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常见函数极限的求法

常见函数极限的求法

常见函数极限的求法

常见函数极限的求法

（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070）

摘要极限是高等数学最重要的概念之一，也是高等数学的主要运算——微分法和积分法的理论基础，本文用实图论述了求极限的几种方法，介绍了求极限的一些技巧。

关键词常用函数极限求解方法技巧洛必达法则

Common functions to limit

(Northwest Normal University School of Mathematics and Statistics Lanzhou Gansu 730070)

Wan Fang Jun

Abstract Extreme is one of the most important concepts of higher mathematics, major operators are also higher mathematics-the theoretical basis of differentiation and integration with examples of this article discusses several common methods seek limits, limits introduced seeking some tips.

Keywords Common functions Limit Solving methods Techniques

L 'Hospital Rule

第一类数列极限的求法归纳一数列极限的定义

定义 1 设{}n a 为数列。若对任给的数ε，总存在整数N ,使得当N n >时有

,ε<-a a n

则数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作

a a n n =∞

→lim 或n a ).(∞→→n a

定义2任给0>ε，若在);(εa U 之外数列{}n a 中的至多只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a . 二求数列极限的方法

方法一利用数列极限定义求极限 N -ε方法

要点要证明A a n n =∞

→lim ,按定义；0>?ε，

0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，

就是要根据ε找N ，一般有三种方法；

1（等价代换法求最小的额N ）0>?ε，将绝对值不等式ε<-A x n 作等价代替解不等式，解出

).(εN n >

然后令)(εN n =，则N n >时，有ε<-A x n .

2 （放大法）有时ε<-A x n 很难解出n ,只好将表达式A x n -简化、放大,是之成为n 的新函数记作)(n H ；

).(n H A x n <-

于是，要ε<-A x n ，只要ε<)(n H 即可，解不等式ε<)(n H ，求得)(εN n >于是令)(εN n =，则当则N n >时，有ε<-A x n .

3（分步法）有时A x n -特别复杂，无法进行放大简化，只有设定n 已足够大，例如已大过某个数t N ，我们发现当t N n >时，A x n -可简化，放大成)(n H ，即

)(n H A x n <-,

于是解不等式ε<)(n H ，求得)(εN n >,则令{},)(,m ax 1εN N N > 当N n >时，有ε<-A x n .

例1 N -ε法证明11lim =+∞

→n n n .

证明（放大法）0>?ε，要,11ε<-+n n 记11-+=n n α此式可改写成

n n )1(1α+=+

()(),2

12

112

2

a n n a a n n na n

-≥

+++++=Λ

得()()()().4

4

22212122121120n

n n n n n n n n n n a =≤≤-=--++≤-+<

<

（当1>n 时），至此要ε

n 则N n >时，

有ε<=-+a n 11.

例2 设A x n n =∞

→lim （有限数），试证：.lim

证（分步法）当A 为有限数时，

又因A x n n =∞

→lim ，故0>?ε，01>?N ，1N n >时，,2

-A x n 从而上式

X A x N Λ 注意到A x A x N -++-11Λ已为定数，因而,02>?N 当2N n >时，

于是令{},m ax 21N N N -=则N n >时，

?-+<-++n N n A n

要点为了证明A x n n =∞

→lim ，关键问题在于证明A x n -能任意小.为此,一般

来说应尽可能将n x 的表达式简化.值得注意的是,有时n x 虽然不能简化,反倒是可以把A 复杂化,写成与n x 相类似的形式,这种方法称为拟合法.

例3 设0→x 时,().12,1

i n a n i f x x x f 试证().0lim >=∞→a a x n n

证注意到()12121112311222

12==??? ??-+?=-+++=-∑=n n n n n n n n

i Λ，所以a n i a n

2,从而 =-a x n ∑∑==--??? ??-n

i n i a n i n i f 11221

∑=--??? ??-≤n i a n i n i f 1

若我们能证明n ,0>?ε分大时,

212222n i n i a n i a n i f Λ=-<--??

