2.1 导数概念

M (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
如 果 f (x0 ) 0 ， 那 么 曲 线 y f (x) 在 点 M (x0 , f (x0 )) 处 的 法 线 方 程 为
y
f (x0 )
f
1 (x (x0 )
x0 )
3
例 4 求曲线 y x 2 的通过点（1，4）的切线方程．
《 数学基础 》教案
标题
2.1 导数的概念
【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义
编号
【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义
【教学难点】导数的几何意义
【教学方法】讲授 实施步骤
【教学时数】 教学内容提要
时间
【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例
既然导数是比值 y 当 x 0 的极限，那么，下面两个极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ， lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
x x0
x0
x
分别叫做函数 y f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记为 f (x0 ) 和
8
sin 2 x 1 cos2 x
y
1 cos x
1 cos x 1 cos x
y (1 cosx) sin x
三、反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则 它的反函数 y f (x) 在对应区间 I x 内也可导，且
f (x) 1 ( y)
备注：

Δx → 0
Δx
或 f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) .
h→0
h
注意: f ′( x0 ) = f ′( x) . x=x0 f ′( x0 ) ≠ [ f ( x0 )]′
注意 函数f ( x)在点 x0的导数f ′( x0 )是因变量 在点 x0处的变化率，它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度.
小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ′( x0 ) = a ⇔ f−′( x0 ) = f+′( x0 ) = a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导. 直接用定义;
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解 ∵sin 1 是有界函数 , ∴ lim x sin 1 = 0
x
x→0
x
∵ f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
x→0
但在x = 0处有
Δy
=
(0 + Δx)sin 1 0 + Δx
注意 导数的几何意义与物理意义
（1）几何意义
y
f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ′( x0 ) = tanα , (α为倾角)o
y = f (x)
T
M
α

§2.1导数的概念设计人：王方 审核人：高二数学组 使用时间： 编号：3-2-1-1 班级： 姓名：【学习目标】1.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;2.会求函数在某点的导数.【学习重难点】重点：导数的概念及实际意义 难点：导数概念的内涵【学法指导】合作交流 小组讨论【合作探究】1.导数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:_____________________,我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作_________或_______________,即_______________________________.说明:导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，某点的导数的概念包含着两层含义：①0lim x y x ∆→∆∆存在，则称)(x f y =在0x x =处可导并且导数即为极限值；②0lim x y x ∆→∆∆不存在，则称)(x f y =在0x x =处不可导。

2. 由导数定义，我们可以得到求函数)(x f y =在0x 点处的导数的步骤： (1)求函数的增量________________________________;(2)求平均变化率_________________________________；(3去极限，得导数_____________________________________________附注：求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

【例题讲解】1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ）A 、)()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数增量B 、xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00叫函数在[x x x ∆+00,]上的平均变化率 C 、)(x f 在点0x 处的导数记为y 'D 、)(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '3、求函数x y =在1=x 处的导数.4. 已知函数)(x f y =在点0x x =处可导，那么000(2)()lim x f x x f x x∆→-∆-∆=____________________ 5.已知()()'32,32f f ==-，求()323lim3x x f x x →--的值。

h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,