电子科技大学_矩阵理论课件!共131页文档

2
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明： 当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角 矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意 定理 对任意 ， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ×1 2 × 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (1) ⎜ − 2 ⎟ (1 2 ) = ⎜− 2 × 1 − 2 × 2⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ×1 3 × 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎞ ⎛2 −2 BA = ⎜ ⎟ ⎝− 2 2⎠
⇒ AB = BA.
若AB=BA, 则称A与B可交换.
例4 计算下列乘积：
(1) ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 ⎟(1 2) ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 6 12⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ (2) (1 ,−1,0)⎜ 4 9 42⎟⎜ 0 ⎟ ⎜ − 8 10 33⎟⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
称为列矩阵(或列向量).
（4）同型矩阵与矩阵相等的概念: 1. 行数相等且列数相等的两个矩阵,称为同型矩阵.
例如
⎛1 ⎜ ⎜5 ⎜3 ⎝
6 −4
2 ⎞ ⎛ 14 ⎟ ⎜ 6 ⎟与⎜ 8 ⎟ 7⎠ ⎜ 3 ⎝
10 ⎞ ⎛ 2 ⎟与⎜ 5 ⎠ ⎝0
3⎞ ⎟ 4 ⎟ 为同型矩阵. 9⎟ ⎠
0 6 − 7⎞ ⎟是同型矩阵 . 3 ⎠
x 3⎞ ⎟, 1 z⎠
已知 A = B , 求 x , y , z .
解
Q A = B,
∴ x = 2, y = 3, z = 2.
(5)行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶 方阵.也可记作 An .
⎛ a11 ⎜ 0 A=⎜ ⎜L ⎜ ⎝ 0
a12 L a1n ⎞ ⎟ a22 L a2 n ⎟ L L L⎟ ⎟ 0 L ann ⎠
( 6)若A是n阶方阵 , 则记 Ak = AAL A,
并称之为 A的k次幂 , k个A
m n m+n
易知 : ( A ) = A

分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且

y 1e1 2e2 nen ，
0 || x || || y ||
x y
(1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en 1 1 e1 2 2 e2 n n en 1 1 2 2 n n 0
n
n
k 1
则 x 1 为向量范数，称此范数为1-范数。 证明（1）当 x 0 时，其分量 1 , 2 , , n 不全为零，因 此 x 1 0； （2）||x||1 = | k | | | | k | = || ||x||1；
k 1 k 1 n n
（3）再设 y 1, 2 , , n ,
第三章
矩阵的范数与幂级数
§1 向量范数
一、引入
在内积空间中，可以用内积定义向量长度（范数）的概 念，即 x
x, x ，但对于一般的线性空间 V ，由于没有
内积，从何引入向量的范数？抽象出上述向量范数的共性： （1）当 x 0 时， x 0 ； （2） x x ； （3） x y x y ， 以此定义线性空间 V 中的向量范数。
( k k , k 1,, n )。 现取一个有界闭集 S
, , ,
1 2 n
x

1 ，(1,…,

n)的连续函数||x||在 S 上有最大值 M 和最小值 m，由于 S
中不包括零向量，所以 m > 0，即有
m ||x|| M (x S) 。
p
，1 p 。
例7 设 || ||a ， || ||b 是 C n 上两种范数，证明
max || ||a ,|| ||b 是 C n 上范数。

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举,表达式集合的运算：并（ ），交（ ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。

★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。

比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。

实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。

1．线性空间的定义：设V是一个非空集合, 其元素用x,y,z等表示, 并称之为向量；K 是一个数域，其元素用k,l,m等表示。

如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V∈时，有唯一的和+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质x y V（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律x y y x+=+；（3）存在零元素0, 使x 0x +=；（4）存在负元素, 即对于任一向量x V ∈，存在向量y V ∈，使x y 0+=，且称y 为x 的负元素，记为x -。

