一个数a的绝对值就是数轴上表示数
的点与原点的距离.数a
a. （距离具有非负性）
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
的绝对值是0.
① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根
.
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
0的绝对值是0.
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负
5.
a的绝对值】
(0)0(0)
0)aaaaaa ②(0)(0)aaaaa ③(0)(0)aaaaa
两个负数，绝对值大的反而小.
0，那么这若干个非负数都必为0.
0abc，则0a，0b，0c
1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
aa，且aa；
2）若ab，则ab或ab；
3）abab；aa
b(0)b；
4）222
|||aaa；
5）||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|
在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
b
在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．
1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数
2）证明绝对值不等式主要有两种方法：
）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；
）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的
添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。
x－2＝ 0，y－3＝0； 即：x=2，y =3；
x+y=5
相反数等于它本身的是 0
倒 数等于它本身的是
1
绝对值等于它本身的是 非负数
非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.
绝对值的非负性；若0abc，则必有0a，0b，0c
若3150xyz，则xyz 。
0， 。
若7
2210
mnp，则23_______pnm＋
先化简，再求值：abbaababba2)
3(223222．
a、b满足0)42(132aba.
1】若a＜0，则4a+7|a|等于（ ）
．11a B．-11a C．-3a D．3a
2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
．1，0 B．正数 C．非正数 D．非负数
3】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ）
．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3
4】若1
x，则x是（ ）
．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
5】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
．1-b＞-b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1-b＞-b
．1+a＞1-b＞a＞-b
D．1-b＞1+a＞-b＞a
6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）
．2 B．2或3 C．4 D．2或4
a0-11【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ） A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6 【例8】若|x+y|=y-x，则有（ ） A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0 C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0 【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ） A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号 【例10】给出下面说法： （1）互为相反数的两数的绝对值相等； （2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若|m|＞m，则m＜0； （4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（ ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4） 【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则 |c-b|-|b-a|-|a-c|= _________
a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。
12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______
|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________
13】计算11111
....
3220072006= ．
14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________
15】已知数,,abc的大小关系如图所示，
()0bac；②0)(cba；③
cbbaa；④0abc；
bcabcba2．其中正确的有 ．（请填写番号）
M=abc
bc，当a，b，c取不同值时，M有 ____
a、b、c都是正数时，M= ______；
a、b、c中有一个负数时，则M= ________；
a、b、c中有2个负数时，则M= ________；
a、b、c都是负数时，M=__________ ．
abc，，是非零整数，且0abc，求abcabc
bcabc的值
ca0b
0
0
xxxxxx，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
12xx时，可令10x和20x，分别求得
2xx，
12，分别为1x与2x的零点值），在有理数范围内，零点
1x和2x可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：
1x时，原式1221xxx
12x≤时，原式123xx
2x≥时，原式1221xxx
211
12
12xxxxx≤≥
1）求出2x和4x的零点值 （2）化简代数式24xx
（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．
2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；
当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6；
当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．
化简
12xx 2. 12mmm的值
523xx． 4. (1)12x；
5.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求
a
ba表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离．
（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2，3与5，
6，4与3.
你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .
若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
.
结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 .
满足341xx的x的取值范围为 .
若1232008xxxxL的值为常数，试求x的取值范围．
、绝对值的最值问题
1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个
最大值是多少？
2个例题，我们需要知道如下知识点：、
）非负数：0和正数，有最小值是0
）非正数：0和负数，有最大值是0
）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0
）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，
-|x+m|≤0有最大值是0
x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0
|x-1|≥0，-|x-1|≤0）
）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n
|x+m|+n≤n，有最大值是n
可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，
|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，
0，则|x-1|+3的最小值是3）
1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？
3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？
4） 当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3
4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3
有最小值是-3
2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
1）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|有最大值是0
2）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|+3有最大值是3
3）当x-1=0时，即x=1时，-|x-1|-3有最大值是-3 总结：根据3）、4)、5）可以发现， 当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值， 有“-”号时，代数式有最大值 .
