高考一轮复习不等关系与不等式

若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(1 ＋|a|)． 【证明】 |f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)| ＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a||x＋a－1|＝|x－a||(x－a)＋(2a－1)|， ∵|x－a|<1. ∴|x－a||(x－a)＋(2a－1)|<|(x－a)＋(2a－1)| ≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(1＋|a|)． 若不等式|f(x)－f(a)|<2(1＋|a|)成立．
综合 ①②③ 知，原不等式的解集为{x|x≥1}．
【答案】 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
4．(2012·广州调研)不等式||xx＋ ＋12||≥1 的实数解为________．
【解析】 ||xx＋＋21||≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|且 x＋2≠0， ∴x≤－23且 x≠－2.
【答案】 {x|x≤－32且 x≠－2}
绝对值不等式性质的应用
(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1， 则|x－2y＋1|的最大值为________． 【思路点拨】 思路一 将|x－2y＋1|变形，设法用x－1与y－ 2表示，利用绝对值不等式的性质求最值； 思路二 由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的范围，然后运用不 等式的性质和绝对值的意义求解．
含绝对值不等式的解法
(1)(2011·江苏高考)解不等式：x＋|2x－1|＜3. (2)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
【思路点拨】 (1)将不等式x＋|2x－1|＜3化成|2x－1|＜3－x的 形式，然后用公式求解． (2)去|x＋3|与|x－2|的绝对值，按零点分区间讨论．

不等式的性质一、学习目标:1．会比较两个数(式)的大小．2．掌握不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用二、重难点：重点：理解不等式的性质难点：会解一元二次不等式中的恒成立问题三、知识梳理知识点一两个实数比较大小的方法方法关系作差法作商法a>b a－b>0>1(a，b>0)或<1(a，b<0)a＝b a－b＝0＝1(b≠0)a<b a－b<0<1(a，b>0)或>1(a，b<0)自查自测1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为()A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定2．已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为．3．比较两数的大小：7+1014.知识点二不等式的性质自查自测1．已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A．＜1B．ax＞ay C．x＋a＞y＋a D．x2＞y22．下列命题中，是真命题的是()A．如果ac>bc，那么a>b B．如果ac2>bc2，那么a>b C．如果>，那么a>b D．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d 3．已知－1<a+b<2，－3<a－b<5，则3a－b的取值范围是．知识点三一元二次不等式的解法有两个相异的实数自查自测1.设x Rx x+-<成立的x的取值范围为∈，使不等式23202.不等式2340--+>的解集为x x【常用结论】1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒1＜1．(2)a＜0＜b⇒1＜1．(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞．(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1＜1＜12.分数性质若a>b>0,m>0,则(1)真分数性质:<r r;>K K(b-m>0).(2)假分数性质:>r r;<K K(b-m>0).3.分式不等式的解法(1)op op>0⇔opop>0(2)op op≥0⇔opop>0op≠0(3)op op>o≠0)⇔op op−>0自查自测1.不等式2301xx ->-的解集为()A ．3(,4-∞B ．2(,3-∞C ．2(,)(1,)3-∞+∞ D ．2(,1)32.下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是()A ．2(8)(23)2x x x +++<B ．282(23)x x x +<++C ．212238x x x <+++D ．223182x x x ++>+四、典例分析考点一不等式的性质考向1利用不等式的性质比较大小1．(多选题)已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列不等式一定成立的是()A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．ac (a －c )<0D ．cb 2<ab 22．(多选题)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是()A ．a 12<b12B ．1>1C ．r2r2>D ．ac 3<bc 33．(2024·潍坊调研)()A ．若1＜1，则a 3＞b 3B 2a ＜2bC ．若ln a 2＞ln b 2，则2|a |＞2|b |D ．若tan a ＞tan b ，则a ＞b 4.已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是()A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若a>b，则ac 2>bc2C.若a>b>0，则(a −b)c>0D.若a>b，则a +c>b +c考向2利用不等式的性质求取值范围5．若－2<a <b <3，－2<c <0，则c (a －b )的取值范围是．6．设x ，y 为实数，满足2≤xy 2≤3，3≤2≤4，则55的最大值是．考点二分式不等式及高次不等式1.不等式K1r1≤1)A.x x ≤−2或xB.x x >−2x ≤−2或x ≥− D.x −2≤x2.已知关于x 的不等式B−1r1>0的解集是x <−1或x >a =考点三含参及综合类问题1.已知关于x的不等式ax2+(a−2)x−2≥0(a∈R).（1）若不等式的解集为{x|x≤−1或x≥2}，求a的值；（2）若不等式的解集只包含一个元素，求a的值和该不等式的解集.2.已知关于x的不等式x2−ax+b<0的解集为{x|2<x<3}，则关于x的不等式x2−bx+a<0的解集为()A.{x|2<x<3}B.{x|1<x<5}C.{x|2<x<5}D.{x|1<x<3}3.设a∈R，解关于x的不等式2x2+ax+2>0.4.若关于x的不等式(m−1)x2+(m−1)x+2>0的解集为R，求实数m的取值范围随堂检测1.若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥12.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).3.若对于−2≤m≤2，不等式mx>−mx−1<−m+5恒成则实数x是.4.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(）A．{a|－1≤a≤4}B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤-1}D．{a|－4≤a≤1}5.函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是.若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是.。

