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求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求函数极限的方法总结及例题一、求函数极限的方法总结。
1. 代入法。
当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。
例如，对于函数f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。
2. 因式分解法。
适用于(0)/(0)型的极限。
例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。
3. 有理化法。
对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。
例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。
4. 等价无穷小替换法。
当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。
例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。
5. 洛必达法则。
对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。
例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。
二、例题。
1. 例1。
求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}解析：这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。
求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。
直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。
例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。
例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。
解:3.利用连续性定义。
例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。
因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为 利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限 解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用 除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因 所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一 设（1） 当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2） 在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二 设（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2） 当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么 ）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求 。
极限计算方法总结极限是微积分的重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在学习极限的过程中，我们需要掌握一些常用的计算方法，以便能够准确地求解各种类型的极限问题。
下面我将对常见的极限计算方法进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 代入法。
代入法是求解极限最直接的方法之一。
当我们计算极限时，如果能够将极限中的变量替换为一个确定的数值，就可以直接求出极限的值。
例如，对于极限lim(x→2)(x^2+3x-2)，我们可以直接将x替换为2，得到4+6-2=8。
这种方法适用于一些简单的极限计算，但对于一些复杂的极限问题并不适用。
2. 因子分解法。
当极限中存在多项式或根式时，我们可以尝试使用因子分解法来简化计算过程。
通过对多项式进行因子分解或有理化，可以将极限转化为更简单的形式，从而更容易求解。
例如，对于极限lim(x→1)((x^2-1)/(x-1))，我们可以将分子进行因子分解得到lim(x→1)((x+1)(x-1)/(x-1))，进而化简为lim(x→1)(x+1)，最终得到极限的值为2。
3. 夹逼定理。
夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它适用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，使得它们的极限值相等，并且夹住待求极限的函数，从而得到待求极限的值。
这种方法常用于证明极限存在或不存在的问题，也可以用来求解一些特殊的极限。
例如，对于极限lim(x→0)(sinx/x)，我们可以构造两个函数f(x)=sinx和g(x)=x，然后利用夹逼定理得到lim(x→0)(sinx/x)=1。
4. 洛必达法则。
洛必达法则是一种常用的求解不定型极限的方法。
当计算极限时遇到不定型形式0/0或∞/∞时，可以尝试使用洛必达法则来简化计算过程。
该法则的核心思想是对极限中的分子和分母分别求导，然后再计算极限，从而得到原极限的值。
例如，对于极限lim(x→0)(sinx/x)，我们可以对分子sinx和分母x分别求导，得到cosx和1，然后再计算极限，最终得到极限的值为1。
