《线性代数》
（第六版）
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线性方程组
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨 n 个未知数 m 个方程的线性方程组的解法 （即下面介绍的高斯消元法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解， 何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷多解， 如何表示。
运用 n 维向量的理论可全面地解决第二个方面的 问题。
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第一节 线性方程组的消元解法
例 用高斯消元法解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2
1
4x1x1x62
2x3 x2 2
x3
x4
4 2 x4
4
2 3
(1)
3x1 6 x2 9 x3 7 x4 9 4
解
x1 x2 2 x3 x4 4
1
(1)
12 3 2
2 2
x1 x1
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21
x1
a22 x2
a2n xn
0,
am1 x1 am2 x2 amn xn 0 .
显然零向量必为它的解，称为零解。
定理 若 r( A) n ,则齐次线性方程组只有零解；
若 r(A) n ,则齐次线性方程组有非零解. 推论 若 m n ,则齐次线性方程组必有非零解。
0
b
1 0
1
,
ba2 x1 a 1 ,
x2
a
2b a1
3
,
b1 x3 a 1 ,
x4 0 ;
当 a 1 , b 1 时, r( A) 2 r( A) 3 ,方程组无解；
当 a 1 , b 1 时, r( A) r( A) 2 4 ,方程组有无穷多组解，
