集合知识点总结及典型例题

第 1 页 共 13 页 集合知识点总结及典型例题

合一、

【课标要求】

1、集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

2、集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；

3、集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二、

【命题走向】

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择第 2 页 共 13 页 题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三、

【要点精讲】

1、集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。 第 3 页 共 13 页 2、集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；

3、全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S

4、交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5、集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。四、

【典例解析】 第 4 页 共 13 页 题型1：集合的概念 (xx湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__答案 ：12解析 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。

例

1、已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )

A、3个

B、2个

C、1个

D、 无穷多个答案 B 解析 由得，则，有2个，选

B、例

2、集合,,若,则的值为 ( )

A、0

B、1

C、2

D、4答案 D解析 ∵,,∴∴,故选

D、

【命题立意】

:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题、题型2：集合的性质例 第 5 页 共 13 页 3、集合,,若,则的值为 ( )

A、0

B、1

C、2

D、4答案 D解析 ∵,,∴∴,故选

D、

【命题立意】

:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题、随堂练习

1、设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x2+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）

A、{2}

B、{3}

C、{－3，2}

D、{－2，3}

2、 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）、分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑、从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想、本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反第 6 页 共 13 页 面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答、解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y

4、已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：∵；∴，即＝0，解得当时，，为A中元素；当时，当时，∴这样的实数x存在，是或。另法：∵∴，∴＝0且∴或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运算例5已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B（1）求集合

A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围、解 （1）A＝B＝（2）由AB＝B得AB，因此所以,所以实数的取值范围是例

6、已知集合,则( )

A、

B、 第 7 页 共 13 页 C、

D、答案 A解析 易有，选A点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例

7、（xx年广西北海九中训练）已知集合M=，N=，则 （ ）

A、

B、

C、

D、答案 C例

8、1、设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有2个元素，求a的取值集合。解：时， ∴∴，∴∴当时，在此区间上恰有2个偶数。

2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，、其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和、若对于任意的，总有，则称集合具有性质、（I）对任何具有性质的集合，证明：；（II）判断和的大小关系，并证明你的结论、解：（I）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个、因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，、从而，集合中元素的个数最多为，即、（II）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，，，且，从而、如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立、故与也是的不同元素、可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，，，且，从而、如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与第 8 页 共 13 页 中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素、可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，、例

9、向50名学生调查对

A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对

A、B都不赞成的学生数比对

A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对

A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A的人数为50=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件

A、B都赞成的学生人数为x,则对

A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对

A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头第 9 页 共 13 页 绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例

10、求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件 的数共有（2002）＋（2003）＋(xx)－(20010)－(xx)－(20015)＋(20030)＝146所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型7：集合综合题例

11、（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。解：由|x－a|<2，得a－2

12、已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}。试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；（2）A∩B至多有一个元