4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2
且c2＝d2且ab＝cd.
1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
求证：(11)(11)(11)≥8. abc
证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
(11)(11)(11) abc
当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号.
1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可.
三、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
，几何平均
数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 .
四、利用基本不等式求最值
设x，y都是正数. (1)如果积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
最小值
.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时积xy有最大
x 1 (x1) 1;1=3 答案：C
4.已知
＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是
.
解析：2＝
，所以xy≥15，当且仅当
时等号成立.所以xy的最小值是15.
答案：15
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费
4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它 的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
2ab≤ ab≤ ab≤ a2b2(a0,b0).
ab
2
2
求下列各题的最值. (1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝ (2)x＞0，求f(x)＝ ＋3x的最小值. (3)x＜3，求f(x)＝ ＋x的最大值.

分类讨论
【例3】 mx 已知m R，a b 1，f x ＝ ， x 1 试比较f a 与f b 的大小．
mx x 11 1 【解析】因为f x ＝ ＝m ( )＝m(1＋ )， x 1 x 1 x 1 1 1 所以f a ＝m(1＋ )，f b ＝m(1＋ )， a 1 b 1 则 f a － f b 1 1 m (b a ) ＝m(1＋ )－m(1＋ )＝ . a 1 b 1 ( a 1)(b 1) 因为a b 1， 所以a－1 0，b－1 0，b－a 0.
2
故p q.
比较大小
【例1】 1 若x y 0，试比较( x 2＋y 2 )( x－y ) 与( x 2－y 2 )( x＋y )的大小；
2 设a 0，b 0，且a b，试比较
a a bb与a bb a的大小．
【解析】1 ( x 2＋y 2 )( x－y )－( x 2－y 2 )( x＋y ) ＝( x－y )[( x 2＋y 2 )－( x＋y ) 2 ] ＝－2xy ( x－y )． 因为x y 0，所以xy 0，x－y 0， 所以－2xy ( x－y ) 0. 所以( x ＋y )( x－y ) ( x －y )( x＋y )．
本题体现的是近几年比较热门的考点— —用函数观点解决不等式问题．将两式相减 得到几个因式的积后，发现符号取决于m的正 x p 负，所以对m进行讨论是必然的．对于 xq (p，q是常数)这样的问题，用分离常数的方法 往往可以使问题得以简化，复习时要多加积 累．另外，本题最后如果没有写上“综上所 述”及其后面的内容，是不完整的．
1.现给出三个不等式：①a 2 1 2a；②a 2 b 2 3 2(a b )；③ 7 10 3 14.其中恒 2 成立的不等式共有 2 个．