高中数学选修2-1优质学案8：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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高中数学选修2-1学案
1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教材新知
知识点一空间向量基本定理
提出问题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
问题1：e1，e2，e3共面吗？
问题2：试用e1，e2，e3表示AB1―→.
问题3：若M为A1B1的中点，能否用e1，e1，e3表示AM―→？
导入新知
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中，{a，b，c}叫做空间的一个，a，b，c都叫做．
化解疑难
1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.
3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．
知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示
提出问题 高中数学选修2-1学案
2 {a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交基底．
问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？
问题2：任一向量p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？
问题3：单位正交基底之间的数量积e1·e2，e1·e3，e2·e3，e1·e1，e2·e2，e3·e3分别为多少？
导入新知
空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底：
三个有公共起点O的的单位向量e1，e2，e3称为．
(2)空间直角坐标系：
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示：
对于空间任意一个向量p，一定可以把它，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为．
化解疑难
空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则b的坐标为(λ，μ，k).
常考题型
题型一空间向量基本定理的理解
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA―→＝e1＋2e2－e3，OB―→＝－3e1＋e2＋2e3，OC―→＝e1＋e2－e3，试判断{OA―→，OB―→，OC―→}能否作为空间的一个基底．
类题通法
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，高中数学选修2-1学案
3 首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
活学活用
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}，
②{x，y，z}，
③{b，c，z}，
④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
题型二空间向量基本定理的应用
例2 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA―→＝a，OC―→＝b，OP―→＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF―→，BE―→，AE―→，EF―→.
类题通法
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
活学活用
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值． 高中数学选修2-1学案
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(1) BD′―→＝xAD―→＋yAB―→＋zAA′―→；
(2)AE―→＝xAD―→＋yAB―→＋zAA′―→.
题型三空间向量的坐标表示
例3 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量MN―→的坐标．
类题通法
用坐标表示空间向量的方法步骤为 高中数学选修2-1学案
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活学活用
在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO―→，A1B―→的坐标．
随堂即时演练
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
2.如图，在四面体OABC中，OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则MN―→＝( )
A.12a－23b＋12c B.－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－23c D.23a＋23b－12c
3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________________．
4．如图所示，点M是OA的中点，以{OA―→，OC―→，OD―→}为基底的向量DM―→＝xOA―→＋yOC―→高中数学选修2-1学案
6 ＋zOD―→，则(x，y，z)＝________.
5．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{AB―→，AD―→，AA1―→}为基底，求下列向量的坐标：
(1)AE―→，AG―→，AF―→；
(2)EF―→，EG―→，DG―→.
——★ 参 考 答 案 ★——
教材新知
知识点一空间向量基本定理
提出问题 高中数学选修2-1学案
7 问题1：提示：不共面．
问题2：提示：AB1―→＝4e1＋4e2＋4e3.
问题3：提示：能，AM―→＝4e1＋2e2＋4e3.
导入新知
不共面基底基向量
知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示
提出问题
问题1：提示：一定．
问题2：提示：是．
问题3：提示：e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，故有e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.
导入新知
(1)两两垂直单位正交基底
(3)平移x，y，z (x，y，z)
常考题型
题型一空间向量基本定理的理解
例1 解：假设OA―→，OB―→，OC―→共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使OA―→＝xOB―→＋yOC―→成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，
∴ －3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1，此方程组无解，
即不存在实数x，y，使OA―→＝xOB―→＋yOC―→成立．
∴OA―→，OB―→，OC―→不共面．
故{OA―→，OB―→，OC―→}能作为空间的一个基底．
活学活用
[答案]3
[解析]如图，所设a＝AB―→，b＝AA1―→，c＝AD―→，则x＝AB1―→，y＝AD1―→，z＝AC―→，a＋b＋c＝高中数学选修2-1学案
8 AC1―→.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
题型二空间向量基本定理的应用
例2 解：连接BO，
则BF―→＝12BP―→＝12(BO―→＋OP―→)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c，
BE―→＝BC―→＋CE―→＝－a＋12CP―→
＝－a＋12(CO―→＋OP―→)
＝－a－12b＋12c，
AE―→＝AP―→＋PE―→
＝AO―→＋OP―→＋12(PO―→＋OC―→)
＝－a＋c＋12(－c＋b)
＝－a＋12b＋12c，
EF―→＝12CB―→＝12OA―→＝12a.
活学活用
解：(1)∵BD′―→＝BD―→＋DD′―→＝BA―→＋BC―→＋DD′―→
＝－AB―→＋AD―→＋AA′―→，
又BD′―→＝xAD―→＋yAB―→＋zAA′―→，
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)∵AE―→＝AA′―→＋A′E――→＝AA′―→＋12A′C′――→
＝AA′―→＋12(A′B′――→＋A′D′――→)