（1）式有端.1

i n i 问题获证.要证明(2)式,亦即要证明

i a n i f ε<--??? ??- 事实上,因为()x x f -（当0→x ）,因此,0,0>?>?δε当δ<

<- 于是,令,2δ

20 ().,,2,1n i Λ= 从而按()4式有()3式成立.

方法二用Cauchy 准则求极限

Cauchy 准则数列{}n x 收敛N n m N >>?>??,,0,0当ε时,有

().0,0>?<->>??<-+p x x N n N x x n p n n m εε时，当

Cauchy 准则的优点是没有必要事先知道极限的猜测值.A

sin 22sin 21sin 2n n n

x +++=Λ试证{}n x 收敛.

p n n n n p n x x +++++++≤-2

,1212111212121121111n n n p n <=????

+-+Λ (){}n n p n x p x x N n N n ,0,,1,10>?<->=??

??<>?+εεεε有时则故令收敛,获证.

方法三利用单调有界原理求极限

单调有界原理:设数列{}n x 递增有上界,则n n x ∞

→lim 存在且有{}n n

n n x x sup lim =∞

→,或设数列{}n x 递减有下界则n n x ∞

→lim 存在且有{}.inf lim n n

n n x x =∞→

例 5 证明数列()ΛΛ,2,1ln 1

x n 单调递减有界,从而有极限().,C Euler 下记为常数此极限为

证明利用不等式

-+n n n n n x x n n 故{}n x 严格单调递减. 又因

11ln 111ln 1122332

????????? ??+-=?

?? ?????--?--?--=∑∑∑∑-=-===n

k k n n n n n n k

即{}n x 有下界.{}n x 单调递减有下界故n n x ∞

方法四利用数列与子列的极限关系求极限数列与子列有如下极限关系

().时当有子列时当∞→→??∞→→k A x x n A x k k n n n

例6 试证.lim ,lim lim 122a x a x a x n n n n n n ==?=++∞

证明只需证明充分性,按已知条件

.,0.,0,01222211εεε<->>?<->>?>?+a x N n N a x N n N n n 时当又时当于是令

{},12,2m ax 21+=N N N

则N n >时恒有.ε<-a x n 故.lim a x n n =+∞

方法五利用数列极限的运算性质求极限数列极限的运算性质

若{}n x 与{}n y 为收敛子列,则{}{}{}n n n n n n y x y x y x ?-+,,也都是收敛数列,且有

lim lim lim n n n n n n n n n n n n n n y x y x y x y x ∞

→∞→?=?±=±

特别当n y 为常数c 时有

lim lim n n n n n n n n x c cx c x c x ∞

若再假设0≠n y 及0lim ≠∞

?????n n y x 也是收敛数列,且有 .lim lim lim n

n n n n y x y x ∞

→∞→∞→= 例7 举例说明无穷多个无穷小量之积可以不是无穷小量.

解如下数列均是无穷小量:

,,61,5,1,1,1,1;

,,61,51,4,1,1,1;

,1,,61,51,41,3,1,1;,1,,61,51,41,31,1,1;,1,,61,51,41,31,21,1432ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn

n n 但将它们对应项连乘起来取极限,得到一个新数列,此数列为

.,1,,1,1,1,1,1,1ΛΛ

该极限为1,不是无穷小量.

方法六利用已知极限求极限

要点在知道一些简单函数或特殊函数的极限的情况下,我们可以再求极限的过程中,把一些复杂的函数化成这些简单函数或特殊函数的形式,利用这些函数的极限,可以较容易的求出复杂函数的极限.

例8 求极限().0,02lim ≥≥???

??+∞→b a b a n

n n n 解由于当∞→n 时,

(),ln ln 111111∞→+=-+-n b a n

1111211211∞→+=?

? ??-+n b a n b n

a b a n n n n n 故

b a b a n b a n n n n

???????????????????? ??-++=???

