不等关系与不等式的性质基本不等式

不等式关系与不等式一.基础知识1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础 不等式的基本性质有： （1）对称性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒.（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

（4）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a1<。

2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.3、不等式的证明（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。

第七章 不等式知识网络.第1讲 不等关系与不等式★ 知 识 梳理 ★1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；0>-⇔>b a b a ； 0<-⇔<b a b a ； 0=-⇔=b a b a ．2．不等式的性质：（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔< （2）传递性:,a b b c >>⇒，a c >（3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc < 推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *∈≥(5) 可开方(正):0a b >>⇒>(,2)n N n *∈≥第4讲 基本不等式★ 知 识 梳理 ★1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立.2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>).3.拓展：若0,0a b >>时,2112a b a b+≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y+=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y xx y x y x y x y x y+=+⋅=+⋅+=+++,0,0x y >>,∴280,0y xx y>>1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件． 题型2. 当和a b +为定值时, 求积ab 最大值例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy 转化成lgxy 考虑．解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212=⎪⎭⎫⎝⎛+y x ，∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．由⎪⎩⎪⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ． 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一． 考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体. [解析] Q 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形. 例2. 已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵ a>0，b>0， ∴b b a +≥a b b a 22=⋅，a ab +≥b a ab 22=⋅，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．解析2. abb b a a b a b a a b ba +++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+)(≥ab b a 2++ 2)(b a +=．∴ab ba +≥b a +．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路． “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．6.已知函数12()f x a x=-+，若02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围。

5月17日（一）不等式1.不等式的定义和不等好的分类2.3.铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm，设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。

4.通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m 的地方作为测量部位. 某树栽种时的树围为6cm, 以后树围每年增加约3cm。

设经过x 年后这棵树的树围才能超过30 cm，请列出x满足的关系式。

5.用适当的不等号表示下列关系：（1）a是正数；（2）x 的2倍与3的和小于4；（3）x 的一半与6的和大于x的4倍；（4）x 的3倍不大于x 与3的差.6.小结：列不等式时先抓住关键词，再选准不等号。

7.练习：用恰当的不等号表示下列关系:（1） a 是非负数；（2）直角三角形的一条直角边 a 比斜边 c 短；（3）x 与17 的和比它的 5 倍小；（4）两数的平方和不小于这两数积的 2 倍.（5）x 的 3 倍与8 的和比x 的 5 倍大；（6）x2是非负数；（二）不等式的性质1.如果5>3，那么5+2 3+2 5-2 3-2如果-1<3，那么-1+2 -1+2 -1-2 -1-2类比等式的基本性质1你能说出不等式的这个性质吗？不等式的基本性质1：不等式两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 符号语言：如果a>b, 那么a+c>b+c, a-c>b-c如果a<b, 那么a+c<b+c, a-c<b-c2.填空你能用自己的语言说一说不等式的这个性质吗？（看课本139页）3.判断正误，并口述理由4.已知a＜b，用“＜”或“＞”填空：5.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：6.将下列不等式化成“x＞a” 或“x＜a” 的形式：。

不等关系和不等式的基本性质及不等式的解集【知识要点】①一般地，用符号“＜”或者“≤”、“＞”或者“≥”连接的式子叫做不等式。

②正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。

③不等式的两边都加上（或减少）同一个整数，不等式号的方向不变。

④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（2）不等式的解集：如6，7，8，9，10…都是x＞5的解，不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。

（3）解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式。

在数轴上表示不等式的解集时，可这样记忆：大于向右拐小于向左拐有“等号”实心无“等号”空心．画数轴时不要少了三要素：原点、正方向和单位长度．如下图，不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.如图，不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.【典型例题】例1 用不等式表示、（1）5与x的3倍的差为正数。

（2）a与b两数和的平方不能大于3。

（3）x2是非负数。

（4）x的一半比－5大，比3小。

（5）3x的绝对值不小于5。

（6）a的6倍与3的差不大于1。

例2 判断下列结果对不对，为什么？①若323,2x x>>则②若36,2x x-<<-则②若12,12aa>->-则④若a>b，则a>3b例3 根椐不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式。

①47x+>②514x x<+③415x->-④2542x x+<-例4 设a<b，用“<”或“>”填空。

`第1讲不等关系与不等式【2013年高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b . 3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的围． 两条常用性质 (1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：b a＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；②假分数的性质：a b＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．双基自测1．(人教A版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a ＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是()．A．①②B．②③C．③④D．①④2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．A．v＜40 km/h B．v＞40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h3．(2012·质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d5.12－1与3＋1的大小关系为________．考向一 比较大小【例1】►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.ab ＞1 B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b考向二 不等式的性质【例2】►(2012·模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考向三 不等式性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值围． 【训练3】 若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值围．考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用． 一、作差法【示例】►(2011·)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b二、作商法【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小关系是()．A．|log a(1－x)|＞|log a(1＋x) B．|log a(1－x)|＜|log a(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定\三、中间量法【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin 2π5，则()．A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a第4讲基本不等式【2013年高考会这样考】1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．【复习指导】1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(2) a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()．A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．33．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1 C．2 D．44．(2011·)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．45．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值围是________．【训练3】 (2011·模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练3】(2011·六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求1a＋2b的最小值．【试一试】(2010·)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()．A．1 B．2 C．3 D．4。

