序言
极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十二种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。
一、函数极限的定义
定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作
+∞
→x lim
f(x)=a 或f(x )→a(x →+∞)。
定义二：若当x 无限接近0x 时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向0x 时，函数f （x ）趋向于a ，记作0
x lim →x f(x)=a 或f(x) →a(x-0x )。
二、函数极限的求法
下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：
1、直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。
例1：求1
35
2lim 22+-+→x x x x
分析：由于
2lim →x (22x +x-5)=22lim →x 2x +2lim →x x-2
lim →x 5=2·22+2-5=5,
2
lim →x （3x+1）=32
lim →x x+2
lim →x 1=3·2+1=7
所以采用直接代入法。
解：原式=
)
13(lim 5x x 2lim 2
22
x +-+→→x x ）
（=1
2352222+⋅-+⋅=75
2、利用极限的四则运算法则求极限
这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的
极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。 定理 若0
x lim →x f(x)=A
x lim →x g （x ）=B
（1）0
x lim →x [f(x )±g(x)]=
x lim →x f(x) ±0
x lim →x g(x)=A+B
(2)
x lim →x [ f(x )·g(x)]= 0
x lim →x f(x) ·0
x lim →x g(x)=A ·B
(3)若B ≠0 则：
0x lim →x )()(x g x f =)(lim )(lim 0
x g x f x x x x →→=B
A
(4)
x lim →x C ·f(x )=C ·0
x lim →x f(x)=CA （C 为常数）
上述性质对于x →∞，x →+∞，x →-∞时也同样成立
例2：求4
53lim 22+++→x x x x
解：
453lim 22+++→x x x x =4
252322++⋅+=25 3、利用极限定义求解
函数极限ε
-δ定义：
)(lim 0
x x f x →=A: ,0,0>∃>∀δε当0<|x-0x |<δ
时，|f （x ）- A |<ε
)(lim -0
x f x x →=A: ,0,0>∃>∀δε当-δ
)(lim 0
x f x x +
→=A: ,0,0>∃>∀δε当0< x-0x <δ
时，|f （x ）- A |<ε
:)(lim A x f x =∞
→,0,0>∃>∀M ε当|x|>M 时，|f （x ）- A |<ε :)(lim A x f x =+∞
→,0,0>∃>∀M ε当x>M 时，|f （x ）- A |<ε :)(lim ∞=-∞
→x f x ,0,0>∃>∀X G 当x<-X 时，|f （x ）|>G
例1：用极限定义证明：2lim →x 2
-x 2
3x -2+x =1
证：由12232--+-x x x =
24
42-+-x x x =2
)2(2
--x x =2-x
0>∀ε 取δ=ε 则当0<|x-2|<δ时，就有
12
2
32--+-x x x <ε
由函数极限ε-δ定义有：2lim →x 2
-x 2
3x -2+x =1
4、利用无穷小量的性质求解
性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，且
f(x )≠0,则
）
（x f 1
为无穷大量，反之亦然。 性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：
这函数f 、g 、h 在)(x U 00内有定义，且有f(x)~g(x) (x →0x )
(1) 若0
x lim →x f(x)h(x)=A ，则0
x lim →x g(x)h(x)=A;
(2) 若0
x lim
→x )
()
(x g x h =B ； (3) 当x →0时，x ~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~1e x
-~ln(x+1)并且1-cosx~
2
x 2
1。 例4：求0
lim →x xsin
x
1