则有()x x 0+-=。

（II ）在V 中定义一个数乘 (数与向量的乘法) 运算，即当x V ∈，k K∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y k x k y +=+； （6）分配律 ()k l x k x l x +=+； （7）结合律 ()()k l x k l x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间或向量空间。

注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。

（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。

列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij

a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中


矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;

a
则称方阵范数 A 与向量范数 x a 是相容的.
4 February 2018 河北科技大学
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矩阵论
性质:
（1 ） P n n 上的每一个方阵范数,在 P n 上都存在与它 相容的向量范数;
（2 ） P n n 上任意两种方阵范数 A a , A b 都是等价的, 即 存 在 两 个 与 A 无 关 的 正 的 常 数 C1 , C2 , 使 得 对
证
矩阵论
j H n n H n
1 H n


j 1
j 1 i 1
4 February 2018
河北科技大学
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矩阵论
注 （1 ） F - 范数的优点之一是矩阵乘以酉矩阵U 之 后 F -范数不变，即: UA F A F AU F . 事实上:
H A ( A A); （3） 2
nn
n n Cc ,则
列模和最大者
行模和最大者
H
H
( A A) 是 A A 的最大特征值
2
（4） A
F

a
j 1 i 1
n
m
ij
tr A A ;
H


F -范数
4 February 2018
河北科技大学
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矩阵论
矩阵序列的极限计算具有以下性质:
设 Am 和 Bm 为两个 n阶矩阵序列
lim Am A ,则对 Cnn 中任何方阵范数 ， Am 有界； （1 ） 如果 m

k
逆命题不成立
A(k )
(1)k
1
1
k
1 2
: Cmn R
k A(k) ?
lim A(k) lim
k
F k
6
(k
1 1)2
6
{a1(1k )} 不收敛
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-13
矩阵序列
推论：
设 {A(k) : A(k) C mn , k 0,1, lim A(k) A 0
A)
A
A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-8
矩阵的条件数
– 当A与b二者均有扰动时，由于Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者 扰动之和
x A1 b A1 b A A1 b
x
x
b
b
A
x
A1 A
A1 A
A
x
(1 A1 A )
(1 A1
A
A)
A
A
注意到当 A1 A 1 时
为A的奇异值
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-4
矩阵的条件数
用MATLAB验证
的条件数
2 1
A
2
1.0001
与下面的方程组进行比较：
1
2
2 1
x1 x2
7 1
用
1
2
2 0.999
x1 x2
7 1.001
来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）
兰州大学信息科学与工程学院
A A1
A A1
A A1
1 A1 A 1 A A1 A
A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-9

n
( , ) H aibi i 1
则上式定义了一个内积,C n是酉空间.
返回
定义: 设1,L , n是酉空间V一组基,令aij ( i , j ),
则称矩阵A=(aij )为基1,L
,
的度量矩阵
n
,或Gram矩阵
.
定理:
设矩阵A=(aij
)为酉空间V的一组基1,L
,
的
n
度量矩阵,则
(1) AH A;
xi H Bx j ij .
返回
定理 6 设n n矩阵 A AH , B BH，且B正定，与B共扼 向量系x1 , x2 ,L , xn具有以下性质， （1） xi 0 ( i 1, 2,L ,n ) ; （2） x1 , x2 ,L , xn 线性无关 ; （3）i与xi满足方程Axi i Bxi ; （4）若令X ( x1 , x2 ,L , xn ) , X H BX E , X H AX diag( 1 , 2 ,L ,n )
定义 4 ( x, y) 0
向量 x和y正交,记为 x y
勾股定理： x y
|| x y ||2 || x ||2 || y ||2
垂线最短定理：欧氏空间Vn ( R) 中的一个固定向量 和一个子空间中各向量的距离“垂线最短”.
返回
定义5
n维欧氏空间V中向量1 ,2 ,L ,k的Gram行列式 :
b
(f (x), g(x)) a f ( x )g( x )dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x ), g( x ), a f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数
返回
1
f
,
g
b
a

1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1

max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A


max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )



1T

T 2





T n


111T

2
2

T 2

n
n

T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).

