集合
一、知识点：
1、元素：
（1）集合中的对象称为元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉;
（2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性;
（3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法；
（4）常用数集：R Q Z N N N ;;;;;*+
2、集合的关系：
子集
相等
3、全集
交集
并集
补集
4、集合的性质：
（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂=⋂=⋂φφ
(2) ;,A B B A A A ⋃=⋃=⋃φ
(3) );()(B A B A ⋃⊆⋂
(4);B B A A B A B A =⋃⇔=⋂⇔⊆
(5));()()(),()()(B C A C B A C B C A C B A C S S S S S S ⋂=⋃⋃=⋂
二、典型例题
例1. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。
例2. 已知集合M ＝{}
012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。
例3. 已知集合
},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 \
例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，
5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。
例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，
（1）若Φ=B A ， 求m 的范围；
（2）若A B A = ， 求m 的范围。
例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ⊆A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。
三、练习题
1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ）
A. M a ∈
B. M a ∉
C. a ＝ M
D. a > M
2. 有下列命题：①}{Φ是空集 ② 若N b N a ∈∈,，则2≥+b a ③ 集合}012|{2=+-x x x 有两个元素 ④ 集合},100|{Z x N x x B ∈∈=为无限集，其中正确命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ）
A. M ＝{（3，2）} ， N ＝{（2，3）}
B. M ＝{3，2} ， N ＝{（2，3）}
C. M ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝1}， N ＝{y|x ＋y ＝1}
D.M ＝{1，2}， N ＝{2，1}
4. 设集合
}12,4{},1,3,2{22+-+=+=a a a N a M ，若}2{=N M ， 则a 的取值集合是（ ）
A.
}21,2,3{- B. {－3} C. }21,3{- D. {－3，2} 5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且B A ⊆， 则实数a 的范围是（ ） A. 2≥a B. 2>a C. 1≤a D. 1>a
6. 设x ，y ∈R ，A ＝{（x ，y ）|y ＝x}， B ＝}1|
),{(=x y y x ， 则集合A ，B 的关系是（ ）
A. A B
B. B A
C. A ＝B
D. A ⊆B 7. 已知M ＝{x|y ＝x 2－1} ， N ＝{y|y ＝x 2－1}， 那么M ∩N ＝（ ）
A. Φ
B. M
C. N
D. R
8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x ＝|y|，y ∈A}， 则集合B ＝_________________
9. 若A B },01|{},023|{2
2⊆=-+-==+-=且a ax x x B x x x A ，则a 的值为_____
10. 若{1，2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}， 则A ＝____________
11. 已知M ＝{2，a ，b}， N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N 表示相同的集合，求a ，b 的值
12. 已知集合B,A }02|{},04|{22⊆>--=<++=且x x x B p x x x A 求实数p 的范围。
13. 已知
}065|{},019|{222=+-==-+-=x x x B a ax x x A ，且A ，B 满足下列三个条件：① B A ≠ ② B B A = ③ ΦB A ，求实数a 的值。
四、练习题答案
1. B
2. A
3. D
4. C
5. A
6. B
7. C
8. {0，1，2}
9. 2，或3
10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}
11. 解：依题意，得：⎩⎨⎧==22b b a a 或⎩⎨⎧==a b b a 22，解得：⎩⎨⎧==00b a ，或⎩⎨⎧==10b a ，或⎪⎩⎪⎨⎧==2141b a
结合集合元素的互异性，得⎩⎨
⎧==10b a 或⎪⎩
⎪⎨⎧==
2141b a 。
12. 解：B ＝{x|x<－1， 或x>2} ① 若A ＝ Φ，即 0416≤-=∆p ，满足A ⊆B ，此时4≥p
② 若Φ≠A ，要使A ⊆B ，须使大根142-≤-+-p 或小根242≥---p （舍），解得：43≤≤p
所以 3≥p
13. 解：由已知条件求得B ＝{2，3}，由B B A = ，知A ⊆B 。
而由 ①知B A ≠，所以A
B 。
又因为ΦB A ，故A≠Φ，从而A ＝{2}或{3}。 当A ＝{2}时，将x ＝2代入01922=-+-a ax x ，得019242=-+-a a 53或-=∴a
经检验，当a ＝ －3时，A ＝{2， － 5}; 当a ＝5时，A ＝{2，3}。都与A ＝{2}矛盾。
当A ＝ {3}时，将x ＝3代入01922=-+-a ax x ，得
019392=-+-a a 52或-=∴a 经检验，当a ＝ －2时，A ＝{3， － 5}; 当a ＝5时，A ＝{2，3}。都与A ＝{2}矛盾。 综上所述，不存在实数a 使集合A ， B 满足已知条件。
