导数概念图文

多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
例4 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
2 1 2 1 1
a3 x03 a3 y03
21
21
切线x轴 在和 y轴上的截距 a3x分 03和a别 3y03.是
切线介于两坐标 的轴 线之 段间 长 : 为
21
21
(a3x03)2 (a3y03)2
a.
为一常数.
2
2
2
附录：x曲 3线 y3 a3
其参数方程为
x a cos 3 t
3 3x1
2
3
y'11 2 1 3 1 1 1 x 22x1 33x1 x 2x1 3x1
(3)y(lnx)xexl n(lxn)
y'exl nx ()l(nlnx)(lxn11)(lnx)x(ln(xl)n 1 ).
ln xx
lnx
又 解 l ny： xl n(xl)n两边对x求导，
例3 设 x 4x y y4 1 ,求 y 在 (0 ,1 点 )处.的
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
( 1 )
代x入 0, y1 得y
x0 y1

1; 4
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0

澳门十六浦
[单选]电动潜油泵井井下系统从井底到井口的联接顺序为（）。A、扶正器—潜油电机—保护器—分离器—潜油泵—单流阀—泄油阀B、潜油电机—扶正器—保护器—分离器—潜油泵—单流阀—泄油阀C、扶正器—潜油电机& [问答题,案例分析题]背景材料： [单选,A2型题,A1/A2型题]单纯性鼻中隔偏曲最常见的病因是（Байду номын сангаас。A.鼻中隔外伤B.鼻内肿瘤压迫C.异物压迫D.腺样体肥大E.鼻中隔之骨和软骨发育不均衡 [单选]天疱疮是()A．慢性大疱性皮肤粘膜疾病B．细菌性疾病C．过敏性疾病D．病毒性疾病E．传染性疾病 [多选]关于地下工程施工安全监控量测原则的说法，正确的有（）。A.可靠性原则B.确保安全原则C.重点监测关键区的原则D.经济合理原则E.多层次监测原则 [单选,A2型题,A1/A2型题]《本草纲目》为后人留下了较完备的医药知识，人们在秉承这些医药知识的同时，其作者在行医时常为病人送药、煎药、喂药的高尚医德更为后人所称道，此人为（）A.孙思邈B.张仲景C.李时珍D.龚延贤E.喻昌 [单选]诊断颅骨骨折最可靠的依据是（）A.头部外伤史B.临床表现C.头颅X线片D.头颅超声波检查E.脑电图检查 [单选]最适宜的腮腺超声检查方法A.空腹B.理发后C.应用凸阵探头D.应用高频线阵探头E.只行纵切检查 [多选]由予搅拌操作的多种多样，也使搅拌器存在着许多形式，典型的搅拌器形式有（）、推进式、锚式、螺杆式等。A.分离式B.桨式C.涡轮式D.框式 [单选]下列哪一项表示疏散是不安全的。（）A．ASET>0B．RSET>0C．ASET>RSETD．RSET>ASET [单选]烧伤患者开始浸浴的时机一般在（）A.伤后48小时B.伤后1周C.伤后2周D.伤后1个月E.以上都不对 [单选,A1型题]下列不属于计划执行中的监测和质量控制的内容是（）A.建立完整的资料收集和保存体系B.建立专家小组，保证计划执行的质量C.正确评估计划执行者的技能D.项目执行人员的技能培训E.对经费开支的监测 [问答题,简答题]按照构建网站的主体，网站可以划分为哪几个基本类型？ [单选]在3G一个BBU的多块WBBP单板里最多可以直联载波的CPRI接口有几个？（）A.3B.4C.5D.6 [单选]准分子激光器的波长（）A.位于紫外波段B.位于可见光波段C.位于红外波段D.位于可见光和红外波段E.位于黄色光波段 [单选,A1型题]“产育”的含义是什么()A.分娩B.分娩、产褥C.妊娠D.分娩、产褥及哺乳E.