J
k
P
1
ak
k0
J1kPP 1Fra bibliotekakJ
k s
k0
f (J1)
P
P
1
f
(
J
s
)
f (Ji )
ak
J
k i
k 0
ik
ak
k0
C1 k1 ki
L
ik
O
mi 1 k (mi 1)
C k i
M
C1 k1 ki ik
ak ik
k0
akCk1
k 1 i
二、矩阵函数值的计算
1、利用相似对角化:
设P1AP diag(1, 2, , n ) D
f ( A)
ck
Ak
ck
( PDP 1 )k
P
ck
Dk
P
1
k0
k0
k0
ck
k0
1k
P
P 1
ck
k0
nk
f (1)
P
P
1
f
(n
)
同理
f ( At) Pdiag( f (1t), f (2t), , f (nt)).
0.1 0.7 k
r( A)
A
0.9
1
k 0
0.3
0.6
1
0.1 0.7 0.9
0.7 1
E
0.3
0.6
0.3
0.4
1
1 10
9 3
7
4
1 0.15
0.4
0.3
0.7
0.9
例：A 1,求 kAk-1

一、n 阶方阵的三角分解
1.上三角矩阵R 的逆 R 1 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数;
2.两个上三角矩阵 R1、R2 的乘积 R1R2也是上三角
矩阵,且对角元是 R1与R2对角元之积; 3.酉矩阵U 的逆 U 1也是酉矩阵; 4.两个酉矩阵之积 U1U2也是酉矩阵.
返回
返回
返回
返回
(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
返回
例 1 设APmn， 则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
返回
定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
0 0 0 0 0 0
返回
定理 2 设 A C r m n ,且 A B 1 D 1 B 2 D 2 均 为 A 的最大秩分解，则
(1) 存在 r阶可逆Q， 矩使 阵得 B 1 B 2 Q D 1 Q 1 D 2
( 2 ) D 1 H ( D 1 D 1 H ) 1 ( B 1 H B 1 ) 1 B 1 H D 2 H (D 2 D 2 H ) 1 (B 2 H B 2 ) 1 B 2 H

返回
量组的最大无关组(不妨设为其前r个列1,2,L ,r ).
A2 A AgA A A(1,2,L ,r ,L ,n ) = (1,2,L ,r ,L ,n )
Ai = i 1gi (i 1,L ,r)且1,2,L ,r线性无关.
(2)rank(A) r Ax 0共有n r个线性无关解(设为r1,L ,n). 即Ai 0 0gi (i r 1,L ,n).
xH AH (E A)x 0 AH (E A) 0 AH AH A
A
AH
H
AH A H AH A A AH
返回
注： ,0 ( , ) (P , P )
设1,2 ,L
,
n为Vn的基,
且
H i
j
1, 0,
j j
i ,令V i
( 1 ,L
, n ),
则V HV E. 设 n xi i (1, 2 ,L , n )x Vx,则
R( A) C m，N ( AH ) C m R( A) N ( AH ) C m
又 dim R( A) dim N ( AH ) m， 故
(7) R( A) N ( AH )=C m
返回
(8)基本结论2：
（1） AH AH 2 , E A E A2
(2) ( A) { Ax x, x 0} {0,1}
返回
6. 幂等矩阵的性质
(1) A C mn ,则
R( A) { y | y Ax,x C n } A的值域；
N ( A)={x | Ax 0, x C n } A的核.
(2)基本结论1：
dim R( A) dim N ( AH ) m
A
C
mn
dim R( AH ) C m R(

