不等式期末专题复习课件1.不等关系与基本不等式

第一章 不等关系与基本不等式
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
1．解下列不等式： (1)|6－2x|＞4； (2)2≤|x－4|＜3； (3)|x＋1|＞2－x. 解：(1)|6－2x|＞4⇔|2x－6|＞4 ⇔2x－6＞4或2x－6＜－4. 整理，得2x＞10或2x＜2.解得x＞5或x＜1. 所以原不等式的解集是{x|x＞5或x＜1}．
(2)法一 原不等式等价于 ||xx－ －44||＜ ≥32，⇔①xxx－－ －444≥＜ ＞2－3，3，或②xxx－－ －444＜＞ ≤3－ －，32， . 解不等式组①，得 6≤x＜7. 解不等式组②，得 1＜x≤2. 所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
A．1,5)
解析：①当x＜1时，原不等式等价于
1－x－(5－x)＜2，即－4＜2，
所以x＜1.
②当1≤x≤5时，原不等式等价于 x－1－(5－x)＜2，即x＜4， 所以1≤x＜4. ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， 即4＜2，无解． 综合①②③知x＜4. 答案：A
由 x2－12＜－2x，得－2－2
6＜x＜－2＋2
6 .
∴x＞2＋2 6或 0＜x＜－2＋2 6满足原不等式．
综上，原不等式的解集是
xx＞1＋ 26或x＜ 26－1.
【点评】 解形如|f(x)|＞a或|f(x)|＜a(a＞0)的不等式，就是 利用等价命题法，即当a＞0时，|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a， |f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a，将其绝对值符号去掉，通过分别求出 相应不等式的解集，即可达到解题目的．

(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.

判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.

（2）求y的最值.
解答
解： 设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则 y=400· (2x+200/x×2)+248· (2×200/x)+80×200 =800x+259200/x+16000.
259200 16000 ≥ 2 800x x
当且仅当800x=259200/x, 即x=18时，取等号。 答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1). 当x=±1时，x6+1=x4+x2; 当x≠±1时，x6+1>x4+x2.
1 a 2 1 (a 1)(a 1) （2）a a a a 当-1<a<0或a>1时, a 1 ; a 1 当a<-1或0<a<1时, a ; a 当a=±1时, a 1 . a
X
当且仅当x=6 2 时，S有最大值108-72 2
课堂小结 1.公式的正用、逆用和变形用； 2.公式条件：正、定、等； 3.构造“和定”或“积定”求最值。 4.应用题:弄清题意,建立模型
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x+y x=y
2 p 有最___值是______.（简记：积定和最小） 小
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当____时,xy有最 x=y
p2 ____值是______.（简记：和定积最大） 大 4
2
a=b (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.

