矩阵论课件

博学笃行 自强不息

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矩阵论

矩阵论是线性代数的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质、运算和应用。在现代科学和工程领域中，矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。

一、矩阵的定义与性质

矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。在矩阵论中，通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。一个矩阵由m行n列的数值组成，可以表示为A = [aij]，其中i表示行的编号，j表示列的编号，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

在矩阵论中，还有一些基本的运算符号和性质。如矩阵的转置、加法、乘法等。矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算，最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。

矩阵还有一些重要的性质。如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵，即a[i][j] = a[j][i]。零矩阵是每个元素都为0的矩阵。单位矩阵是指主对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵。单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。 博学笃行 自强不息

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二、矩阵的运算与法则

1. 矩阵的转置法则：(AB)T = BTAT。即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。这个法则在矩阵运算中经常被使用，可以简化复杂矩阵乘法的计算。

2. 矩阵的加法法则：矩阵加法满足交换律和结合律。即A + B = B

+ A，(A + B) + C = A + (B + C)。这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。

3. 矩阵的乘法法则：矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。即(AB)C = A(BC)，但一般来说，AB ≠ BA。这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算，行和列的次序不同会导致运算结果的差异。

4. 零矩阵的性质：对于任意矩阵A，都有A + 0 = A，0A = 0。即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。

12 §4 线性变换的矩阵表示

引言：数域P上线性空间V上的所有线性变换组成的集合—L(V)是数域P的线性空间。若V是n维线性空间，那么L(V)的维数是多少呢？L(V)与nnP之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵表示。

一、线性变换在一组基下的矩阵表示：

设n,,,21是数域P上的n维线性空间V的一组基，A是V上的一个线性变换，对V，则有

nnkkk2211

)()()(11nnAkAkA

又),1()(niVAi

则有：)()()()(22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaAaaaAaaaA

用矩阵形式表述（*）有

nnnnnnnnaaaaaaaaaAAA2122221112112121),,())(),(),((

习惯上记上式左边为：),(21nA，，

则有：AAnn),(),(2121，，，，；这就有了下面的定义：

1.Df1.若AAnn),(),(2121，，，，则称A为线性变换A在基n,,,21下的矩阵，且可逆

若V在n,,,21下的坐标为nkk1，那么)(A在基n,,,21下的坐标又如何呢？ 13 nnnnkkAAAAkAkA12111))(),(),(()()()(

nnnnkkAkkA121121),,,(),,(

可见，)(A在基n,,,21下的坐标是由A与在n,,,21下的坐标来确定的。

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第三章 矩阵分析

在此之前我们只研究了矩阵的代数运算，但在数学的许多分支和工程实际中，特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算．本章首先讨论矩阵序列的极限和矩阵级数，然后介绍矩阵函数和它的计算，最后介绍矩阵的微积分，以及矩阵分析在解微分方程组和线性矩阵方程中的应用．

§3.1 矩阵序列

定义3.1 设有Cmn中的矩阵序列()kA，其中()()kkijmnAa．若()lim(1,2,,;1,2,,)kijijkaaimjn，则称矩阵序列()kA收敛于()ijmnAa，或称A为矩阵序列()kA的极限，记为

()limkkAA或()()kAAk

不收敛的矩阵序列称为发散．

由定义可见，Cmn中一个矩阵序列的收敛相当于mn个数列同时收敛．因此，可以用初等分析的方法来研究它．但同时研究mn个数列的极限未免繁琐．与向量序列一样，可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限．

定理3.1 设()kA，C(012)mnAk,,,．则()limkkAA的充分必要条件是()lim0kkAA，其中是Cmn上的任一矩阵范数．

证 先取Cmn上矩阵的G-范数．由于

()()()()1=1kkkijijijijGi,jmnkijijijaamnmaxaaAAmnaa

所以()limkkAA的充分必要条件是()lim0kGkAA．

又由范数的等价性知，对Cmn上任一矩阵范数，存在正常数α，β，使得

()()()kkkGGAAAAAA

故()lim0kGkAA的充分必要条件是()lim0kkAA．证毕

推论 设()kA，C(012)mnAk,,,，()limkkAA．则

1. 数学推理能力，计算能力。过渡矩阵，变换矩阵，度量矩阵。

2. 线性空间，线性变换。Euclid空间即实内积空间，酉空间复内积空间。映射和函数。集合，空，子，并，和，延伸为变换，然后用矩阵表示线性变换。运算变换可以理解为一种约束。