??-+-+∞→∞→

方法七利用变量替换求极限

为了将未知的极限简化,或转化为一直的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程转化为新的极限过程.

例9 若,lim ,lim b y a x n n n n ==∞

y x y x y x n n n x =+++-∞→Λ

证明令,,n n n n b y a x βα+=+=则∞→n 时，0,→n n βα. 于是

y x y x y x n n n n n n n n n n n βαβαβααααββββαβαβα++++++++++++=+++++++++=+++---ΛΛΛΛΛ

当∞→n 时，第二三项趋近于零,现证第四项极限亦为零.事实上，因0→n a （当∞→n 时）,故{}n a 有界,即0>?M ,使得()N M a n n ∈?≤故

121→+++≤+++--n

n n n n n ββββαβαβαΛΛ

y x y x y x n n n 1

121+++-Λ以ab 为极限.

第二类函数极限求法归纳

一函数极限的定义

定义1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数，若对任给的,0>ε存在正数()a M ≥,使得当M x >时有

则称函数f 当+∞→x 时以A 为极限,记作

→lim 或()().+∞→→x A x f

定义 2 设函数f 在点0x 的某个空心邻域()δο';0x U 内有定义,A 为定数.若对任给的0>ε,存在正数()δδ'<,使得当δ<-<00x x 时有

则称函数f 当0x x →时以A 为极限.

定义 3 设函数f 在()δο'+;0x U 或()δο

'-;0x U 上有定义,A 为定数.若对任

给的0>ε,存在正数()δδ'<,使得当0000x x x x x x <<-+<<δδ或时有

则称A 为函数f 当x 趋于-

0x x 或时的右或左极限,记作 ()()??

? ??==-+→→A x f A x f x x x x 00lim ,lim . 或

+→→→→x x A x f x x A x f

右极限与左极限统称为单侧极限.f 在点0x 的右极限与左极限又分别记作

()()()().lim 0lim 00

00x f x f x f x f x x x x -+→→=-=+与

二求极限的方法

方法一利用函数极限的定义求极限 ⑴ 利用定义1求极限. 例1 证明.01

证明任给时有，则当取M x M >=>ε

,1101ε=<=-M x x 所以.01

x ⑵利用定义2求极限.

x x x f 证明().4lim 2=→x f x 证明由于当2≠x 时,

42-=-+=---=-x x x x x f

故对任给的,0>ε只要取,εδ=则当δ<-<20x 时,有(),4ε<-x f 这就证明了

⑶利用定义3求极限.

例3 讨论函数21x -在定义区间端点1±处的单侧极限. 解由于1≤x ,故有

时即则当<<-<-<=

x x δδεδε<-21x 成立.这就推出

=--→x x 类似的可得()

方法二利用两边夹准则求极限

要点当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量做适当的放大和缩小,使放大和缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同.则原极限存在且等于此公共值.

在函数极限的性质中有迫敛性:()(),lim lim 0

A x g x f x x x ==→∞

→且在某()δο';0x U 有

()()()().lim ,0

A x h x g x h x f x x =≤≤→

例4 求.1lim 0

111≤??????<- ().0时≠x

由此当0>x 时,

???→x x x 例5 利用迫敛性求函数极限4

解因(){}()∞+∈?≤≤->=∞+∞→U x x x x U x ,1sin 1,5|,知由有

x x x x x 由于

,04lim 4lim 22=-=??

--∞→∞→x x x x x x 所以04

方法三利用Taylor 公式求极限

要点设()x f 在0x x =点具有n 阶导数,则()x f 在0x x =点的Taylor 公式为

()()()()()()()().,!

00000x x x x n x f x x x f x x x f x f x f n n →-++-''+-'+=Λ 特别,当00=x 时,上述公式称为()x f 的迈克劳林公式.

