导数的概念(-)

5.1.2 导数的概念及其几何意义第一课时 导数的概念课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.根据具体的实例得到导数的概念，求函数的导数，培养学生的数学抽象与数学运算素养.新知探究在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如(1)摩托车的运动方程为s ＝8＋3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛； (2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准； (3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本.问题 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率，它在数学上称为什么？ 提示 函数的导数.1.平均变化率比值Δy Δx ，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率.2.导数 导数是函数的平均变化率，当自变量的增量趋于0时的极限如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.拓展深化[微判断]1.函数在x ＝x 0处的导数反映了函数在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢程度.(×) 提示 导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的.2.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关.(√)3.设x ＝x 0＋Δx ，则Δx ＝x －x 0，则Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，f ′(x 0)＝ 0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x x → f （x ）－f （x 0）x －x 0.(√) [微训练]1.设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A.2.1 B.1.1 C.2D.0解析 Δy Δx ＝f （1.1）－f （1）1.1－1＝0.210.1＝2.1.答案 A2.设f (x )＝2x ＋1，则f ′(1)＝________. 解析 f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝0limx ∆→[2（1＋Δx ）＋1]－（2×1＋1）Δx ＝2.答案 2 [微思考]1.导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征？提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢.(2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数为函数在x＝x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.题型一求函数的平均变化率【例1】已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.【训练1】求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值.解函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f （x 0＋Δx ）－f （x 0）（x 0＋Δx ）－x 0＝[3（x 0＋Δx ）2＋2]－（3x 20＋2）Δx＝6x 0·Δx ＋3（Δx ）2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.题型二 导数定义的直接应用【例2】 利用导数的定义，求f (x )＝x 2＋1在x ＝1处的导数.解 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝（1＋Δx ）2＋1－2＝（Δx ）2＋2Δx ＋2－2， ∴ΔyΔx ＝（Δx ）2＋2Δx ＋2－2Δx ，∴f ′(1)＝ 0limx ∆→（Δx ）2＋2Δx ＋2－2Δx＝0lim x ∆→（Δx ）2＋2ΔxΔx [（Δx ）2＋2Δx ＋2＋2] ＝0limx ∆→Δx ＋2（Δx ）2＋2Δx ＋2＋2＝22.规律方法 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx .【训练2】 求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数. 解 因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋Δx1＋Δx， 所以ΔyΔx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx＝1＋11＋Δx. 0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2，所以f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数为2. 题型三 导数概念的应用【例3】 已知f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝k ，求下列各式的值： (1) 0lim x ∆→f （x 0）－f （x 0－Δx ）2Δx；(2) 0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）Δx .解 (1)∵0lim x ∆→f （x 0）－f （x 0－Δx ）x 0－（x 0－Δx ）＝f ′(x 0)，即0lim x ∆→f （x 0）－f （x 0－Δx ）Δx＝f ′(x 0)＝k .∴0lim x ∆→ f （x 0）－f （x 0－Δx ）2Δx ＝k2.(2)∵f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）（x 0＋Δx ）－（x 0－Δx ），即f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）2Δx为函数f (x )在区间[x 0－Δx ，x 0＋Δx ]上平均变化率.∴当Δx →0时，f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）2Δx必趋于f ′(x 0)＝k ，∴0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）2Δx ＝k ，∴0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0－Δx ）Δx＝2k .规律方法 由导数的定义可知，若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，则f ′(x )＝lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx，它仅与x 0有关，与Δx 无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (1－Δx )－f (1)时，分母也应该是(1－Δx )－1，要注意公式的变形.【训练3】 (1)若函数f (x )可导，则0lim x ∆→f （1－Δx ）－f （1）2Δx 等于( )A.－2f ′(1)B.12f ′(1)C.－12f ′(1)D.f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12(2)已知函数f (x )可导，且满足0lim x ∆→f （3）－f （3＋Δx ）Δx＝2，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为( ) A.－1 B.－2 C.1D.2解析 (1) 0lim x ∆→f （1－Δx ）－f （1）2Δx＝－120lim x ∆→ f [1＋（－Δx ）]－f （1）－Δx ＝－12f ′(1).(2)由题意，知f ′(3)＝0lim x ∆→f （3＋Δx ）－f （3）Δx ＝－2，故选B.答案 (1)C (2)B一、素养落地1.在学习导数定义的过程中，培养了学生的数学抽象素养，在应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.2.在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪种形式，Δy 也必须选择相应的形式，利用函数f (x )在点x 0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式. 二、素养训练1.函数y ＝1在[2，2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A.0 B.1 C.2D.Δx解析 Δy Δx ＝1－1Δx ＝0. 答案 A2.已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A.4B.4xC.4＋2ΔxD.4＋2(Δx )2解析 Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2Δx ＝4＋2Δx .答案 C3.设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于________. 解析 ∵f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝0limx ∆→a （Δx ＋1）＋3－（a ＋3）Δx ＝a ，又f ′(1)＝3，∴a ＝3. 答案 34.已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝________. 解析 f ′(1)＝ f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝0lim x ∆→1＋Δx －1Δx ＝0limx ∆→11＋Δx ＋1＝12.答案 125.若0lim x ∆→ f （x 0）－f （x 0＋3Δx ）2Δx ＝1，求f ′(x 0).解 因为0limx ∆→f （x 0）－f （x 0＋3Δx ）2Δx＝－32×0lim x ∆→f （x 0＋3Δx ）－f （x 0）3Δx ＝－32f ′(x 0)＝1. 所以f ′(x 0)＝－23.基础达标一、选择题1.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2解析 Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－32＝－1.答案 B2.设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x )＝b C.f ′(x 0)＝aD.f ′(x 0)＝b 解析 ∵Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝a ＋b Δx .∴f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝a .答案 C3.已知函数y ＝f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值为( ) A.