3. 线性空间，在某种运算下某空间是某数域的线性空间。加法交换律和结合律，乘法结合律和分配律。1，V是个非空的，它里面的元素叫向量，2，这些向量必须满足一些性质，对加法运算封闭对乘法运算封闭，还要满足八条性质。线性空间零元素唯一，负元素唯一。向量线性相关，向量线性无关。最大无关组的向量的个数，叫线性空间的维数。

4. 基，基分量，坐标，基变换，坐标变换。各个基分量之间线性无关。复数域是实数的2维空间。基1和j。基变换，坐标变换，过渡矩阵。线性子空间，V1是V的一个非空子集，并且满足线性空间的条件可加性数乘性。零空间。基张成子空间。子空间的交也是子空间。子空间都有零元素。和空间也是子空间。并空间不一定是子空间。维数公式说明和空间的维数会有交叉量相关量维数小于空间维数之和，少的部分由交集补上。核空间即零空间，零度。秩与零度相加等于N。直和无交。零元素有不同表达方式。齐次方程的通解，0元素在任何基下的坐标是0向量，但是非0元素在任何基下可能是0向量。生成子空间，值域，核零空间，特征子空间。空间越小越可能不成为线性空间，不满足对加法乘法运算封闭。两个行列式为零的同阶方阵之和不一定行列式为零，两个幂等矩阵之和不一定是幂等矩阵。空间的并不对元素运算，只对空间相加；空间的和是对元素作加法而形成的新空间。原本线性无关，扩大数域可能会变成线性相关。矩阵的值域的基是矩阵的列向量的一个最大无关组。零空间的基是齐次方程组的一个基础解系。求空间的基和维数，矩阵的一般形式。变换的值域的基和维数。矩阵的。最大无关组。求空间的和与交。没有要求空间的并的吗？和与直和的概念有点象。过渡矩阵的求法。法1，ACB，新基等于旧基乘以过渡；法2，211CCC。旧基的逆乘新基得旧基到新基得过渡。列向量。一个量在不同基下的坐标相同表明在两个基下存在坐标相同的向量存在。存在相同坐标得充要条件是1是C的一个特征值。线性变换矩阵求法，直接法，中介法，混合法。法1，给定基变换到值域变换信息，值域用给定基表示，联立方程求系数，系数作为列向量得线性变换在给定基下的矩阵；法2，给定基在简单基下的过渡矩阵C，线性变换在简单基下的矩阵0A变换信息，CACA01，得变换在给定基下得矩阵，没有涉及值域。法3，给定基变换到值域，值域在简单基下的矩阵B变换信息，给定基在简单基下的表示C，得到线性变换在给定基下的表示矩阵BCA1。已知两个基，线性变换一个基，线性变换表示与所选的基有关，它们是相似的，但是象点与简单基有关，与变换所选的基无关，只是可以表示成别的基下的形式而已。几个关系，旧基，新基，过渡矩阵，旧坐标，新坐标，过渡矩阵，旧基下线性变换矩阵，新基下线性变换矩阵，象点在简单基旧基新基下的表示。注意都是列向量。知道其中的关系，在有一定的方向性，就可以推导了！简单基下给定基的表示矩阵，线性变换为对角矩阵时对应基的求法，矩阵在特征向量为基的情况下是对角矩阵。线性运算在简单基下矩阵是A，A对角化，特征值，特征向量，在特征向量为基下矩阵表示成对角矩阵。简单基是怎么取出来的？？？求基础解系。如何求特征值，特征向量？？？线性运算在简单基下的矩阵，对角化，求得新基，运算在新基下的矩阵表达为对角矩阵。特征向量不能为零。