()()()()()()()()

!200020→+++''+'+=x x x n x f x x f x f f x f n n

n οΛ 例6 求极限()

.sin cos 112lim 22

e x x x x x -+-+→ 解

124112381sin cos 112lim 4

-+-+→x x x x x x x x e x x x x x οοο 方法四利用极限的四则用算法则求极限极限的四则用算法则: 若()()则B x g A x f x x x x ==→→0

①()()[]()()B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→0

②()()[]()()B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→0

A x g x f x g x f

B x x x x x x ==≠→→→0

0lim lim lim ,0则若

④()()cA x f c x f c x x x x =?=?→→0

lim lim ()为常数c .

22+++→x x x x 解由于()064lim 2

54252324lim 53lim 4

+++=+++→→→x x x x x x x x x

方法五利用洛必达法则求极限

要点此方法适用于0

型不等式极限若函数f 和g 满足: ⑴()();0lim lim 0

==→→x g x f x x x x

⑵在点0x 的某空心邻域()0x U ?内两者都可导,且();0≠'x g ⑶()()

()则或可以为实数也可以为,lim

∞+∞-=''→A A x g x f x x ()()()()

.lim lim 00A x g x f x g x f x x x x =''=→→ II

型不等式极限若函数f 和g 满足: ⑴()();lim lim 0

∞==++→→x g x f x x x x

⑵在点0x 的某空心邻域()0x U ?

+内两者都可导,且();0≠'x g

()则或可以为实数也可以为,lim

∞+∞-=''→A A x g x f x x

A x g x f x g x f x x x x =''=→→

16lim 23232+------→x x x x x x x 的极限.

12102652062103lim 12

223223232++-+=++--=+++--+=++++----=+------→-→-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

由于02≠+x ,所以分子分母同约去非零因式2+x ,得

2223232-=+-=++-+=+------→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x

方法六利用换元法求极限

要点如果一个函数的解析式比较复杂时,可采用换元的方法加以变形,使之简化变得易求.

解令().0,0,1ln ,1→→+==-u x u x u e x 时且当则则

1ln lim 1211ln lim

+=-→→→u u u u x e x x x x 方法七利用微分中值定理求函数极限

要点微分中值定理是一系列中值定理的总称,时研究函数的有利工具,它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理等.

例11 计算.13arctan 3arctan lim 2??? ?

+-∞→x x x x 解设(),3

x f =则在[]1,+x x 上()x f 连续,在()1,+x x 内可导.于是使

用微分中值定理可得

()()∞→∞→+-=-+=+∈?ξξξξ则x x x f x x ,333arctan 13arctan

333lim 13arctan 3arctan lim 2222=????

→∞→ξξξx x x x

第三类求多项式函数极限的方法一求()x p a

x →lim 其中()x p 为多项式函数.

要点利用函数连续性直接代值,()().lim a p x p a

=+?-?=+-→x x x .

()()x Q x P x Q x P a x ,lim 其中→均为多项式函数,且当x 趋近于a 时,()x Q 不

要点利用函数连续性直接代值,()()()()

a Q a P x Q x P a x =→lim

5lim 220-+++→x x x x x .

20-=-+++=-+++→x x x x x . 三求()()

()()x Q x P x Q x P a x ,lim

其中→均为多项式函数,且当x 趋近于a 时,()x P 与()x Q 均趋近于0.

要点将分子分母因式分解,消去零因子.

5lim 222-+++-→x x x x x .

2222-+++++=-+++-→-→x x x x x x x x x x .

-+=-→x x x 四求()()

()()x Q x P x Q x P x ,lim

其中∞→均为多项式函数,且x 趋近于∞. 要点将分子分母同除以x 的最高次幂.

5lim 22-+++∞→x x x x x .

010********lim 2

-+++=-+++∞→∞→x x x x x x x x x x

一般地,对于求()()

()()()∞∞→趋近于且均为多项式函数其中x x Q x P x Q x P x ,,lim

,当分子的次数高于分母的次数,该函数极限不存在;当分子的次数低于于分母的次数,该函数极限为0;当分子的次数等于分母的次数,该函数极限等于分子分母的最高此项的系数之比.