4 ) 3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2）问一样，即：当x-1=0时，即x=1时，
-|x-1|+3有最大值是3 （同学们要学会变通哦）
x是任意有理数，a和b是常数，则
）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：
x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
-1和2的位置，发现-1和2
将数轴分为5个部分
） 当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
） 当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
） 当-1
） 当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3
） 当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
x<-1时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3
-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=3
x>2时，|x+1|+|x-2|=2x-1>3
|x+1|+|x-2|的最小值是3，此时： -1≤x≤2
x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|的最小值是3
|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范围？一般
|x+1|+|x-2|的常出现解答题中。所
x的取值范
2个零点值之间，且包含2个零点值。
4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题
） 当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
） 当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
） 当-13
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
） 当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
） 当-11
|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
） 当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
） 当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
x<-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
x=-13时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40
-13
-11
x>12时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48
|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11
x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是
-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12
-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小
25 。
先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。
4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
: 回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0
x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
1）当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
3）当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
4）当3
≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
5）当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的
的范围或者取值
x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6
1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4＜2x+8≤6
2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2 4＜2x-2 ＜6
x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6
4，相应的x取值范围是2≤x≤3
处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以
5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
A点-13，B点-11，C点12 设点D表示数x
DA=|x+13| DC=|x+11| DB=|x-12|
C在点A左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC
A与点D重合时，DA+DB+DC=AB+AC＞AC
D在点AB之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BC＞AC
D与点B重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC
D在BC之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD＞AC
D与点C重合时，DA+DB+DC=AC+BC＞AC
D在点C右侧时DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD＞AC
当点D与点B重合时，最小值是AC=12-（-13）=25
x+11=0 x-12=0 |x+13=0
x=-11 x=12 x=-13
-11 ，12 ，-13从小到大排练为-13＜-11＜12
x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是点A（-13）与点C（12)之间
AC=12-(-13)=25
6】
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
的最小值
：
x=1时，|x-1|的最小值是0
1≤x≤2时，|x-1|+|x-2|的最小值1
x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0
2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值4=3+1
x=3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值6=4+2
3≤x≤4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值9=5+3+1
x=4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值12=6+4+2
4≤x≤5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值16=7+5+3+1
x=5时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值20=8+6+4+2
5≤x≤6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值25=9+7+5+3+1
2】：捆绑法
（|x-1|+|x-10|）+（|x-2+|x-9|）+（|x-3|+|x-8|）+（|x-4|+|x-7|）+（|x-5|+|x-6|）
|x-1|+|x-10|的和最小，可知x在数1和数10之间
的和最小，可知数x在数2和数9之间
的和最小，可知数x在数3和数8之间
的和最小，可知数x在数4和数7之间
的和最小，可知数x在数5和数6之间
数x应该在数5和数6之间的任意一个数（含数5和数6
）
2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可
7】（1）已知|x|=3，求x的值
2）已知|x|≤3，求x的取值范围
3）已知|x|＜3，求x的取值范围
4）已知|x|≥3，求x的取值范围
5）已知|x|＞3，求x的取值范围
：绝对值的几何意义是在数轴上数x到原点的距离，
1）若|x|=3，则x=-3或x=3
2）数轴上-3和3之间的任意一个数到原点的距离都小于3，若|x|≤3，则-3≤x≤3
3）若|x|＜3，则-3＜x＜3
4） 数轴上-3左侧和3右侧的任意一个数到原点的距离都大于3，若|x|≥3，则x≤-3
x≥3
5）若|x|＞3，则x＜-3或x＞3
：（1）x=-3或x=3 (2) -3≤x≤3
＜x＜3 (4 ) x≤-3或x≥3
＜-3或x＞3
8】