哺乳 [单选]本图提示的是外阴硬化性苔藓，其高发年龄为()A．幼女B．青春期少女C．生育年龄妇女D．绝经后E．B+D [填空题]指电动机的运转状态，通常分（）、短时和断续三种。 [单选]设立商业银行的注册资本最低限额为（）元人民币。A.1亿B.5亿C.10亿D.20亿 [问答题,案例分析题]某公司2010年拟在某工业园区内新建年产3万t黏胶纤维生产线，该工业区地处丘陵低山地区，属于环境空气功能二类区，企业污水经厂内污水站处理达标进入长江水体，该段长江水体执行地表水Ⅲ类水体功能。黏胶纤维生产主要是以浆粕为原料经过碱化、黄化（加入CS2）生 [单选]β-葡萄糖苷键不具有的性质是（）A.NMR中C1-H和C2-H的偶合常数值为6～8HzB.NMR中C1-H和C2-H的偶合常数值为3～4HzC.NMR中端基碳的化学位移为l03～106D.NMR中C1和Hl的偶合常数值为160HzE.能被杏仁苷酶水解 [单选]下列关于类风湿关节炎药物治疗正确的是（）。A.早期应用快作用抗风湿病药B.大部分患者用一种慢作用药就可以阻止关节破坏C.可以常规应用糖皮质激素D.非甾体抗炎药是改善关节症状的一线药物E.不能使用中枢性镇痛药 [填空题]氨合成催化剂的毒物主要有（）、（）、（）。 [单选]关于书刊印制阶段，下列说法错误的是（）。A.印前阶段，这个阶段的主要工作进行图文信息设计等工作，并制出印版B.印刷阶段进行图文信息设计、图文输入、图文处理和图文输出等，并制出印版（或相应的电子文件）C.印刷阶段，这个阶段的主要工作是使用模拟或数字的图文载体，将 [单选]廉租住房单套建筑面积控制在（）以内。A、40㎡B、50㎡C、60㎡D、70㎡ [单选]肺癌脑转移全脑放疗的剂量一般为（）A.DT2500cGy／5FB.DT3500cGy／7FC.DT1500cGy／5FDT3000cGy／10FE.DT4000cGy／10F [单选]下列属于颈椎病X线表现的有()A．可伴有小关节面硬化B．椎体边缘骨质增生、硬化C．椎间孔狭窄D．椎间隙变窄E．以上都是 [单选]下列选项中属于收费制方式的是（）。A.人工收费B.半自动收费C.封闭式收费D.全自动收费 [单选]电源频率增加一倍，变压器绕组感应电动势也（）。A、增加一倍B、不变C、减少一倍D、略有增加 [单选]颅脑外伤侧位平片显示鼻咽腔顶软组织肿胀常提示（）A.前颅窝骨折B.中颅窝骨折C.后颅窝骨折D.额骨骨折E.斜坡骨折 [名词解释]Fab(Fragmentantigenbinding) [单选]下列债的履行中，属于适当履行的有：（）A.甲、乙、丙三人各出资3万元合伙办了一个玩具厂，不想经营失策，亏损12万元，债权人张某要求甲承担全部还款责任，甲只承担了属于自己份额的4万元B.王某（画家）和某书店签订协议，王某将为该书店作画5幅，不料，王某生病了，遂委托 [单选]骶耻外径正常值为（）A.23～26cmB.18～20cmC.30～36cmD.25～28cmE.8.5～9.5cm [单选]下列基质中，不适于栽培根系纤细的花卉植物的是（）。A、珍珠岩B、陶粒C、水D、岩棉 [多选]行政补偿的内涵，随着行政管理实践的发展有一个演变、拓展的过程。理论上一般认为行政补偿包括的内涵为（）。A.追加补偿B.特别补偿C.征用补偿D.公务行为附随结果的补偿E.无因管理补偿 [单选]膨胀土的自由膨胀率一般超过()。A．10%B．20%C．30%D．40% [单选,A1型题]下列除哪项外都是得神的表现（）A.两目精彩B.面色荣润C.肌肉不削D.面色潮红E.运动自如 [单选]与CT扫描伪影无关的是()A．扫描中病人移动B．显示器故障C．探测器故障D．体内金属异物E．扫描层面中有高密度骨出现 [单选]慢性肾衰发病机制的三高学说是指（）。A.高血压、高血糖、高血脂B.高灌注、高滤过、肾小球内高压C.高血压、高血糖、大量蛋白尿D.高血压、高血糖、高蛋白饮食E.以上都包括 [问答题,简答题]投资连结产品如何控制风险？

