基本不等式(均值不等式)
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2a b
2 2
当且仅当a=b时，等号成立
（特别的）如果
a＞0 ,b＞0 ,
也可写成
ab ab (a 0, b 0) 2
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利用均值不等式求最值
均值不等式（定理）具有将“和式”与“积式”
相 互转化的功能，应用比较广泛，这里仅就其在 求函数最值中的应用述其管见。为了用好该不 等式，首先要正确理解该不等式中的三个条件 （三要素）： 正（各项或各因式均为正值）、 定（和或积为定值）、 等（各项或各因式都能取得相等的值， 即具备等号成立的条件）， 简称“一正、二定、三相等”，这三条缺一不可，
或
f ( x )0 g ( x ) 0 f ( x )0 g ( x )0
或
含绝对值不等式的解法
1、绝对值定义|a|=
a a≥0 -a a<0
2、|x|>a的几何意义是到原点的距离大于a的点， 其解集是﹛x|x>a或x<-a﹜ |x|<a的几何意义是到原点的距离小于2的点， 其解集是﹛x|-a<x<a﹜ 3、|ax+b|>c（c>0）的解法是： 先化不等式组ax+b>c 或ax+b<-c， |ax+b|<c (c>0) 的解法是： 先化不等式组 -c<ax+b<c,
不等关系
判断两个实数大小的依据是： 作差比较法 a b ab 0
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
a b ab 0 a b ab 0
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不等式的定义、性质、运算
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那 么 a >b . 性质1表明，把不等式的左边和右边交换 位置，所得不等式与原不等式异向，我们 把这种性质称为不等式的对称性。 性质2：如果a>b，b>c，那么a>c. 这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a. 这个性质是不等式的传递性。
c<0，则ac<bc. 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
推论2：如果a>b>0，则an>bn，(n∈N+， n>1). 推论3：如果a>b>0，则， n a n b (n∈N+，n>1).
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一元二次不等式的解法
以y=ax2+bx+c（a>0）为例
注意大前提：a>0
判别式 △=b2-4ac
(四)、综合变换 例5 求函数
的最小值，
当且仅当
，即
时，
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性质3：如果a>b，则a+c>b+c. 推论1：不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的一 边移到另一边。 （移项法则） a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a >c－ b . 推论2：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，
但是在具体问题中，往往所给条件并非“标准” 的正、定、等（或隐含于所给条件之中），所以 还必须作适当地变形，通过凑、拆（拼）项、添 项等技巧，对“原始”条件进行调整、转化，使其 符合标准的正、定、等，以保证使用该不等式。 (一)、凑正值 例1 设x<－1，求函数 的最值。
分析：欲用均值不等式来解。因，则不满足 “正”的条件，故需利用已知条件调整其符号。
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
△>0
△=0 y
△<0
y
x1 O
y
x2 x
O x1 x O x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
有两相异实根 x1,x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= 2a
没有实根
解：因为
，即
，所以
则
当且仅当 即 时，y有最大值，且
(二)、变定值 例2 求函数
分析：因
的最小值,(变积定)
并非“定值”，故不能直接运用
均值不等式，为此需对原式按
解：原函数化为
。
拆（添）项重组。
因为
当且仅当
即x=1，x=－1时，
例3 求函数 分析：因
的最大值。 定值，故需拆凑使其满足定值
，为使其余因式 ）为准将 定值。
条件，原函数中有一个因式 ）之和为定值，需以（ 与（ 拆成 解: ，这时就有
当且仅当
，即
时，
评注：一般说，凑“和”为定值较难，它需要一定的技 巧。当然这种技巧来源于对均值定理的真正理解和基 本的恒等变形能力。
(三)、找等号 例4 求函数
的最小值。
因为 即 又因为 当且仅当 故
，当且仅当
。
时等号成立， 所以 时取等号。
b {x|x<x1,或x>x2} {x|x≠ } 2a {x|x1<x<x2} Φ
R
Φ
这张表是我们今后求解一元二次不等式的主要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二次函数 的图像。
记忆口诀： 大于0取两边， 小于0取中间.
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分式不等式的解法
f ( x) (1) 0 f ( x) g ( x) 0 g ( x) f ( x) (2) 0 f ( x) g ( x) 0 g ( x)
标题:不等式专题 ——XXX（姓名） 复习
金太阳教育
不等关系与不等式
不等关系 不等式的解法
基 本 不 等 式
均 值 不 等 式 与 最 值
不等式的定义 性质、运算
一元二次不等式 （含高次和分式）
二元一次不等式（组）
简单的线性规划问题
不等式的应用：比较大小、函数的单调性判定、最大（小）值、 取值范围问题；平面区域的确定方程根的分布
f ( x )0 g ( x )0
或
f ( x ) 0 g ( x ) 0 f ( x ) 0 g ( x )0
f ( x )0 g ( x ) 0
或
f ( x) (3) 0 g ( x) f ( x) (4) 0 g ( x)
f ( x )0 g ( x )0 f ( x )0 g ( x ) 0