求极限方法总结求极限方法总结第一篇1、等价无穷小的转化，〔只能在乘除时候使用，但是不是说肯定在加减时候不能用,前提是必需证明拆分后极限依旧存在,e的X次方-1或者〔1+x〕的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记〔x趋近无穷的时候还原成无穷小〕。
2、洛必达法则〔大题目有时候会有示意要你使用这个方法〕。
首先他的使用有严格的使用前提！必需是X趋近而不是N趋近！〔所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种状况而已，是必要条件〔还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不行能是负无穷！〕必需是函数的导数要存在！〔假如告知你g〔x〕,没告知你是否可导，直接用，无疑于找死！！〕必需是0比0无穷大比无穷大！当然还要留意分母不能为0。
洛必达法则分为3种状况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷〔应为无穷大于无穷小成倒数的关系〕所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于〔指数幂数〕方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的'函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，〔这就是为什么只有3种形式的缘由，LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0〕。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变留意！〕E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去冗杂,处理很简洁！5、无穷小于有界函数的处理方法,面对冗杂函数时候,尤其是正余弦的冗杂函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法。
面对特别冗杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！6、夹逼定理〔主要对付的是数列极限！〕这个主要是观察极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
求极限的13种方法求极限的方法有很多种，以下列举了常见的13种方法和技巧，以帮助解决各种极限问题。
1.代入法：将极限中的变量代入表达式中，简化计算。
这通常适用于简单的多项式函数。
2.夹逼定理：当一个函数夹在两个趋向于相同极限的函数之间时，函数的极限也趋向于相同的值。
3.式子分解：通过将复杂的函数分解成更简单的部分，可以更容易地计算极限。
4.求导法则：使用导数的性质和规则来计算函数的极限。
这适用于涉及导数的函数。
5.递归关系：如果一个函数的递归关系式成立，可以使用递归关系来计算函数的极限。
6.级数展开：将函数展开成无穷级数的形式，可以使用级数的性质来计算函数的极限。
7.泰勒级数：对于可微的函数，可以通过使用泰勒级数来近似计算函数的极限。
8. 洛必达法则：如果一个函数的极限形式是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$，可以使用洛必达法则来计算极限。
该法则涉及对分子分母同时求导的操作。
9.极限存在性证明：通过证明一个函数在一些点上的左极限和右极限存在且相等，可以证明函数在该点上的极限存在。
10.收敛性证明：对于一个序列极限，可以通过证明序列是有界且单调递增或单调递减的来证明其极限存在。
11.极限值的判断：根据函数的性质，可以判断函数在一些点上的极限是多少。
12.替换法：通过将变量替换为一个新的变量，可以使函数更容易计算极限。
13.反证法：通过假设极限不存在或不等于一些特定值，来推导出矛盾的结论，从而证明极限存在或等于一些特定值。
这些方法并非完整的极限求解技巧列表，但是它们是最常见和基本的方法。
在实际问题中，可能需要结合使用多种方法来求解复杂的极限。
极限求法大全1.1利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值 A ,这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是 密切相连的例：lim f x A 的「S 定义是指：£>0， S = S ( x 0， £ ) >0, O v |x- X Q |x X Ovs |f(x)-A| V£为了求S 可先对X O 的邻域半径适当限制，如然后适当放大I f(x)-A (x)(必然保证© (x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式:I x+a I =|(x- X O )+( x o +a)| < |x- x °|+| x o +a| v| x °+a | +S 1域|x+a|=|(x- X O )+( x o +a)| >| x °+a|-|x- X O | >| x °+a|- S 1 从© (x) VS 2,求出S 2后，取3 = min( S 1，S 2)，当 0 v |x- x 0 | VS 时，就有 |f(x)-A| V£ . 例: 设 lim X n a 贝V 有 lim __也―a .n nn证明：因为 lim x nn a ,对0,N 1 N,),当n N 1时，X n -a -于是当n N 1 时，X 1 X 2…Xna X 1 X 2 ...x na1.2利用极限的四则运算性质求极限定理⑴：若极限lim f (x)和lim g(x)都存在，贝U 函数f (x) g(x)， f (x) g(x)当 X X)X X OX x 0时也存在且① l in i f(x) g(x) 阿 f(x) l in i g(x) x X 0 x X 0 x^0② lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)XX )X X )X X)nn其中A X 1 aX 2 a X N 1是一个定数 ,再由 A n2，解得n2A,故取N maxM, 2A当nN 时,X 1 x 2..X n—+ —2 2n of(x)lim f(x)在 x ------------ x 0时也存在，且有 lim -^-xo.g(x)x xg(x) lim g(x)Xx利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在， 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现0，-，等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。
