具非线性边界条件的非牛顿渗流方程整体弱解的存在唯一性

中 图分 类 号
ｌ 引
言
考虑非 线性 边 界 条件 的 ｐ ｌ ｌ ｅ渗 流方程 ： － ｐａ ａ ｃ
｛一ｉ 。 ｆ ｄ Ｖ ‘
Ｉ Ｉ 。 一一
（ ｚ
‘￡ ｎ ‘丁一ｒ ｚ ∈ ×０ ）Ｑ ’ ， ，
∈ × （， ０ 丁）一 Ｓ ， ｒ
ｚ ∈ ｎ，
广 ｒ
（ ）ｎ 上 （ ， ， ０ Ｔ； ・（ ） （ ） Ｗ ｎ） 为 １ 的弱
Ｊ Ｉ Ