不等关系与不等式-

3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。

如：()()f x g x >，()()f xg x ≤等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式，叫做非严格不等式。

知识点2、不等式的分类（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。

如：a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。

如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。

如：x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。

如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。

如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。

绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。

（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。

如：132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。

如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。

如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。

知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性：a b b a <⇔>； ②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0； 推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，nn b a n >⇒>1；⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n nb a n >⇒>1。

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。

不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用， 要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学 习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数 学符号 连接两个数或代数式以表示它们 之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．三、典型题型题型一 比较大小【例1】已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与 ab ＋bc ＋ca 的大小．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b ＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b题型二 不等式的性质【例2】 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的 命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应 用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 对数函数，指数函数的性质等．题型三 不等式性质的应用【例3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)， f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用 不等式的性质求f (－2)的范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.题型四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＞0. 证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.四 、小结。

《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。

比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。

不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。

不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。

二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。

例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。

1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。

（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。

（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。

（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。

2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。

3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。

1第十一课时 不等关系与不等式【知识与技能】(1)通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系； (2)能用不等式或不等式组解决简单的实际问题； (3)了解不等式的基本性质． 【重点难点】重点：用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；难点：用不等式或不等式组准确地表示不等关系，用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题． 【教学过程】 一、问题与探究1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.你能用不等式表示对脂肪和蛋白质含量的规定吗？我们经常应用 来研究含有不等关系的问题，常用的不等号有： ． 2．想一想，怎样比较两个实数的大小？ 作差法比较两实数(代数式)大小2类型1 用不等式(组)表示不等关系【例1】《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票；……；十、旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克……”。

设身高为h (米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P (厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．“不足”、“不超过”等，对于实际问题中不要漏掉隐含条件．2．文字语言与数学符号语言之间的转换．将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，问题中关键性的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换，关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系．3．常见的文字语言与数学符号的转换： (1)x 为非负数；(2)x 为实数，而且大于1不大于6；(3)x 与y 的平方和不小于2，而且不大于10． 类型2 作差法比较两数(式)的大小【例2】已知x >1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．3 【变式】设a >0，b >0，且a ≠b ，比较a a b b 与a b b a 的大小．小结：1．本题采用的是作差法比较大小，一般地，涉及两个代数式比较大小，常用作差法． 2．作差法比较两个数(式)的大小可以归纳为“三步一结论”，即作差→变形→定号→结论．其中变形为关键，定号为目的．在变形中，一般变形得越彻底，越有利于下一步的判断．在定号中，若为几个因式积，需对每个因式均先定号，若符号不确定时，需进行讨论． 【练习1】将例题中“x >1”改为“x ∈R ”，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【练习2】比较1816与1618的大小．类型3 不等式基本性质及应用【例3】(1)已知a >b ，e >f ，c >0．求证：f －ac <e －bc ； (2)若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋d d ．小结：用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件，利用相应的不等式性质证明；要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数；一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的；一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等．【练习】已知0a b >>，0c d <<，0e <. 求证：e ea cb d>--．类型4 利用不等式的性质求范围问题【例4】已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab 的取值范围．4【练习1】已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．【练习2】若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2 D ．0<2α－β<π三、课时小结1．使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． 2．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤(1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；(2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)；(3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式．3．作差法比较大小的关键步骤是变形，变形时常采用配方，因式分解、通分、有理化等手段进行. 四、课时作业1．(2013·长沙高二检测)设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c >b －d B ．ac >bd C ．a ＋c >b ＋d D ．a ＋d >b ＋c 2．(2013·岳阳高二检测)已知非零实数a ，b 满足a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．a 2b >ab 2 D.a b 2>ba 23．(2013·南昌高二检测)若a >b 且c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a >bc B ．a 2>b 2 C ．a ＋c >b ＋c D ．ac 2>bc 2 4．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，下列不等式恒成立的是( )A ．ac >bcB ．ab >acC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2 5．已知c >1，且x ＝c ＋1－c ，y ＝c －c －1，则x ，y 之间的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．x ，y 的关系随c 而定 6．一个两位数，其中个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等式表示为________．7．若－1<x <y <0，则1x ，1y ，x 2，y 2的大小关系为________．8．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0．11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a 元，二级小麦每千克b 元(b <a )，现有一级小麦m 千克，二级小麦n 千克，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？。