求极限方法基本公式
求极限的方法有很多，基本公式包括但不限于以下几种：
1. 极限的运算法则：lim(uv) = limu limv，lim(u/v) = limu / limv，
lim(u^n) = [limu]^n (n为正整数)。
2. 幂函数的极限：limx^n = x^n / n! (x不为0)，当n为偶数时，x可以为0。
3. 指数函数的极限：lime^(x) = e^x，limln(x) = ln(x)。
4. 分段函数或分式函数的极限：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点的值等于该点的极限。
5. 无穷小量乘以有界量等于无穷小量：limu v = 0，其中u是无穷小量，v 是有界量。
6. 无穷大量与常数的乘积等于无穷大量：limu C = u，其中C是常数，u 是无穷大量。
7. 无穷小量的阶：limx^n = 0 (n>0)，limx^n = 1 (n=0)，limx^n = ∞ (n<0)。
8. 幂级数的收敛性：对于形如1/(1-x)、1/(1+x)、(1-x)^(-1)等幂级数，在x<1的范围内收敛。
9. 导数与极限的关系：如果f'(x0)存在，那么limf'(x0) = f'(x0)。
10. 洛必达法则：当一个极限的分子和分母都趋向于0或无穷大时，可以应用洛必达法则求极限。
以上是求极限的基本公式，希望对解决您的问题有所帮助。
求极限的21个方法总结1. 直接代入法：将变量的值代入极限表达式中，计算极限的值。
2. 分子分母同除以最高次项的方法：可以使得分子和分母的最高次项的系数为1，简化计算。
3. 消去法：利用性质将某些项消去，使得表达式更容易计算。
4. 因式分解法：将极限表达式中的因式进行分解，简化计算。
5. 分数分解法：将极限表达式中的分数进行分解，简化计算。
6. 奇偶性性质：利用函数的奇偶性质，简化计算。
7. 倍角、半角、和差公式：利用三角函数的相关公式，简化计算。
8. 幂函数性质：利用幂函数的性质，简化计算。
9. 对数函数性质：利用对数函数的性质，简化计算。
10. 指数函数性质：利用指数函数的性质，简化计算。
11. 三角函数性质：利用三角函数的性质，简化计算。
12. 极坐标法：将极限表达式转化为极坐标形式，简化计算。
13. 无穷小代换法：将极限表达式中的变量代换为无穷小量，简化计算。
14. 夹逼定理：利用夹逼定理确定极限的值。
15. L'Hopital法则：当计算的极限为0/0或者∞/∞形式时，可以利用L'Hopital 法则进行计算。
16. 泰勒展开法：将极限表达式进行泰勒展开，取较低阶项进行计算。
17. 递推法：将极限表达式中的各项逐步推导出来，从而得到极限的值。
18. 积分法：将极限表达式转化为积分形式，利用积分的性质计算极限的值。
19. 微分法：将极限表达式转化为微分形式，利用微分的性质计算极限的值。
20. 反函数法：将极限表达式中的函数进行反函数变换，简化计算。
21. 几何法：利用几何图形的性质计算极限的值。
千里之行，始于足下。
求极限的方法总结求极限是微积分的重要内容，也是解决数学问题中常用的方法之一。
下面是对求极限的方法进行总结：1. 代入法：当在不断插入一个趋于该极限的数值时，假如函数表达式有意义，且极限存在，则取其极限值作为函数的极限。
2. 四则运算法则：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都存在，那么可以利用加减乘除等基本运算的极限法则求解。
3. 夹逼定理：当存在两个函数 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且函数 f(x)，h(x)的极限都为 L，那么 g(x)的极限也为 L。
4. 函数的连续性：假如函数 f(x) 在 x = a 处连续，那么函数 f(x) 在x = a 处也存在极限。
5. 分解因式法：可以通过将函数进行分解因式，使得函数变为两个函数之比，然后利用极限的分解限求解。
6. 无穷小与无穷大：假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为 0，那么称函数 f(x) 为无穷小。
假如 x → a 时，函数 f(x) 的极限为∞或 -∞，那么称函数 f(x) 为无穷大。
通过争辩函数的无穷小和无穷大性质，可以求解极限。
7. 等价无穷小法：假如函数 f(x) 和 g(x) 在 x = a 处极限都为 0，并且极限 lim(x→a) [f(x)/g(x)] 存在且为 L (L ≠ 0)，那么可以使用“等价无穷小”来求解极限。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
8. 数列极限法则：假如数列 {an} 在 n →∞时有极限 L，则函数 f(x) = an 在 x →∞时的极限也为 L。
通过数列的极限法则，可以推导出函数的极限。
9. 泰勒开放：对于光滑函数，可以利用泰勒开放来近似求解极限。
10. 形式不确定型：对于一些形式不确定的极限，可以通过化简、将其转换成其他形式来求解。
11. 极限存在定理：对于一些特定的函数和性质，可以通过极限存在定理来判定函数的极限是否存在。
上述是常用的一些求解极限的方法总结，通过运用这些方法，可以更加精确地求解各种极限问题。
求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：