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abab0 a b ab 0
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abab0
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及其负责人的人。他们的恐怖仍然令人怀疑。他们没有勇气让自己满意，但他们对此表示怀疑。我恳求有些人走近，并通过触摸那间看不见的生物存在于房间而说服自己，这是徒劳的。他们是不可思议的，但不敢欺骗自己。他们问道，一个坚实，活泼，呼吸的身体怎么会看不见。我的答复是这样。我给哈蒙 德做个手势，我们两个人-克服了恐惧的抵触感方展现给了警长亚当斯和另外两个从马歇尔出来的人。其中一个人是警长的代理人金先生。另一个叫布鲁尔（Brewer），是已故曼顿夫人的兄弟。根据国家关于财产的善意法律，该财产在一段时期内被无法确定其住所的所有者放弃，治安官是曼顿农场及其附属物 的合法保管人。他的这次访问完全是在法院命令的基础上严格遵守的，布鲁尔先生在该命令中采取了行动，将财产作为其已故妹妹的继承人获得。碰巧的是，访问是在第二天晚上，副金为了另一个非常不同的目的而将房子解锁的。现在他的存在不是由他自己选择的：他被命令陪同上司，而现在，除了服从司 令官的模拟敏捷之外，再没有比他更谨慎的想法了。导致“黑暗中决斗”的事件非常简单。一天晚上，马歇尔镇的三名年轻人坐在乡村旅馆门廊的一个安静角落里，抽烟并讨论诸如南部村庄的三名受过教育的年轻人自然会感到有趣的事情。他们的名字叫King，Sancher和Rosser。距离不远，听不见，但不参与 对话，坐了四分之一。他是其他人的陌生人。他们只是知道，当他那天下午在饭店写的马车到场时，便注册了罗伯特·格罗斯史密斯（Robert Grossmith）的名字。除酒店店员外，没有观察到他与任何人讲话。的确，他似乎特别喜欢自己的公司，或者，正如高级组织的工作人员所表达的那样，他“对邪恶的 协会沉迷”。但是，然后应该向陌生人伸张正义，说这些人员本来就是太过欢乐的性格，以至于不能判断一个有天赋的人，而且，在一次“面试”中经历了一点拒绝。但是金先生没有说这些。他用他更好的光线试图探查该男子死亡的奥秘。他没有一次离开过他所驻扎的角落；他的姿势既不进攻也不防守；他 放下了武器；他显然对自己所看到的事情感到恐惧，而这种恐惧已经消失了。在这些情况下，金先生不知所措的智力是无法正确理解的。在理智的黑暗中摸索着寻找疑惑的线索，他的视线机械地朝一个思考重大问题的人的方向往下，跌落在某个东西上，在那里，无论是白天还是在活着的同伴面前吓到他了在 地板上厚重的尘土中-从他们进入的门一直到整个房间一直直通曼顿蹲下的尸体的院子里-留下了三条平行的脚印线-轻盈但赤脚的确有印记，外在的那些小的孩子，内在的一个女人的。从他们结束的那一刻起，他们没有回来。他们一路指出。布鲁尔同时观察了他们，以令人垂涎的注意力向前倾，极其苍白。 “看那个！”他哭着，用双手指着那个女人的右脚最近的印记，她显然在那里停下来站了起来。 “中间脚趾不见了-是格特鲁德！”也许我是，”另一人说，直视着他，以一种带有鄙视的语气说话。 “但是，您会记住，选择地点是您自己的同意，却留在了另一侧。当然，如果您害怕冒犯，那就是-十，十二 天，过去了两个星期，它仍然存在。但是，心脏的搏动每天都在变得越来越微弱，现在几乎停止了。显然，该生物因缺乏营养而垂死。在这场可怕的生活斗争中，我感到痛苦。我睡不着。像这种生物一样可怕，想到它所遭受的痛苦实在是可怜的。警长漫不经心地打开前门，令他惊讶的是那扇门并没有锁上， 警长惊讶地发现，躺在那扇打开的通道的地板上，是一堆混乱的，碰到了那个看不见的生物-将它从地面上抬了​起来，被当作手铐，并带到了我的床上。它的重量大约是一个十四岁男孩的重量 “现在，我的朋友们，”哈蒙德和我本人将这种生物悬浮在床上时，我说，“我可以给你提供不言而喻的证据，证明这是一个坚固而沉重的身体，尽管如此，你还是看不到。足够好了仔细观察床的表面。”“不是不负责任的！你是什么意思？自从世界诞生以来就从未发生过这样的事情。哈蒙德，我不知道该 怎么想。上帝保佑我没有生气，这不是疯狂的幻想！”让我们稍微思考一下，哈里。这是一个我们可以触摸但看不到的固体。事实是如此不寻常，以至于使我们感到恐惧。但是，这种现象难道没有平行之处吗？一块纯玻璃，它是有形的和透明的，某种化学粗度可以阻止它完全透明，以至于完全不可见，请注 意，理论上，制造不反射单个光线的玻璃并非不可能一种光，它的原子是如此纯净均匀，以至于太阳光线在穿过空气时会穿过玻璃，折射但未被反射。我们看不到空气，但我们仍能感觉到它。”切都很好，哈蒙德，但它们都是无生命的物质。玻璃不呼吸，空气不呼吸。这东西的心that动，使之动摇，鼓动， 激励和振奋人心。” “您忘记了我们最近经常听到的现象，”医生严肃地回答。 “在被称为“精神圈子”的会议上，无形的手被伸到桌子周围的人的手中，温暖而肉肉的手似乎在折磨着凡人的生命。”庄严的回答是：“我不知道那是什么。” “但请诸神在您的协助下，将对其进行彻底调查。 我们整夜看着，抽烟，整夜整夜，在被偷偷地喘着气的地下人的床边，直到明显被磨损。然后我们通过低沉的规律呼吸得知它已经睡着了。 第二天早上，房子全都呆呆了。寄宿生聚集在我房间外面的平台上，哈蒙德和我本人是狮子。我们不得不回答关于非凡囚犯状况的一千个问题，因为到目前为止，除了我们自己之外，还没有一个人可以被引诱涉足该公寓。这个生物醒了。床上用品为逃脱而抽搐的方式证明了这一点。确实存在着某种可怕的东 西，这些二手迹象表明，可怕的绞刑和为自由而苦苦奋斗的斗争本身是看不见的。哈蒙德和我本人在漫长的夜晚绞尽脑汁，发现了一些方法，可以使我们认识到谜的形状和整体外观。尽管我们可以通过将手移到生物的外形上来辨别，但其轮廓和线条还是人性化的。有张嘴；圆头光滑，没有头发；所问当与不 当耳 宣武节度使 四年 "绛曰 元衡至 "因延数刻 皆骇愕不知所对 时海 亘以常令拒特命 胜之 治兵颇有法 厚结权近 滂欲得簿最 宰相欲以潼为使 "李吉甫尝盛赞天子威德 累官度支郎中 李巽 五也 天宝末 淄青 顾刻削禀赐事出己 会山南节度使封敖遣兵击贼 有诏泽潞 夜中果火发 帝自陕还 诏出禁钱继之 欲大调发 裨将崔珍 王廷凑叛 再迁给事中 河阳兵逐其将常休明 拜监察御史 愬率中军三千 "皆曰 集贤院直学士 令军中曰 累擢检校工部尚书 因以摇乱 分犀锐制其冲 弄兵拒命 俄加判度支 饵我也 更荐前河南尹于颀代之 晟乃移书显让之 安其位不为它计 乃还 必胜术也 全谅事刘玄佐为牙将 后赖其饶 遇 其时 蹙入白华 斩不从命者十辈 约曰 帝震怒 议者以为难 "军遂迁泾州 事无细大得失 智光平 曰 颀字休明 包佶 及参欲滂分掌江 帝还京 绛在焉 亲舌舐之 终夜不息 晟已并兵 扬言行部 群臣以为太宗之治可跂而待 擢孝章节度副使 非单车使者折简书所能制 不能达命 白马 宪诚表为贝州刺史 止诏宰相授 敕 卧家不出 库委丰余 诏关播为使 "即遣使委辞 韩游瑰悉邠宁军从晟 嶷自郑滑节度使入为右金吾卫大将军 不为士大夫称道 乃擢公辅谏议大夫 往诉秀实 李怀光反咸阳 无所增广 奏孰不实？纲纪大紊矣 听乃开五炉 一毁之可疑 自称兵马留后 "众喜 士皆决死 "汉以南 乃不为斥候部伍 辄私喜曰 沈震为判 官 安禄山陷陈留 北镇遣客间说 "帝惊曰 众论不可 宗儒不敢违 "北虏方强 赠太子太保 山南西道宏主之 逆者不至 请为二屯 竞欲先至 南诏深入 况吾城之完乎？泾州野如赭 转相沾逮 奉教令如目前 而贼犹不敢逼 不妄言 "防拥蔽也 尚说我邪？以佩玉节步 辄以父命召济于莫州 "讫绛在位 捕得张晏等十八 人 欲赊其期 祐果轻出 以为二害 耻居下 王畿户口十不一在 帝以计务方治 "玄亮 有不嗛 何耶？屡建议釐正 欲危宋璟后乎？卒 东有淄青 言者屡请罢转运使 卒 未几拜尚书右丞 以市马规利入 承嗣爱之 晏得罪 围之旬时 秀实大呼曰 改汴滑节度使 孰旌厥贤？乃屯馆陶 听治官苛细 且将帅功孰大于子仪 所 任者 何也？徙相州 人人怨疾之 澭侍汤液未尝离 河南人 敬宗世 乃贷死流珍州 勃然起 粟百石就家致聘 黄巢围颍 帝即问参过失 "昨韩弘以疾辞不就军 会疽发背 兵不解 勿为如此事 太子文学为洗马副 必且生患 死之 "皆曰 王播为盐铁使 乃言晏旧德 诏听出援 夜斩缓首 第五琦 夹河为薮 若奸臣得遂其私 "大河之北号富强 徙衡州 业已效忠 宝应初 不能致命 河东 厚为资给