第四类定积分极限求法归纳一定积分及极限的定义

定积分设函数()x f 在闭区间[]b a ,上有定义,在闭区间[]b a ,内任意插入1-n 个分点将[]b a ,分成n 个区间[]i i x x ,1-,记()[],,,2,111---∈?=-=?i i i i i x x i x x x ξΛ做乘积()i i x f ?ξ,把这些乘式相加得到和式()∑=?n

i i i x f 1ξ,设{}n i x i ≤≤?=1;m ax λ,若

lim ξλ极限存在唯一且该极限值与区间[]b a ,的分法及分点i ξ的取法无关,

则称这个唯一的极限值为函数()x f 在[]b a ,上的定积分,记坐()?b

()()∑?=→?=n

否则称()x f 在[]b a ,上不可积.

一应用定积分求极限

要点如果函数()x f 在区间[]b a ,上连续,将区间[]b a ,进行n 等分, 且

()()()()∑?-∞→=--=????

???---∈n i b a i n i i dx x f f n a b n a b x a b n i a b n i 1

lim ,,,1ξξ那么. 例1 .1sin 2sin sin 1lim ??

??-+++∞→πππn n n n n n Λ 解

.1sin lim sin 1lim 1sin 2sin sin 1lim

1n n i n i n n n n n n n

i n n i n n ???? ??==??

??-+++∑∑=∞

→=∞→∞→πππππΛ

则上式可以看作()x x f πsin =在[]1,0上的一个积分和,它是把[]1,0分成n 等分.i

???-n i n i ,1的右端点()??? ??==πξξn i f n i i i sin ,即构成的积分和,由定积分定义可得

∑=∞→∞→=??

? ??-+++n i n n n i n n n n n n 1

sin 1lim 1sin 2sin sin 1lim

三 Heine 归结原理

⑴ 设f 在()δο

';0x U 内有定义,()x f x x 0

lim →存在的充要条件:对任何含于

()δο';0x U 且以0x 为极限的数列{}n x ,极限()n n x f ∞

→lim 都存在且相等.

⑵ 利用Heine 归结原理证明函数极限的存在性.

要点如果存在两个数列{}{}n n

x x ''',,有00lim ,lim x x x x n n n n =''='∞

→,且00,x x x x n n

≠''≠',但()()n n n n x f x f ''≠'∞

→lim lim ,则()x f 在0x 处极限不存在. 用归结原理证明单调函数的单侧极限存在定理.

若函数()x f 在()b a ,有定义,且单调增加,则(),,0b a x ∈?极限

()()()()x f x f x f x f x x x x +-→→=+=-0

lim 0,lim 000都存在,且

()()().00000+≤≤-x f x f x f

证明在()0,x a 内任取单调增加数列{},n a 且,,lim 00x a x a n n n ≠=∞

→由于()x f 在

()b a ,内是单调增加的,所以数列(){}n a f 也是单调增加的,且有上界()0x f ,由单调

有界定理可知数列(){}n a f 收敛,设()l a f n n =∞

()(),0x f l a f n ≤≤

根据归结原理得

lim ,lim 0x f l x f x f x f x x x x ≤==---→→且存在.

x f x f x f x f x x x x ++→→≤=+0

lim ,lim 000且存在.

从上面证明过程可知,在证明某一极限存在时,我们可以根据归结原理去寻找任意一个数列,使它满足都以a 为极限且与它们对应的函数系列的极限都存在来证明函数极限的存在.

以上求函数的方法是一些函数极限最基本且常用的方法,在不同的函数类型

条件下所采用的技巧是各不相同的,对于找到解决问题的方法是至关重要的.极限的求法虽有一定的规律可循,但也绝不能死搬硬套,因为有的题目可能有多种解法,因此只有不断摸索、总结领悟各种方法的精髓,才能更能的掌握极限的求法.

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[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第二版）[M].高等教育出版社,2006.

