高一数学集合知识点归纳及典型例题
一、、知识点：
本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。
本章知识结构
1、集合的概念
集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。
3、集合的表示方法
（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100)
③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…}
●注意a与{a}的区别
●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系
●注意区分“从属”关系与“包含”关系
“从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。
●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算
集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。
一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：
A B A B A A A A A A A B B A =⇔⊆Φ
=Φ=Φ==I I I I I I B B A B A A
A A A A A A
B B A =⇔⊆=Φ=Φ==Y Y Y Y Y Y
U
A C
B B
C A B A A A C C A C A U
A C A U U U U U U =⇔Φ
=⇔⊆=Φ==Y I I Y )(
还要尝试利用Venn 图解决相关问题。
二、典型例题
例1. 已知集合}33,)1(,2{2
2
++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。
解：∴∈A 1Θ根据集合元素的确定性，得：
133,11,122
2=++=+=+a a a a 或）或（ 若a ＋2＝1， 得:1-=a ， 但此时21332
+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。
若1)1(2=+a ，得：2-,0或=a 。但2-=a 时，2
2)1(133+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。
若,1332
=++a a 得：。或－2,1-=a
1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时，时但，都不符合集合元素的互异性。
综上可得，a ＝ 0。
【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。
例2. 已知集合M ＝{}
012|2
=++∈x ax
R x 中只含有一个元素，求a 的值。
解：集合M 中只含有一个元素，也就意味着方程0122
=++x ax 只有一个解。
（1）012,0=+=x a 方程化为时，只有一个解
21-
=x （2） 只有一个解若方程时012,02
=++≠x ax a
1,044==-=∆a a 即需要.
综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝1
【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。
例3. 已知集合},01|{},06|{2
=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 解：由已知，得：A ＝{－3，2}， 若B A ，则B ＝Φ，或{－3}，或{2}。 若B ＝Φ，即方程ax ＋1＝0无解，得a ＝0。
若B ＝{－3}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 31
。
若 B ＝{2}， 即方程ax ＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 21-
。
综上所述，可知a 的值为a ＝0或a ＝31
，或a ＝ 21-
。
【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。
例4. 已知方程02
=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，
5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ=I I ,，试求b ， c 的值。
解：由B C C B C ⊆⇒=I ， 那么集合C 中必定含有1，4，7，10中的2个。 又因为Φ=C A I ，则A 中的1，3，5，7，9都不在C 中，从而只能是C ＝{4，10} 因此，b ＝－（x 1＋x 2 ）＝－14，c ＝x 1 x 2 ＝40
【小结】对C B C C A =Φ=I I ,的含义的理解是本题的关键。
例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ， （1）若Φ=B A I ， 求m 的范围； （2）若A B A =Y ， 求m 的范围。
解：（1）若Φ=B A I ，则B ＝Φ，或m ＋1>5，或2m －1<－2 当B ＝Φ时，m ＋1>2m －1，得：m<2 当m ＋1>5时，m ＋1≤2m －1，得：m>4
当2m －1<－2时，m ＋1≤2m －1，得：m ∈Φ 综上所述，可知m<2， 或m>4 （2）若A B A =Y ， 则B ⊆A ， 若B ＝Φ，得m<2
若B ≠ Φ，则⎪⎩⎪
⎨⎧-≤+≤--≥+1
2151221m m m m ，得：32≤≤m
综上，得 m ≤ 3
【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。
例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ⊆A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。 解：因为x ⊆A ，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A ， 于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A ∈B
三、练习题
1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ） A. M a ∈
B. M a ∉
C. a ＝ M
D. a > M
2. 有下列命题：①}{Φ是空集 ② 若N b N a ∈∈,，则2≥+b a ③ 集合
}012|{2
=+-x x x 有两个元素 ④ 集合
},100
|
{Z x N x x B ∈∈=为无限集，其中正确命
题的个数是（ ） A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