用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：
将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：
将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：
分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：
用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：
列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：
看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：
先求倒数的极限。
10根号套根号型：
约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：
用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：
分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
极限求解总结1、极限运算法则设，,则(1)(2)(3)2、函数极限与数列极限的关系如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足：,那么相应的函数值数列必收敛，且3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小;（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果存在,而c为常数，则（4）如果存在,而n是正整数,则5、复合函数的极限运算法则设函数是由函数与函数复合而成的,在点的某去心领域内有定义，若,且存在，当时，有，则6、夹逼准则如果(1)当(或>M）时，(2)那么存在，且等于A7、两个重要极限（1）（2）8、求解极限的方法(1）提取因式法例题1、求极限解：例题2、求极限解：例题3、求极限解：(2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势)例题1、解:令例题2、解：令x=y+1=例题3、解：令y==（3）等价无穷小替换法注:若原函数与x互为等价无穷小,则反函数也与x互为等价无穷小例题1、解：例题2、解：例题3、解：例题4、解:例题5、解:令y=x-1原式=例题6、解：令型求极限例题1、解：解法一（等价无穷小）：解法二（重要极限）：(5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、解：所以推广：例题2、解：1)所以2)所以例题3、解:所以例题4、所以例题5、解：所以（6）单调有界定理例题1、解：单调递减极限存在,记为A由（*）求极限得：A=A所以A=0例题2、求解：单调递增所以极限存在，记为L时例题3、求极限解：当当所以极限存在时注：单调性有时依赖于的选取例题4、求极限解：（整体无单调性）所以单调递减,同理，单调递增有因为故和均存在，分别记为A,B即解得 A=B=所以（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数证明：证明：即（8）洛必达法则例题1、求解：例题2、求解:例题3、求解:例题4、求解：（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
求极限的方法总结极限是数学中的一个重要概念，它可以描述函数或数列在某一点或某个无穷远的情况下的趋势或结果。
在求解极限时，有许多不同的方法可以使用，下面我将简要总结一下常见的求极限的方法。
一、替换法替换法是求函数极限的常用方法之一。
当我们在计算某一点的函数极限时，可以尝试将该点的数值代入函数中，然后计算函数的值。
如果当点趋近于某个有限值时函数的极限存在，那么我们可以得出该极限的值。
二、分子分母因式分解法当我们计算一个分式的极限时，可以尝试对分子和分母进行因式分解。
通过因式分解，我们可以减少计算的复杂性，进而更容易求得极限的结果。
三、洛必达法则洛必达法则是求解函数极限的重要工具。
这个法则的基本思想是将一个函数的极限转化为同一点处的两个函数的极限之比。
如果这两个函数的极限都存在并且是有限的，那么我们可以得出原函数极限的结果。
四、夹逼定理夹逼定理是求解数列极限的常用方法之一。
这个定理的主要思想是通过两个逼近数列来逼近待求数列，进而确定数列的极限值。
夹逼定理在实际计算中可以大大简化问题的求解。
五、泰勒展开式泰勒展开式是一种将函数展开为无穷项级数的方法。
通过将函数展开为级数，我们可以更加准确地计算函数的极限值。
泰勒展开式有时候可以帮助我们求解一些复杂的函数极限，特别是在计算高阶导数时。
六、变量代换法变量代换法是一种将复杂极限转化为简单极限的方法。
通过对函数中的自变量进行适当的替代，我们可以将复杂的极限转化为简单的极限。
这种方法可以大大减少计算的难度，提高求解极限问题的效率。
七、松弛变量法松弛变量法是一种求解含有未知数的极限问题的方法。
通过引入一个松弛变量，我们可以使得原来的极限问题变得简单，从而更容易求解。
这种方法在求解一些复杂的函数极限时特别有用。
总结：求解极限的方法有替换法、分子分母因式分解法、洛必达法则、夹逼定理、泰勒展开式、变量代换法和松弛变量法等。
每种方法都有其适用的范围和特点，我们可以根据具体问题的不同选择合适的方法。
极限的求解方法总结极限是数学中的重要概念，用来描述函数在其中一点逼近一些特定值的过程。
求解极限的方法有很多种，常见的方法包括直接代入法、夹逼准则、洛必达法则、级数展开法等。
下面将对这些方法进行总结。
1. 直接代入法：对于一些简单的极限问题，可以直接通过将自变量的值代入函数中计算得到极限的值。
例如，对于极限lim(x->2) (3x-1)，可以直接将x的值替换为2，计算出极限的值为52. 夹逼准则：夹逼准则是一种常用的证明极限存在的方法。