－4 B.2 C.－2D.±2解析 ∵Δy Δx ＝f （m ＋Δx ）－f （m ）Δx ＝2m ＋Δx－2mΔx ＝－2m （m ＋Δx ），∴f ′(m )＝0limx ∆→－2m （m ＋Δx ）＝－2m 2，∴－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.答案 ±24.若可导函数f (x )的图象过原点，且满足0lim x ∆→ f （Δx ）Δx ＝－1，则f ′(0)等于( )A.－2B.2C.－1D.1解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝0lim x ∆→f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝0lim x ∆→ f （Δx ）Δx ＝－1，故选C. 答案 C5.设f (x )为可导函数，且满足0lim x → f （1）－f （1－2x ）2x ＝－1，则f ′(1)为( )A.1B.－1C.2D.－2解析 令x →0，则Δx ＝1－(1－2x )＝2x →0，所以 f （1）－f （1－2x ）2x＝0lim x →f （1）－f （1－Δx ）Δx 0lim x ∆→＝f ′(1)＝－1. 答案 B 二、填空题6.已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________. 解析 Δy Δx ＝（2＋Δx ）3－2－（23－2）Δx＝（Δx ）3＋6（Δx ）2＋12Δx Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.答案 (Δx )2＋6Δx ＋127.已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋1在x ＝x 0处的瞬时变化率为－8，则f (x 0)＝________.解析 由题知－8＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→2（x 0＋Δx ）2＋1－（2x 20＋1）Δx ＝4x 0，得x 0＝－2，所以f (x 0)＝2×(－2)2＋1＝9. 答案 98.若f ′(x 0)＝2，则0lim x ∆→f （x 0）－f （x 0＋Δx ）2Δx ＝________.解析 0limx ∆→f （x 0）－f （x 0＋Δx ）2Δx＝－120lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝－12f ′(x 0)＝－1. 答案 －1三、解答题9.一条水管中流过的水量y (单位：m 3)与时间t (单位：s)之间的函数关系为y ＝f (t )＝3t .求函数y ＝f (t )在t ＝2处的导数f ′(2)，并解释它的实际意义. 解 因为Δy Δt ＝f （2＋Δt ）－f （2）Δt ＝3（2＋Δt ）－3×2Δt ＝3，所以f ′(2)＝0lim x ∆→ΔyΔt ＝3.f ′(2)的实际意义：水流在t ＝2时的瞬时流速为3 m 3/s. 10.求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数. 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(2Δx ＋16)＝16.能力提升11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，已知f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f （1）f ′（0）的最小值为________.解析 由导数的定义，得f ′(0)＝0limx ∆→f （Δx ）－f （0）Δx＝0lim x ∆→a （Δx ）2＋b （Δx ）＋c －cΔx ＝0lim x ∆→[a ·(Δx )＋b ]＝b >0.又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f （1）f ′（0）＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.当且仅当a ＝c ＝b2时等号成立. 答案 212.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？解 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为 h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多.创新猜想13.(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则0lim h f （x 0＋h ）－f （x 0）h的值( ) A.与x 0有关B.与h 有关C.与x 0无关D.与h 无关解析 由导数的定义可知，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关，故选AD.答案 AD14.(多空题)过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1，2)和Q (1＋Δx ，2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx .当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.答案 2.1 2.001高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算学习目标了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________. 答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3＋12f ′⎝⎛⎭⎫π3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x －sin 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，则f (2 021)－f (0)等于( ) A ．e 2 021cos 2 021 B ．e 2 021sin 2 021 C.e2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， 所以f (x )＝e x sin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2 021)－f (0)＝e 2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝a x ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解， 令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立， 所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x－2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4， 当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ， 由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x +， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x+-， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞， x →＋∞时，f (x )→＋∞， ∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为 y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2 B ．5 C ．1 D ．0答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)， 切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x 答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln 10)′＝0，∴C 错； (e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433 D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b＋c －a 的值为( ) A ．0 B ．π C ．－2 D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. 7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确． 设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，3π4上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x 答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数； 对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x ＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数； 对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数； 对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数． 9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ， f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e xcos x －e xsin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝⎛⎭⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0， 解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1， 则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c－1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线 ，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，2ln 2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧k 1＝1e x m+＝2x 2(k 1>0)，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1(x 2－x 1)＝x 22－1ex m+，故k 1⎝⎛⎭⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1， 整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减， 故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。