2014/2/24
AEMC Group
11
二、子空间的交与和
1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个子空间，则
V1 V2 x | x V1 ,x V2
V1 V2 x y | x V1 ,y V2
分别称为V1和V2的交与和。
2014/2/24
AEMC Group
i i
k x p y
i i i i i
i
k x p y
z k'i xi
但是，x1、x2、〃〃〃、xm、y1、y2、〃〃〃、yn1－m是V1的一 个基。因此， pi 0
2014/2/24
AEMC Group
17
pi 0
k x p y q z
2014/2/24
AEMC Group
16
假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k1、 k2、〃〃〃、km、p1、p2、〃〃〃、pn1－m、q1、 q2、〃〃〃、qn2－m使
k x p y q z
i i i i
i i
0 z V1
z V1 V2
z qi z i V2
t 0
2014/2/24
AEMC Group
23
这与其线性相关性矛盾，x1、x2、· · · 、xs、y1、y2、· · · 、yt线性无 关， 所以： x1、x2、· · · 、xs、y1、y2、· · · 、yt可作为 的基 （4）（1）：已知（4）成立 在 x 1、 x 2、 · · · 、xs、y1、y2、· · · 、yt这组基下
V1 V2 x y | x V1 , y V2
反映的是两个子空间的关系特殊。

.
am1 am1 amn
第21页/共179页
2、数乘矩阵的运算规律
（设 为A、矩B阵， m为数）n
,
1 A A;
2 A A A; A B A B.
31A A.
4若kA O,则k 0或A O.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
第22页/共179页
例1 已知矩阵
第16页/共179页
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
第17页/共179页
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m 矩n阵 A aij 那, B么矩b阵ij ,
A与 的B和记作 A，规B定为
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
是一个m 矩n阵 C ， 其cij 中
cij
a bi1 1 j
ai b2 2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
i 1,2,m; j 1,2,,n,
并把此乘积记作 C AB .
第25页/共179页
例3 C 2
1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
B 18 6,
1 4
AT
2
5 ;

(������)
},
其中 ������
(������)
= (������������������ ) ∈ ������ ������×������ .
(������)
(������)
刘西奎 (山东科技大学)
矩阵理论
2016
年 9 月 20 日
6 / 48
定理 1.1 设 lim ������
������→∞
(2)
������→∞
������→∞ ������=1 ������ =1
lim
|������������������ |2 = 0
(������)
(������)
= ������
的充分且必要条件是
矩阵理论
������→∞
lim ||������(������) ||������ = 0.
lim (������(������) − ������) = 0,
(������)
由定理 1.2, 存在 ������ > 0, 使得对一切 ������, 都有
|������������������ | < ������, ������ = 1, 2, · · · , ������; ������ = 1, 2, · · · , ������
(������)
������ (������) − ������������ ||������ = ||������(������) ������ (������) − ������(������) ������ + ������(������) ������ − ������������ ||������ = ||������(������) ������ (������) −

Ab 最佳逼近解
例：已知A的M
-
P逆A+
,
求
A A
A
A
A
BD
A A
A A
B B
D
D
A A
A
A
1 4
A A
A
A
例：已知A的M -
A
BD
A A
P逆A+
B B
D
, 求AAA
A
1 2
A
A
例：已知A的逆A-
1
,
求
0 0
A
0
0
0
A
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E 0
0 1
1 1
A
2 1 1
DH (DDH )1(BH B)1 BH
1
4
2
2
33 1 5 6
1 6 5
step3: 检验 AAb b是否成立.
1
AAb
2
b
1
故Ax b是不相容的方程.
3 0
x1 2x2 2x3 x4 3
是否有解 ?如果有解,求通解和最小范数解;
如果无解,求最小二乘解和最佳逼进解.
2 4 1 1 3
解
A
1
2
-1
2
,
b
0
1 2 -2 1 3
step1:求A的最大秩分解 : A BD
2 1
B step2
1
: 求1A
1 2
,
D
1 0
2 0
(3) ACrmn ,
A
U
Dr 0
0
0
V
UDV
(1)