当一个函数f(x)在特定点x0的左右两侧有两个函数g(x)和h(x)夹住时，即g(x)<=f(x)<=h(x)，并且lim(x->x0) g(x) = lim(x->x0) h(x) = L，那么就可以得出lim(x->x0) f(x) = L。
这个准则同时适用于极限为实数和无穷大的情况。
3. 洛必达法则：洛必达法则是一种求解极限的常用方法，特别适用于遇到0/0或∞/∞的不定型。
洛必达法则的核心思想是利用导数的性质来简化极限的计算。
如果一个极限可以用洛必达法则求解，首先计算函数f(x)和g(x)的导数，然后计算导数的极限lim(x->x0) f'(x) / g'(x)，如果此极限存在，且不为无穷大，则lim(x->x0) f(x) / g(x) = lim(x->x0) f'(x) / g'(x)。
4.级数展开法：级数展开法是一种将复杂的函数用简单的级数来逼近的方法，常用于求解无穷小量的极限。
通过将函数展开成无穷级数的形式，并且当无穷级数收敛时，可以认为级数展开是原函数的近似解，在特定范围内与原函数相等。
通过计算级数的部分和求出极限的值。
以上方法并不是独立使用的，有些问题需要结合多种方法才能求解。
在实际应用中，根据具体的问题特点，选择合适的方法进行求解。
总之，求解极限是数学中的重要任务之一，需要掌握不同的求解方法，并根据具体情况选择合适的方法。
极限求解总结1、极限运算法则设limn→∞a n=a,limn→∞b n=b,则(1)limn→∞(a n±b n)=limn→∞a n±limn→∞b n=a±b;(2)limn→∞a n b n=limn→∞a n limn→∞b n=ab;(3)limn→∞a nb n=limn→∞a nlimn→∞b n=ab(b≠0).2、函数极限与数列极限的关系如果极限limx→x0f(x)存在，{x n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足:x n≠x0(n∈N+)，那么相应的函数值数列{f(x)}必收敛，且limn→∞f(x n)=limx→x0f(x)3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果lim f(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]=c lim f(x)（4）如果lim f(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n= [lim f(x)]n5、复合函数的极限运算法则设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成的，y=f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义，若lim x→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0，当x∈U(x0,δ0)时，有g(x)≠u0，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A6、夹逼准则如果(1)当x∈U(x0,r)(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x)(2)limx→x0(x→∞)g(x)=A,limx→x0(x→∞)ℎ(x)=A那么limx→x0(x→∞)f(x)存在，且等于A 7、两个重要极限（1）limx→0sin xx=1（2）limx→∞(1+1x)x=e8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限limx→0e x+e−x−2x2解：limx→0e x+e−x−2x2=limx→0e−x(e2x−2e x+1)x2=lim x→0e−x(e x−1x)2=1例题2、求极限limx→0a x2−b x2(a x−b x)2(a≠b,a.b>0)解：limx→0a x2−b x2(a x−b x)2=limx→0b x2[(ab)x2−1]b2x[(ab)x−1]2=limx→0b x2−2x x2ln ab(x ln ab)2=1ln ab例题3、求极限limx→+∞x p(a1x−a1x+1)(a>0,a≠1)解：limx→+∞x p a1x+1(a1x(x+1)−1)=limx→+∞x p a1x+11x(x+1)ln a=lim x→+∞x px(x+1)a1x+1ln a=limx→+∞x p−21+1xa1x+1ln a=（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、limx→πsin(mx) sin(nx)解：令x=y+πlim x→πsin(mx)sin(nx)=limy→0sin(my+mπ)sin(ny+nπ)=(−1)m−n limy→0sin mysin ny=(−1)m−nmn例题2、limx→1x1m−1 x1n−1解：令x=y+1lim x→1x1m−1x1n−1=limx→1(1+y)1m−1(1+y)1n−1=nm例题3、limx→+∞x2√x2+x−√x3+x23解：令y=1xlim x→+∞x2√x2+x−√x3+x23=limy→0+√1y2+1y−√1 y3+1y23=limy→0+√1+y−√1+y3y=16（3）等价无穷小替换法x→0sin x~x~sin−1x tan x~x~tan−1xe x−1~x~ln(1+x)a x−1~x ln a1−cos x~x 22(1+x)α−1~αx注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、lim x→0(a x +b x2)1x(a.b >0)解：lim x→0(a x +b x2)1x=elim x→01xlna x +b x 2=elim x→01xln(1+a x +b x −22)=elimx→0(a x −1)+(b x −1)2x =√ab例题2、lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+bx )(a >0)解：lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+b