专题二 三角函数与解三角形第一讲 三角函数的图象与性质1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A 作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象，如图．由图象可知f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增． 同理可得f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递减，f (x )＝cos|x |的周期为2π，f (x )＝sin|x |不是周期函数，排除B 、C 、D ．故选A ．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝sin2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin2x ＋π12＋π2＝sin2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D ．3．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B 函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin [2x ＋,⎦⎤π12，令2x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B ．4．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：选C ①中，f (－x )＝sin|－x |＋|sin (－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，①正确；②中，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，函数单调递减，②错误； ③中，当x ＝0时，f (x )＝0，当x ∈(0，π]时，f (x )＝2sin x ，令f (x )＝0，得x ＝π. 又∵f (x )是偶函数，∴函数f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错误； ④中，∵sin|x |≤|sin x |， ∴f (x )≤2|sin x |≤2，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )能取得最大值2，④正确． 故选C ．5．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos x ＋π3＝－1，B 正确；f (x ＋π)＝cos x ＋π＋π3＝cos x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，C 正确；函数f (x )＝cos x ＋π3在π2，23π上单调递减，在23π，π上单调递增，D 不正确．故选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选A f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，即x ∈－π4，34π时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin x －π4单调递减．∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，34π， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.故选A ．明 考 情高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．考点一 三角函数的图象|多角探明|命题角度一 三角函数的图象变换【例1】 (1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度(2)(一题多解)(2019·辽宁五校联考)设ω>0，函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5的图象重合，则ω的最小值是( ) A ．12B ．32C ．52D ．72[解析] (1)因为y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2x －π2，所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋512π，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．故选B ． (2)解法一：函数y ＝2cos ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后，得y ＝2cos ωx －π5＋π5的图象，由已知得2cos ωx －π5＋π5＝2sin ωx ＋π5，所以cos ω·x －π5＋π5＝sin ωx ＋π5，当ω＝12时，cos 12x－π5＋π5＝cos 12x ＋π10≠sin 12x ＋π5；当ω＝32时，cos 32x －π5＋π5＝cos 32x －π10≠sin 32x ＋π5；当ω＝52时，cos 52x －π5＋π5＝cos 52x －π2＋π5＝sin 52x ＋π5，所以ω的最小值为52.故选C ． 解法二：函数y ＝2cos ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后，得y ＝2cos ωx －π5＋π5＝2cos ωx＋π5－π5ω的图象，由已知得cos ωx ＋π5－π5ω＝sin ωx ＋π5，所以sin π2＋ωx ＋π5－π5ω＝sin ωx ＋π5，所以π2＋ωx ＋π5－π5ω＋2k π＝ωx ＋π5，k ∈Z ，所以ω＝52＋10k ，k ∈Z .又因为ω>0，所以ω的最小值为52.故选C ．[答案] (1)B (2)C| 规 律 方 法 |三角函数图象平移问题处理的“三看”策略命题角度二 由函数的图象求解析式【例2】 (一题多解) (2019·陕西咸阳三模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4 C ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4[解析] 由图象可得，函数的最大值为23，最小值为－23，故A ＝2 3.由函数图象可得，两个相邻对称中心分别为(－2,0)，(6,0)，所以函数的周期T ＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 解法一：(对称中心定φ)由点(－2,0)在函数图象上可得f (－2)＝23sin π8×(－2)＋φ＝23sin φ－π4＝0，所以φ－π4＝k π(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．因为|φ|<π，所以k ＝－1或0，即φ＝－3π4或φ＝π4.当φ＝π4时，f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4，此时f (0)＝23sin π4＝6>0，显然与函数图象不相符，故φ＝π4不正确．当φ＝－3π4时，f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4，此时f (0)＝23sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－6<0，与图象相符，所以φ＝－3π4，函数的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4. 解法二：(最值点定φ)由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为(－2,0)，(6,0)， 所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2，－23)． 代入函数解析式可得f (2)＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝－23，即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1， 所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．因为|φ|<π，所以k ＝0，φ＝－3π4.故函数的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4. [答案] D| 规 律 方 法 |函数表达式y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B 的确定方法|全练题点|1.(2019·洛阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：选D 由图象可知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A 、C ；把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．2．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且函数f (x )的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6 B ．sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π6 C ．sin ⎝⎛⎭⎫3π2x －π3D ．sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6 解析：选A 由已知得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω，最大值为1，最小值为－1，因而⎝⎛⎭⎫πω2＋4＝22，所以ω＝π2，又f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，－12，所以－12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ，即sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6. 3. (2019·山东日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选B 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得2cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象．考点二 三角函数的性质|析典例|【例】 (1)(2019·合肥市高三调研)若将函数f (x )＝cos 2x (1＋cos x )(1－cos x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的单调递减区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z ) B ．⎣⎡⎦⎤k π，π2＋k π(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤－π8＋14k π，14k π(k ∈Z ) D ．⎣⎡⎦⎤14k π，π8＋14k π(k ∈Z ) (2)(2019·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有的性质为( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．为奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 C ．为偶函数，在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称[解析] (1)因为f (x )＝cos 2x (1＋cos x )(1－cos x )＝cos 2x sin 2x ＝14sin 22x ＝18－18cos 4x ，所以g (x )＝18－18cos 2x ，所以当－π＋2k π≤2x ≤2k π(k ∈Z )时，y ＝g (x )单调递减，所以g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，故选A ． (2)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x 的图象，则函数g (x )的最大值为1，其图象关于直线x ＝k π2＋π4(k ∈Z )对称，故选项A 不正确；函数g (x )为奇函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，故选项B 正确，选项C 不正确；函数g (x )的周期为π，其图象关于点⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，故选项D 不正确．故选B ．[答案] (1)A (2)B| 规 律 方 法 |1．求函数单调区间的2种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．|练题点|1．(2019·惠州市一调)函数f (x )＝2cos 2ωx －sin 2ωx ＋2(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝( ) A ．32B ．2C ．1D ．12解析：选C ∵f (x )＝2cos 2ωx －sin 2ωx ＋2＝32cos 2ωx ＋52(ω>0)，∴最小正周期T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为( )A ．3π4B ．3π8C ．π4D ．π8解析：选C 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，所以φ的最小值为π4，故选C ．3．(2019·河北石家庄一检)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B ． 考点三 三角函数图象与性质的综合应用|析典例|【例】 函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值． [解] (1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0<φ<π2，故φ＝π6.则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6＝32， 所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx ， 则32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3. 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ≤1， 故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. | 规 律 方 法 |解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．|练题点|(2019·湖南岳阳二模)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π2. (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，求f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋1－cos(2x ＋π)＝32cos 2x ＋32sin 2x ＋1＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 所以f (x )的最小正周期T ＝π.由2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ， 得对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z . (2)因为－π3≤x ≤π4，所以－π3≤2x ＋π3≤5π6， 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1.所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，3＋1.。
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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。
而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。