1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？
2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？
： 从-3到3之间的所有数的绝对值都≤3 所以
1）整数值有-3，-2，-1,0,1,2,3； 和为0
（2）整数值有-2，-1,0,1,2 ；和为0
：(1) ∵ |x|≤3
∴ -3≤x≤3
∵ x为整数
满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3
-3+-2+-1+0+1+2+3=0
∵ |x|＜3
∴ -3＜x＜3
∵ x为整数
满足条件的x值为：-3，-2，-1,0,1,2,3
-3+-2+-1+0+1+2+3=0
1）当a取何值时，代数式（a-3)2 有最小值，最小值是多少？
2）当a取何值时，代数式 (a-3)2+4有最小值，最小值是多少？
3）当a取何值时，代数式(a-3)2-4有最小值，最小值是多少？
4）当a取何值时，代数式-（a-3)2 有最大值，最大值是多少？
5）当a取何值时，代数式- (a-3)2+4有最大值，最大值是多少？
6）当a取何值时，代数式-(a-3)2-4有最大值，最大值是多少？
7）当a取何值时，代数式4- (a-3)2有最大值，最大值是多少？
a是任意有理数时，a-3也是任意有理数，则（a-3)2为非负数，
a-3)2≥0，则-（a-3)2≤0 可以进一步判断出最值
（1）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2有最小值是0
（2）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2+4有最小值是4
（3）当a-3=0，即a=3时，（a-3)2-4有最小值是-4
（4）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2有最大值是4
（5）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2+4有最大值是4
（6）当a-3=0，即a=3时，-（a-3)2-4有最大值是4
（a-3)2可以变形为- (a-3)2+4，可知如（5）相同，即当a-3=0，
a=3时，4-（a-3)2有最大值是4（这里要学会转化和变通哦）
a2即-a2的最值是解决本题的关键
x为未知数，a,b为常数，则
x取何值时，代数式(x+a)2+b有最小值，最小值是多少
x取何值时，代数式-(x+a)2+b有最大值，最大值是多少
1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在
段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四
个汽车
M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？
A、B、C、D、M均在数轴上，与之对应的数为a、b、c、d、x，使M
A、B、C、D距离和最小。
MA+MB=|x-a|+|x-b|，由绝对值的几何意义知
a≤x≤b时，MA+MB值最小，（汽车站A、B到M得距离和=AB）
d≤x≤c时，MC+MD值最小，（汽车站C、D到M得距离和=CD）
d≤x≤c时，MA+ MB+ MC+MD的值最小，(要使A、B、C、D四个
M的路程总和最小)即加油站M应建在线段CD上。
2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左
，上述问题中加油站M建在何处最好？
M应建在A3汽车站．
3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An共n个汽车站（从
，上述问题中加油站M建在何处最好？
n为奇数时，加油站M应建在汽车站处；
n为偶数时，加油站M应建在线段 上。(即此两站之间)
4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。
根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1、2、…、
各点的距离之和最小。
3】的结论，当x=309时，原式的值最小。最小值是
2|+…+|309-308|+0+|309-310|+…+|309-617|
（1）当x取何值时，3x有最小值？这个最小值是多少？
2）当x取何值时，25x有最大值？这个最大值是多少？
3）求54xx的最小值。
4）求987xxx的最小值。
．已知1,1yx，设421xyyyxM，求M 的
、若|1|ab与2(1)ab互为相反数，求321ab的值。
．若1ba与2)1(ba互为相反数，则a与b的大小关系是( )．
A．a>b B．a=b C．a利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x到-3
x> 时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；
x< 时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；
≤x≤ 时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是
，且比⑴、⑵情况下的值都小。
总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。
利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表
示的是x到-7的距离与x到1的距离之差
x≤ 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ；
x≥ 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ；
x 时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。
因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值 ；当x 时，
；
．设0cba，0abc，则的值是（ ）．
．-3 B．1 C．3或-1 D．-3
1
．设cba、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且cba，
accbba可能取得的最大值是 ． cbabacacb
使不等式变为不含绝对值符号
利用定义法去掉绝对值符号
|x|=(0)
0)xxxx，有
x|
0)xcxccxcxRc或
利用不等式的性质去掉绝对值符号
|x|
axb>c或axb<－c；|axb|
于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论
a≤|x|≤ba≤x≤b或－b≤x≤－a”来求解，这是种典型的转化与化归
利用平方法去掉绝对值符号
|x|2=2x
这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时
(式)时，才可以直接用两边平方
利用零点分段法去掉绝对值符号
x，2x，……，nx分别使含有|x－1x|，|x－
x|，……，|x－nx|的代数式中相应绝对值为零，称1x，2x，……，nx为相应绝
x，2x，……，nx将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去
得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式
利用数形结合去掉绝对值符号
利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对
此解法适用于||||xaxbm或||||xaxbm(m为正常数)
||||axbcxdm(或
在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对
解决这类问题的方法通常是利用绝对值
、根据题设条件
1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（ ）。
A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x
x<-1可知x-2<-3<0可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符
2-｜2-｜x-2｜｜=2-｜2-(2-x)｜=2- ｜x｜=2-(-x)=2+x
应选（B）．
:只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝
、借助数轴
2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值
） （A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a
:由数轴上容易看出b
应选（C）．
: 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人
．零点的左边都是负数，右边都是正数．
．右边点表示的数总大于左边点表示的数．
．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问
、采用零点分段讨论法
3：化简 2|x-2|-|x+4|
: 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，
本例的难点在于x-2,x+4的正负不能确定，由于x是不断变
x-2=0得零点：x=2；令x+4=0得零点：x=-4，把数轴上的数分为三个部分
x≥2时, x-2≥0，x+4>0， 所以原式= 2（x-2）-(x+4)=x-8；
-4≤x<2时，x-2<0, x+4≥0，所以原式= -2（x-2）-(x+4)=-3x；