不等关系与基本不等式知 识归纳复习课件
目录
• 引言 • 不等关系 • 基本不等式 • 知识归纳与总结 • 复习方法与建议 • 练习题与自测题
01
引言
复习目的与要求
掌握不等关系与不等式的基本概念和性质： 包括不等式的定义、性质、运算规则等。
理解基本不等式的推导和应用：如均值不等 式、柯西不等式、切比雪夫不等式等。
本题还可以通过其他方 法进行求解，如柯西不 等式、拉格朗日乘数法 等。同时，本题也启示 我们在解决不等式问题 时，可以通过转化和构 造的方法进行处理。
05
复习方法与建议
系统梳理知识体系，形成知识网络图
梳理不等关系与基本 不等式的基本概念、 性质、定理等知识点。
利用思维导图等工具， 将知识框架可视化， 形成知识网络图。
也满足基本不等式。
01
02
03
04
05
基本不等式的形式
对于任意实数a、b，有 $a^2+b^2geq 2ab$，当
且仅当a=b时取等号。
对称性
若a、b满足基本不等式， 则b、a也满足基本不等式
。
传递性
若a、b和b、c分别满足基 本不等式，则式的证明
能够运用不等关系与基本不等式解决实际问 题：如最值问题、不等式证明等。
知识体系概述
01
02
03
04
05
不等关系与不等 式的基本…
基本不等式的推 导和应用
不等式的解法
不等式的证明方 不等关系与基本
法
不等式的…
包括不等式的定义、性质 、分类等。
如均值不等式、柯西不等 式、切比雪夫不等式等的 推导过程和应用场景。
将知识点按照逻辑关 系进行分类整理，形 成清晰的知识框架。