x )=lim x→+∞ln (1+e ax )bx =lim x→+∞bx ln [e ax (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ln e ax +ln (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ax +ln (e−ax+1)]=ab +limx→+∞b ln (e −ax +1)x=ab例题3、lim x→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x解：limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x =limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x=limx→0ln((sin x )2e x +1)ln(x 2e2x +1)=limx→0(sin x )2e 2xx 2e x=1例题4、lim x→0e x −e sin xx−sin x解：limx→0e x −e sin xx−sin x =lim x→0e sin x (e x−sin x −1)x−sin x=limx→0e sin x (x−sin x )x−sin x=1例题5、lim x→1x x −1x−1解：limx→1x x −1x−1=limx→1e x ln x −1x−1=limx→1x ln xx−1令y=x-1 原式=limy→0(y+1)ln (y+1)y=1例题6、lim x→π2α+β√(1−(sin x )α)(1−(sin x )β)α.β>0)解：令y =1−sin xlim x→π21−(sin x )α+β√(()α)(()β)=lim y→0+1−(1−y )α+β√[()α][()β]=lim y→0+y (α+β)√αyβy=α+β√αβ（4）1∞型求极限例题1、lim x→π4(tan x )tan 2x 解：解法一（等价无穷小）：lim x→π4(tan x )tan 2x =e lim x→π4(tan 2x )ln (tan x )=e lim x→π4(tan 2x )ln [1+(tan x−1)]=e lim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1解法二（重要极限）：lim x→π4(tan x )tan 2x =lim x→π4[1+(tan x −1)]1tan x−1tan 2x (tan x−1)=elim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x 1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1（5）夹逼定理（主要适用于数列） 例题1、lim n→∞(1n +2n +3n+4n )1n解：4n ≤1n +2n +3n +4n ≤4×4n 所以lim n→∞(1n+2n+3n+4n )1n=4推广：a i >0 i =1,2,3……mlim n→∞(a 1n +a 2n +a 3n+⋯+a mn )1n=max 1≤i≤m{a i }例题2、lim x→0x [1x ]解：1x −1≤[1x]≤1x1)x>0 1−x≤x[1x]≤1所以x→0+ limx→0x[1x]=12)x<0 1−x≥x[1x]≥1所以x→0− limx→0x[1x]=1例题3、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：2n+13n−1≤2(n+1)3n(n≥2)0≤32×55×78×?×2n+13n−1≤32×66×89×?×2(n+1)3n=n+12(23)n−2limn→∞n+12(23)n−2=0所以limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1=0例题4、limn→∞∑√k (n+1)2k=n2lim n→∞∑1√k(n+1)2k=n2=limn→∞[1√n2+1√n2+1+1√(n+1)2] 2n+2√(n+1)2≤x n≤2n+2√n2所以limn→∞x n=2例题5、limn→∞∑(n k+1)−1k nk=1解：n k≤n k+1≤(n+1)kn≤(n k+1)1k≤n+11 n+1≤(n k+1)−1k≤1n所以nn+1≤∑(n k+1)−1knk=1≤nnlim n→∞∑(n k+1)−1knk=1=1（6）单调有界定理例题1、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：x n=x n−1×2n+13n−1≤x n−1???(∗){x n}单调递减0≤x n极限存在，记为A由（*）n→∞求极限得：A=23A所以A=0例题2、x0=1 x n+1=√2x n求limn→∞x n解：x n+1−x n=√2x n−√2x n−1=n n−1√2x n+√2x n−1x1−x0=√2−1>0 {x n}单调递增x n+1=√2x n<√2x n+1所以(x n+1)2−2x n+1<00<x n+1<2极限存在，记为Ln→∞时L =√2L L=2例题3、x1>0 x n+1=a(1+x n)a+x n(a>1)求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=a(1+x n)a+x n −a(1+x n−1)a+x n−1=(a2−a)(x n−x n−1)(a+x n)(a+x n−1) x2−x1=a−x12a+x1当x1>√a x2−x1<0 x n↓当0<x1≤√a x n↑所以0<x n+1=a(1+x n)a+x n <a(a+x n)a+x n=a极限存在n→∞时L=a(1+L)a+LL=√a 注：x n单调性有时依赖于x1的选取例题4、x1>1 x n+1=11+x n 求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=x n−1−x n(1+x n)(1+x