大学导数知识点总结一、导数的概念导数是微积分中一个非常重要的概念，它是某一函数在某一点上的变化率。

在几何意义上，导数表示了曲线在某一点的切线斜率；在物理学中，导数表示了物体在某一时刻的速度和加速度。

因此，导数在数学、物理、经济等领域中都有着非常广泛的应用。

设y=f(x)，x为自变量，y为因变量。

如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，则称函数f(x)在点x=a处可导，记作f'(a)。

导数f'(a)就是函数f(x)在点x=a处的瞬间变化率，也就是函数的斜率。

导数的计算是微积分中的一个重要内容，它可以通过极限的方法来求得。

二、导数的计算方法求导数的过程即为求函数的瞬间变化率的过程，常用的方法有以下几种：1. 函数的基本求导公式：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等求导公式。

这些基本求导公式是求导的起点，通过它们可以得到更复杂函数的导数。

2. 导数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么f(x)与g(x)的和、差、积、商函数在点x=a处的导数可分别表示为(f+g)'(a)、(f-g)'(a)、(fg)'(a)、(f/g)'(a)。

3. 复合函数求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

4. 隐函数求导：对于以x和y为自变量的方程，如果y不能表示为x的函数形式，则称y是x的隐函数。

对隐函数求导需要利用隐函数求导的公式。

5. 参数方程求导：对参数方程x=x(t)和y=y(t)所确定的轨迹求切线斜率时，需要计算dy/dx=y'(t)/x'(t)。

6. 反函数求导：如果函数y=f(x)在一段区间内是单调、连续、可导的，并且f'(x)≠0，则其反函数在对应区间内也是可导的，且有f^(-1)'(y)=1/f'(x)，即反函数的导数等于原函数导数的倒数。

导数的概念
一．导数的概念：
在数学中，函数()y f x =在0x 点处的瞬时变化率也叫函数在0x 处的导数，通常用符号 记作： 。

二．问题解决：
例1：一条水管中流过的水量y （单位：m 3）是时间x （单位：s ）的函数()3y f x x ==，求函数()y f x =
在2x =处的导数'(2)f ，并解释它的实际意义。

例2：一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量量y （单位：kg ）是时间x （单位：h ）的函数()y f x =。

假设函数()y f x =在1x =和3x =处的导数分别为'(1)4f =和'(3) 3.5f =，试解释它们的实际意义。

二．当堂检测：
1.服药后，人体血液中药物的质量浓度y （单位：ug/mL ）来表示，它是时间t （单位：min ）的函数，表示为()y f t =，假设函数()y f t =在10t =和100t =处的导数分别为'(10) 1.5f =和'(100)0.6f =-，试解释它们的实际意义。

2.设x （单位：km ）表示从一条河流的某一处到某源头的距离，y （单位：km ）表示这一点的海拔高度，y 是x 的函数()y f x =。

假设函数()y f x =在100x =处的导数为'(100)0.1f =-，试解释它的实际意义。