x<-4时，x-2<0, x+4<0，所以原式=-2（x-2）+(x+4)=-x+8；
x-2,x+4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正
．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．
．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内
．在各区段内分别考察问题．
．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．
x,2y等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，
带绝对值符号的运算
如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。
一)、要理解数a的绝对值的定义。
a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a
a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身
二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝
零的绝对值就是零。重点理解的是，当a是一个负数时，
a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是
）。
三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。
当a>0 时， ︱a︱= a (性质1：正数的绝对值是它本身) ；
当a=0 时， ︱a︱= 0 (性质 2：0的绝对值是0) ；
当a<0 时； ︱a︱= –a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。
、对于形如︱a+b︱的一类问题
a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性
当a+b>0 时，︱a+b︱= (a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ；
当a+b=0 时，︱a+b︱= (a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；
当a+b<0 时， ︱a+b︱= –(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。
、对于形如︱a-b︱的一类问题
a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3
a与b的大小即可（不论正负）。
-小︱=︱小-大︱=大-小，
a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。
、对于数轴型的一类问题，
3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b
，便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。
、对于绝对
值符号前有正、负号的运算
、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
0比较，大于0
0的整体前面加负号。
1）设x<-1化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（ ）。
A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x
2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值
）
A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a
3）已知x≥2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是 x-8 。
4）已知x<-4，化简2|x-2|-|x+4|的结果是 -x+8 。
5）已知-4≤x<2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是 -3x 。
6）已知a、b、c、d满足a<-1
7） 若｜-a｜>-a，则有（ A ）。
A）a>0 （B）a<0 （C）a<-1 （D）-1
C ）． （A）2a+3b-c （B）3b-c （C）b+c （D）c-b
9） 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b，b-2a，
，|a|-|b| 中负数的个数是（B ）． （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
化简|x+4|+2|x-2|=
(2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)
设x是实数，y=|x-1|+|x+1| 下列四个结论中正确的是（ D ）。
（A）y没有最小值 （B）有有限多个x使y取到最小值
（C）只有一个x使y取得最小值 （D）有无穷多个x使y取得最小值
1. 若|m－1|=m－1，则m_______1; 若|m－1|>m－1，则m_______1;
2.已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求
a
1：化简代数式 |x-1|
x-1=0，得x=1 （1叫零点值）
x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分
） 当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1
） 当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0
） 当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1
） 当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1
） 当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1
2：化简代数式 |x+1|+|x-2|
x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值）
-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分
） 当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
） 当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3
） 当-1
） 当x=2时，x+1=3，x-2=0，则|x+1|+|x-2|=3+0=3
） 当x>2时，x+1>0，x-2>0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
） 当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1
） 当-1≤x<2时，x+1≥0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3
） 当x≥2时，x+1>0，x-2≥0，则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1
3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是
） 当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
） 当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，
|x+11|+|
x-12|+|x+13|=2+25+13=40
） 当-13
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
） 当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
） 当-11
|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
） 当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
） 当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
）当-13≤x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13≥0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
）当-11≤x<12时，x+11≥0，x-12<0，x+13>0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
）当x≥12时，x+11>0，x-12≥0，x+13>0，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
解:令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
当2≤x＜3时，，x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
先求零点值，之后根据零点值将数轴分成的部分进行分布讨