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立，即1a －b >1a 不成立． 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③答案 D3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0 答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________． ①x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9； ②(x －3)2<(x －2)(x －4)； ③当x >1时，x 3>x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)． 答案 ①③④解析 ①2x 2＋5x ＋9－(x 2＋5x ＋6)＝x 2＋3>0，即x 2＋5x ＋6<2x 2＋5x ＋9.②(x －2)(x －4)－(x －3)2＝x 2－6x ＋8－(x 2－6x ＋9)＝－1<0， 即(x －2)(x －4)<(x －3)2.③当x >1时，x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)>0， 即x 3>x 2－x ＋1.④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＋1>0， 即x 2＋y 2＋1>2(x ＋y －1)．5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)A (2)B解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为______________________________． 答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．故选B. (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误．∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值． 题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．8．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4 确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧ a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．[失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立．2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立．4.a b >1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧ a >b b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是() A ．ad >bc B ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ac 2>bc 2可得a >b ，因为c 2>0，而由a >b 不一定能得到ac 2>bc 2.因为c 2可能为0.3．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是()A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与a b 的大小不能确定．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π)D ．(－π6，π) 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定 答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确； 当a <0且b <0时，可知D 不正确．12．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.13．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.14．已知0<a <b <1，则( )A.1b >1aB ．(12)a <(12)bC ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b 答案 D解析 因为0<a <b <1，所以1b －1a ＝a －b ab<0. 可得1b <1a ，(12)a >(12)b ，(lg a )2>(lg b )2， lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b， 因此只有D 项正确．15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

第八讲不等关系、不等式的基本性质一、知识点精讲：（一）不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。

不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。

注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。

“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。

（二）不等式的基本性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向。

注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变（三）不等式的解集：1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。

因此，解集要达到不多不漏的严格要求。

3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”．不等式的解集在数轴上的表示如下：①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1)图1－1②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2)图1－2③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3)图1－3④当不等式的解集是x≤a 时.(如图1－4)图1－44．不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的集合.。

5．求不等式解集的过程叫做解不等式。

1. 判断不等式例1．判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式又不是不等式.①y x + ；②73>x ； ③523=+； ④20x ≥； ⑤132=-y x ； ⑥01<-. 变式训练1. 下列式子2220,40,340,210,34,13a x y x y x x y a b -<-<+≥+-=+-+>-中，不等式有 个.2．据题意列不等式：例2．用不等式表示下列数量关系.⑴a 的相反数与5的和小于a 与7的差； ⑵5-与x -的和一定是负数；⑶长为2+a ,宽为a 的长方形面积小于边长为1+a 的正方形的面积.变式训练1． 用不等式表示下列数量关系.(1)a 的3倍与2的差小于a 的5倍与7的和； (2)x 的绝对值与1的和不小于1；(3)b a 、两数的平方和的2倍再加上c 小于10； (4) x 与3的和的一半时负数.3． 不等式的基本性质：例3.比较下列各题中两个式子的大小.(1) 33a -与44a-； (2)b a +与b a -.变式训练：（1）. 若由y x <得到y a x a 22<，则一定有（ ）．A ．0>aB ．0<aC ．0≠aD ．a 为任意实数（2）. 设c b a ，，的平均数为M ，b a ，的平均数为N ，N 与c 的平均数为P ，若c b a >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．P M = B ．P M > C ．P M < D ．不确定例4． 运用不等式的基本性质进行化简：1．已知b a >,则75+-a 75+-b 已知4646-<-b a ,则a b ． 考点5 图像中比较大小2．如图所示，c b a ，，分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）．A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >>变式训练（1）. 如图所示，四个小朋友玩跷跷板，体重分别为S R Q P 、、、，则他们的体重大小关系是（ ）．A ．Q S R P >>>B ．R P S Q >>>C ．R Q P S >>>D ．Q R P S >>> 考点6： 不等式的解和解集（不等式中字母的取值范围）1．已知关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围．2．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123a y x a y x 的解满足y x >，求a 的取值范围．3． 求同时满足不等式5043874756++++x x x x 和的整数解变式训练（1）．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=-+=+5854a y x a y x 的解满足不等式954<-y x ，求a的取值范围．3．关于x 不等式a bx b ax 2+>+的解集为3>x ，求关于x 的不等式b ax <7的解集．变式训练（1）．不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为31-<x ，求关于x 的不等式b a x b a ->-2)3(的解集．4．关于x 的不等式134>+a x 的解都是不等式0312<+-x 的解，求a 的取值范围．变式1．已知不等式a x x 322434-<+（x 为未知数）的解集也是不等式21621<-x 的解集，求a 的值．A (基本训练)1．x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ） （A ）3x 21)4x (2-<+ （B ）24x ⨯+≤3x 21-（C ）)4x (2+≤3x 21- （D ）)4x (2+≤)3x (21-2．若a<b ，则下列各式中不成立的是（ ） （A ）b 3a4+-<+- （B ）a 3b 3-<- （C ）33b a < （D ）b 2a 2-<-3．若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，在下列结论错误的是（ ）（A ）0>-b a （B ）0>ab （C ）b c a c -<- （D ）ba 11>4．如果x<0，那么x |x |-是（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 5．下列不是不等式8x )5x (2-<-的解的数是（ ） （A ）－4 （B ）－5 （C ）－3 （D ）2 6．如果不等式b ax <的解集为abx <，那么a 的取值范围是（ ） （A ）a≥0 （B ）a≤0 （C ）a>0 （D ）a<0 7．如图所示，x <2用数轴表示正确的是（ ）8．不等式1x 43<的非负整数解是（ ）（A ）无数个 （B ）1 （C ）0，1 （D ）1，2 二、解答下列各题 1．用不等式表示：（1）5与x 的3倍的差是正数；（2）a 与b 的平方和不大于3； （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和； （4）x 除以2的商加上2，至多为5。