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[7] 赵士元.求函数极限的方法[J].专业研究.

[8] 惠丽萍.浅析高等数学中求函数极限的方法[J].高等教育.

求函数极限的方法和技巧

求函数极限的方法和技巧在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义：例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质：若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x

求函数极限的方法

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数）上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,

例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型）例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：

求函数极限的方法与技巧

求函数极限的方法与技巧《数学分析》是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科.极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位. 灵活、快捷、准确地求出所给函数的极限，除了对于函数极限的本质有较清楚地认识外，还要注意归纳总结求函数极限的方法，本文对技巧性强、方法灵活的例题进行研究，进一步完善求函数极限的方法与技巧，有利于微积分以及后继课程的学习. 1基本方法 1.1利用定义法求极限从定义出发验证极限，是极限问题的一个难点.做这类题目的关键是对任意给定的正数ε，如何找出定义中所说的δ. 一般地，证明0 lim ()x x f x A →=的方法为：0ε?>，放大不等式0()f x A x x αε-<<-，若 22111212 2132133213 x x x x x x x x ε---+-=-=<<--++. (限制x ：011x <-<，则211)x +>，取=min{3,1}δε，则当01x δ<-<时，便有 22 112 3 321x x x x ε---<<--. 定义中的正数δ依赖于ε，但不是由ε所唯一确定.一般来说，ε愈小，δ也愈小.用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先要猜测极限值A ，然后再证明，这一般不太容易，所以对于其它方法的研究是十分必要的. 1.2 利用左、右极限求极限 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==. 例2 设tan 3,0()3cos ,0 x x f x x x x ?? 求0 lim ()x f x →.

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim

极限的常用求法及技巧.

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。 1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )() () (=，这

求极限方法总结

求极限方法总结为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法首先他的使用有严格的使用前提必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死必须是 0比0 无穷大比无穷大当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以。例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法

设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求：当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1 左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1 f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，所以a ＝-1＝b+1，所以a ＝-1，b ＝-2 7.利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-．解由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-，而 ()sin ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→，()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=．注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x → ，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==，则得到的式错误的结果．附常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→， ()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α α+-?→． 8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限．用此种方法求极限要求在

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

高等数学求极限的16个方法汇总

假如高等数学是棵树木的话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面：首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。极限分为一般极限,还有个数列极限,(区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种)。解决极限的方法如下： 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数

形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

求二元函数极限的几种方法

11 1.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法利用二元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解：因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→．解：因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．

22 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→．解：原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．

函数极限的求法

序言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十二种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。一、函数极限的定义定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作 +∞ →x lim f(x)=a 或f(x )→a(x →+∞)。定义二：若当x 无限接近0x 时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向0x 时，函数f （x ）趋向于a ，记作0 x lim →x f(x)=a 或f(x) →a(x-0x )。二、函数极限的求法下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法： 1、直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。例1：求1 35 2lim 22+-+→x x x x 分析：由于 2lim →x (22x +x-5)=22lim →x 2x +2lim →x x-2 lim →x 5=2·22+2-5=5,

函数的极限的求解方法

函数的极限的求解方法摘要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限．关键词：零因子：初等法：两个重要极限：等价无穷小：等价无穷小替换：函数的连续性：Hospital L '法。引言极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想. 函数的极限主要表现在两个方面：一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点（一）“0x x →”形：定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时）注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ，即),(0δ∧ ∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些. 2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.