n−1)（整体无单调性）x2n+1−x2n−1=11+x2n−11+x2n−2=x2n−2−x2n(1+x2n)(1+x2n−2)=x2n−1−x2n−3(1+x2n)(1+x2n−2)(1+x2n−1)(1+x2n−3) x3−x1=11+x2−x1<0所以{x2n+1}单调递减，同理，{x2n}单调递增有因为0<x n<1(n≥2)故limn→∞x2n+1和limn→∞x2n均存在，分别记为A,B x2n+1=11+x2nx2n=11+x2n−1即A=11+B B=11+A解得 A=B=√5−12所以limn→∞x n=√5−12（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数(n≥2)f(k)(x0)=0 (k=1,2,?,n−1)f(n)(x0)≠0 ?n∈Rf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎf ′(x 0+θℎ) (0<θ=θ(ℎ)<1)证明：lim ℎ→0θ(ℎ)=n11−n证明：f ′(x 0+θℎ)=f ′(x 0)+f "(x 0)(θℎ)+f 3(x 0)2!(θℎ)2+??+f (n−1)(x 0)(n−2)!(θℎ)n−2+f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1即f ′(x 0+θℎ)=f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1 x 0<ε<x 0+θℎf (x 0+ℎ)= f (x 0)+f (n )(μ)ℎnf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎnf (n )(μ)n!x 0<μ<x 0+ℎf (n )(μ)n!ℎn =f (n )(ε)(n −1)!ℎn−1ℎθn−1θ=√f (n )(μ)f εn−11n1n−1 ℎ→0 lim ℎ→0θ(ℎ)=√f (n )(μ)()()n−1n 11−n = lim ℎ→0θ(ℎ)=n 11−n（8）洛必达法则 例题1、求lim x→1x 3−3x+2x −x −x+1解：lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1=lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x6x−2=32例题2、求lim x→+∞π2−tan −1x 1x解：limx→+∞π2−tan −1x 1x=limx→+∞−11+x 2−1x2=limx→+∞x 21+x 2=1例题3、求lim x→+∞x ne λx(n 为正整数，λ>0)解：limx→+∞x neλx=lim x→+∞nx n−1λe λx=limx→+∞n (n−1)x n−2λ2e λx=?=limx→+∞n!λn e λx=0例题4、求limx→0+x n ln x (n>0)解：limx→0+x n ln x=limx→0+ln xx=limx→0+1x−nx=limx→0+(−x nn)=0（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
极限求解总结
1、极限运算法则
设,,则
(1)
(2)
(3)
2、函数极限与数列极限的关系
如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足:，那么相应的函数值数列必收敛，且
3、定理
（1）有限个无穷小的和也是无穷小；
（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；
4、推论
（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；
（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；
（3）如果存在，而c为常数，则
（4）如果存在，而n是正整数，则
5、复合函数的极限运算法则
设函数是由函数与函数复合而成的，在点的某去心领域内有定义，若
，且存在，当
时，有，则
6、夹逼准则
如果
(1)当(或>M)时,
(2)
那么存在，且等于A
7、两个重要极限
（1）
（2）
8、求解极限的方法
（1）提取因式法
例题1、求极限
解：
例题2、求极限
解：
例题3、求极限
解：
（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）
例题1、
解：令
例题2、
解：令x=y+1
=
例题3、
解：令y=
=（3）等价无穷小替换法
注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小
例题1、
解：
例题2、
解：
例题3、
解：
例题4、
解：
例题5、
解：
令y=x-1
原式=
例题6、
解：令
型求极限
例题1、
解：解法一（等价无穷小）：
解法二（重要极限）：
（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、
解：
所以
推广：
例题2、
解：
1)
所以
2)
所以例题3、解：
所以
例题4、所以
例题5、
解：
所以
（6）单调有界定理
例题1、
解：
单调递减
极限存在，记为A
由（*）求极限得：A=A
所以A=0
例题2、求解：
单调递增
所以
极限存在，记为L
时
例题3、
求极限
解：
当
当
所以极限存在时
注：单调性有时依赖于的选取
例题4、求极限
解：（整体无单调性）
所以单调递减，同理，单调递增
有因为
故和均存在，分别记为A,B
即
解得 A=B=
所以
（7）泰勒公式法
例题1、设f有n阶连续导数
证明：
证明：
即
（8）洛必达法则例题1、求
解：
例题2、求
解：
例题3、求
解：
例题4、求
解：
（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
极限方法是研究变量的一种基本方法，在以后的学习过程中，极限仍然起着重要的作用，因此学习、掌握极限是十分必要的。
相信通过对极限的学习总结，我们在今后的学习中能更进一步。