导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单 过位 :m 的 3)时 水间 x(量 单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作 生产的食品数 y(单 量位:kg)是其工作时x(间 单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处 的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们 的实际意. 义
如 其 解 4kg:果 生 的 f (保 产 1食) 持 速 品.4(表 这 度 即示 一 工该 生 作工 产 效,人 速 )那 率 为上 4度 么kg班 他/h后 .每 也1工 h时 就的作 可 是时以 说 ,候, 生一 其 产 f(3生 生 )3产 产 .5表 速 速 ,那 示 3.度 度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每 人 就时 上 是可 ,如 班 说 33h.以 5的 果 k后g的 生 时 保 工食 产 ,候 持 作 .品 这

导数的概念及其几何 意义（2）
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P

x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2

3 (������)′= ������ 4 (������2)′= ������������ 5 (������3)′= ������������������
6
(1)′=
������
−
������ ������������
(������−1)′= − ������−2
7 ( ������)′= ������
(������������)′= ������������ ln ������ (������������)′= ������������
（ ������ >0且≠1） 指数函数
(log������ ������)′=
(ln ������)′=
1 ������
1 ������
log������
������
=
������−0 1−0
,即
2x-y-1=0
当������0=-1，切线过两点(-1,1)和(0,-1),由两点式方程得切线方程为���1���++11
=
������−0 −1−0
,即
2x+y+1=0
总结回顾 7个基本初等函数求导公式
(������������)′= ������������������−������ （ ������ 为常数） 幂函数
������′ ������ = ������������
2 ������ ������ = ������������ + ������ （k,b为常数）
������′ ������ = ������
4 ������ ������ = ������3
������′ ������ = ������������������

求由初等函数复合而成的复合函数的导数，要仔细分析解 析式的结构特征，将函数分成几个初等函数的结构从而便于求 导．
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求下列复合函数的导数． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝ 3－x； (3)y＝sin2(2x＋π3)． (4)(2012 年辽宁)设 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b(a，b∈ R，a，b 为常数)，曲线 y＝f(x)与直线 y＝32x 在(0,0)点相切．求 a，b 的值．
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(2011 年江西)若 f(x)＝x2－2x－4lnx，则 f ′(x)>0 的解集为
A．(0，＋∞)
() B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
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的导数与 u 对 x 的导数的积．
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复合函数求导应注意的问题：一要分清中间变量与复合关 系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下 去，而不能丢掉其中的任一环．防止漏掉一部分或漏掉符号造 成错误；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎 样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．
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【解】 (1)设 u＝2x－3，则 y＝(2x－3)5，
由 y＝u5 与 u＝2x－3 复合而成，

(5)y＝sincxo＋s 2cxos x ＝csoins2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴y′＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x. (6)y＝xln x＝12xln x， ∴y′＝12(x)′·ln x＋12x·(ln x)′＝12ln x＋12.
1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析 函数 y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很烦琐，一定要先进行合理的化简 变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导． 2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角 函数公式对解析式进行化简、整理，然后再套用公式求导．
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 2 课时 导数的运算法则
考纲定位
重难突破
1.能利用导数的四则运算法 则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法 则进行复合函数的求导.
重点：用导数的运算法则求 函数的导数. 难点：求复合函数的导数.
又点 P 在第二象限内，∴x0＝－2. 又点 P 在曲线 C 上， ∴y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点 P 的坐标为(－2,15)．
求解与切线有关的综合问题： (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P 处的切线方程 和求曲线过点 P 的切线方程．在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的切线，点 P 不一定是切点； (2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写 出切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)，最后代入点 P 的坐标，求出(x0，y0)．切点 在解决此类问题时起着至关重要的作用．