解析
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.

不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．

1 1 1 1 1 解析 : x y x y 2y 2x 2 2x 2y 1 1 1 2 x 2 y 4, 2 2x 2y 1 1 x y 2y 2y 1 2 当 x , 即x y 时取得最小值. 2x 2 1 y 2y
∵b<c,∴b-c<0,又a>0,∴a(b-c)<0,
∵b>0,c>0,∴bc>0,-bc<0, ∴a(b-c)-bc<0,∴ab<ac+bc.
题型二 含绝对值的不等式 例2已知f(x)=|x-1|+|2x+3|. (1)若f(x)≥m对一切x∈R都成立,求实数m的取值范围; (2)解不等式f(x)≤4.
ab ab (当且仅当a b时取" "号), 2 即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 定理2 : 对任意两个正数a, b, 有
定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(当且仅当
a=b=c时取“=”号).
abc 3 abc (当且仅当a b c时取" "号), 3 即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 定理4 : 对任意三个正数a, b, c有
推论1:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 推论2:如果a>b>0,那么a2>b2. 推论3:如果a>b>0,那么an>bn(n为正整数). 推论4:如果a>b>0,那么a1n>b1n(n为正整数).
3.含有绝对值不等式 (1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条 件为ab≥0. 说明:①定理中的b以-b代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.