解 其中 表示 DL 9 " $ L 9 " @ @! @! 次多项式 +
的解 8 证明 I 记+ 为 ;的特征多项 J & !G J E6 ; G ;$
U V 式/ 则由 KA 有+ @L M N O P6 Q A R M S R定 理 T / ; &! ;$ 从而有 . / + -& E! G E -6 ; G E! W $ -& $ E -6 ;$
事实上 / 定理 )已表明 / 微分方程组的特解形 式 与微分方程有区别 8 关于定理 ) 中的 _ 可与 1 的 重数 无 关 的 具 体 应 用 / 可参看T H V中 求 微 分 方 程 组$ F &的特解的充要条件和公式 8 参 考 文 献I
* 1 % $ ] & !0 9 $ % &’ " $ % & $ ^ & 7’ 3 * 其中 " 的通解 8 因此 $ % &是齐次方程 + $ -& " : ]! . 将通解 $ 实际 ^ &代入方程 $ F &去求 出 $ F &的特 解 /
: 算子方法推导一阶常系数非齐次线性 微分方程组的待定系数法
理: 还可以推广到更一般的结果 I 方程组 $ 的特 F & 解形式可与 ; 的特征根的重数无关 8 引理 ) C一阶 常系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 组 $ F &的解是下列齐次线性微分方程组
7’ _ ’, $ -6 1 & $ E -6 ; & "! . / _ [.
$ U &
项式 / 7 ! @A B $ 7,/ =/ 7<& 8 引理 : C一阶常系数非齐次线性微分方程组 D 1 % "! ; "’ 0 ?$ % & /