求函数极限的方法和技巧

求函作者: 黄文羊摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义例: 用极限定义证明: 12 23lim 2 2 =-+-→x x x x 证: 由 2 4412 232 2 -+-= --+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 232 x x x 由函数极限δε-定义有:

12 23lim 2 2 =-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x = = →→→) (lim )(lim ) ()(lim （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数）上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 453lim 2 2 +++→x x x x 解: 4 53lim 22 +++→x x x x = 2 54 25 2322 = ++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →）例: 求12 1672016lim 2 3 2 32 +++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65)2062(103lim 2 2 3 2 2 32 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2()103)(2(lim 2 22 +++--+-→x x x x x x x

确定函数极限的常用方法

确定函数极限的常用方法内容摘要在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。关键词：函数，求极限，基本方法

Common method to determine the limit of function Abstract In mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability. keyword：Function, Limit, The basic method

目录一、引言 (1) 二、函数极限的基本知识 (1) （一）函数极限的定义 (1) （二）函数极限的性质 (1) 三、函数极限的基本解法 (2) （一）定义法 (2) （二）利用极限四则运算法则 (2) （三）利用迫敛性定理求极限 (3) （四）利用两个重要极限求极限 (3) （五）利用左右极限求极限 (4) （六）幂指函数求极限 (4) 四、函数极限的微积分解法. (5) （七）利用无穷小量求极限 (5) （八）利用洛比达法则求极限 (7) （九）利用单调有界准则求极限 (9) （十）利用中值定理求极限 (10) 五、小结 (11) 参考文献 (11) 致谢 (11)

(完整word版)数学分析求极限的方法

求极限的方法具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为：令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x

函数极限的求法(正文).

目录 0.引言 (1) 1.函数极限的定义 (1) 2. 一元函数极限的求法 (3) 2.1 利用函数极限定义求极限 (3) 2.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限 (4) 2.3 利用迫敛性求极限 (4) 2.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限 (5) 2.5 利用洛必达法则求解 (6) 2.6 利用函数的连续性质求解 (7) 2.7 利用等价无穷小量代换求解 (8) 2.8 利用导数的定义求解 (8) 2.9 利用泰勒公式求极限 (9) 2.10 利用微分中值定理求极限 (10) 2.11 利用积分中值定理求极限 (10) 2.12 利用瑕积分的极限等式求极限 (11) 3. 二元及多元函数极限的解法 (11) 3.1 利用二元函数的连续性求解 (12) 3.2 利用极限的运算法则求解 (12) 3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解 (12) 3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解 (13) 3.5 利用恒等变形法求解 (13) 3.6 利用两个重要极限求解 (14) 3.7 利用等价无穷小代换求解 (15) 3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解 (16) 3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限 (16) 3.10 利用极坐标变换求解 (17) 3.11 利用二元函数的泰勒展式求解 (17) 4. 总结 (18) 致谢 (18) 参考文献 (20)

函数极限的求法 0.引言极限描述了数列和函数在无限变化中的一种趋势，它体现了从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的数学思想。在数学分析和微积分学中，极限的概念占有重要的地位并以各种形式出现且贯穿全部的内容。极限理论又是研究连续，导数，积分，级数等的基本工具，是微积分的理论基础。极限的计算在解决许多实际问题中不可缺少。因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分学的关键一环。对于如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是让绝大多数学生较为头痛的问题。我们如何在准确理解极限的概念、性质和极限存在条件的基础上，灵活巧妙的运用各种不同的方法解决有关极限的实际问题。本文针对一元函数和二元函数极限，对它们的求解方法进行了归纳总结。 1.函数极限的定义定义1 设函数)(x f 在),(0ηx U o (0x 的空心η邻域)内有定义,A 为一个确定的常数, 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ, 使得当δ<-<00x x 时, 都有ε<-A x f )(, 记作:A x f x x =→)(lim 0 或)()(0x x A x f →→, 称)(x f 当 0x x →时以A 为极限. 或简单地写成: 0lim ()0,0x,0, (). x x f x A x x f x A εδδε→=??>?>?<-<-<，使得当时总有定义2 设函数)(x f 在()δ,00x U +（或()δ,00 x U - ）内有定义,A 为定数, 若对任给的0>ε, 存在正数δ, 使得当δ+<<00x x x （或00x x x <<-δ）时有 ε<-A x f )(, 则称数A 为函数)(x f 当x 趋于+0 x （或- 0x ）时的右(左)极限.

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