不等式与不等关系一、概念引入不等式是数学中的一种重要概念，与等式相对应。

不等式表示了数值之间的大小关系，常用于描述实际问题中的约束和条件。

不等式由不等号连接的两个数或表达式组成，不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）。

二、基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性指若a>b 且b>c，则有a>c。

例如，若3>2 且2>1，则有 3>1。

2. 不等式的加减运算性质若 a>b，则 a+c>b+c。

例如，若 3>2，则有 3+1>2+1。

3. 不等式的乘除运算性质当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc。

例如，若 3>2，则有 3×2>2×2。

当c<0 时，不等号方向反向。

三、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数，并且该未知数的最高次幂为一次的不等式。

例如，2x+3>5、4x-1<10等都是一元一次不等式。

解一元一次不等式的方法包括图解法、试值法和代数法。

图解法将不等式表示在数轴上，利用数轴的方向性确定不等式的解集。

试值法则通过给定一个试探值，并代入不等式中验证是否成立。

代数法则通过一系列的变形和运算，将不等式化简为更简单的形式，从而求得解集。

四、二元一次不等式组二元一次不等式组是指包含两个未知数的一次不等式的系统。

常用于描述平面上的几何关系和约束条件。

解二元一次不等式组一般采用图解法。

将两个不等式表示在二维直角坐标系中，分别确定两个不等式的解集，然后找出二者的交集区域，即为不等式组的解集。

五、不等关系不等关系是用于比较两个不等式的关系。

常见的不等关系包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）以及不等于（≠）。

不等关系可以根据两个不等式之间的关系，利用布尔运算（与、或、非）进行合并和推导。

不等关系与不等式介绍不等关系是数学中常用的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系，即比较两个数的大小。

在数学中,不等关系可以表示为"大于"、“小于”、“大于等于”、“小于等于”。

不等关系可以形成不等式，不等式是含有不等号的数学式子。

不等关系是不等式的基础，而不等式则是对不等关系进行了约束。

在不等关系中，常常使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示。

为方便表达，我们将两个数用变量表示，一般用字母x或y来表示。

例如，若x>y，表示x比y大；若x<y，表示x比y小；若x≥y，表示x大于等于y；若x≤y，表示x小于等于y。

不等关系可以直接表示两个数之间的大小关系，而不等式则将不等关系进行了约束，通过不等式可以表示一系列满足条件的数的范围。

不等式可以分为一元不等式和二元不等式。

一元不等式是只含有一个未知数的不等式，二元不等式是含有两个未知数的不等式。

解不等式即求不等式的解集，即满足不等式条件的变量值的范围。

解不等式的方法与解方程的方法有些相似，但由于不等式的特殊性，有一些注意事项。

对于一元不等式，可以通过将不等式化简为等价的形式，然后求解，在不等式两边施以同一个正数或同一个负数时，不等号的方向会发生改变。

例如，对于不等式2x-5>7，我们可以将其化简为2x>12，再除以2得到x>6，所以该不等式的解集为{x，x>6}。

当不等式左右两边均含有未知数，即为二元不等式时，需要绘制不等式的图形来找出解集。

一般将不等式转化为一元不等式的形式，取出一个未知数，再通过绘制图形来求解。

例如，对于二元不等式2x+3y≤8，我们可以将其转化为一元不等式2x≤8-3y，再通过绘制图形求解。

在绘制图形时，将不等式转化为等式，将未知数看作坐标轴上的变量，找出所有使等式成立的点，再根据不等式的符号来确定图形中的哪些点属于解集。