解析: (1)f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71,所以
������(-0.9)-������(-1) 平均变化率为 -0.9-(-1) -1.71-(-2) = =2.9,故应选 D. 0. 1 ������(3.3)-������(3) (2)s(3)=9,s(3.3)=9.6,所以平均速度������ = 3.3-3 0. 6 =2. 0. 3
=
答案: 12 m/s
-5-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.1 变化率与导数
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3.导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim ������������������
Δ������ ,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数.记作 f'(x0)或 y'|������ =������ , 0 ������x →0 Δ������ ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) 即 f'(x0)= lim . Δ������ Δ������ →0 ������(������0 +Δ������)-������(������0) Δ������ Δ������ →0
Δ������ 解析: (2)平均变化率 Δ������
.
=
=
11 4-2
������(4)-������(2) 4-2
4-2
=- .
1 8
1 8
答案: (1)D (2)-
-4-
3.1 变化率与导数
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x1
x2
lim Vf (x) lim f(x2 ) f (x1)
Vx x 0
x2 x1
x2 x1
lim Vf (x) f ' (x) Vx x 0
导数
• 例1 .已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则
f (1 x) f (1 x)
lim
x
3x
()
A.3
B.
3 2
1
C. 3
D.
2 3
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
（Ⅱ）f x 3ax2 2bx c ,由 f 1 0, f 2 0, f 1 5 ,
3a 2b c 0,得 12a 4b c 0, 解得 a 2,b 9, c 12 .
a b c 5.
解法二: （Ⅰ）同解法一.
（ Ⅱ ） 设 f x mx 1x 2 mx2 3mx 2m , 又
故 f x x3 3x2 9x 2,因此 f 1 1 39 2 7 ,
即函数 f x 在区间2, 2 上的最小值为 7 ．
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 7 （ 06 北 京 16 ） 已 知 函 数
f (x) ax3 bx2 cx 在 点 x0 处 取 y
得极大值 5 ,其导函数 y f (x) 的图
A
B
C
D
解析：由函数 y＝f′(x)的图象可以看出，当 0＜x＜2 时，f′(x) ＜0，此时 f(x)单调递减，立即排除 A、B、D。答案：C
利用导数求解函数的单调区间
• 例3设函数 f (x) x ln x(x 0) ，求函数
的单调区间。
利用导数求解极值和最值
• 例4.已知函数 f (x) x3 ax2 bx，在区间

重点难点
重点：导数的概念、公式及运算法则，导数 的应用
难点：①导数的定义 ②复合函数的导数及积商的导数公式
知识归纳 一、导数及有关概念
(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 ΔΔst＝ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)．如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔyx＝ fx0＋ΔΔxx－fx0趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x) 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通 常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可 导．
分析：本例所给的函数是100个因式的积， 对于这种结构形式的函数，直接求导比较困 难，可通过两边取对数后再求导，就可以使 问题简化. 但必须注意取对数时真数应为正 实数.
解析：两边取对数得 lny＝ln(x－1)＋ln(x－2)＋…＋ln(x－100)． 两边对 x 求导：y′y ＝x－1 1＋x－1 2＋…＋x－1100. ∴y′＝x－1 1＋x－1 2＋…＋x－1100·(x－1)(x－2)·…·(x －100)．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个常数， 不是变量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都 可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定 的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根 据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了 一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f ′(x)．

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(4)设 y＝ln u，u＝2x＋5，则 y′x＝y′u·u′x， ∴y′＝2x1＋5·(2x＋5)′＝2x2＋5.
探究提高
由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构， 解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外 层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干 个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
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导数的运算
例 2 求下列函数的导数：
(1)y＝ex·ln x；
(2)y＝xx2＋1x＋x13；
(3)y＝x－sin
x 2cos
x2；
(4)y＝( x＋1) 1x－1.
若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．
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解 (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·1x ＝ex(ln x＋1x)． (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
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导数的几何意义
例 4 已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程．
求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再 通过点斜式得切线方程．
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解 (1)∵P(2,4)在曲线 y＝13x3＋43上，且 y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 k＝4.
审题路线图 C1 与 C2 有交点 ↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0，y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数
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↓(导数的几何意义)
利用导数求两切线的斜率：
k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a ↓(等价转换)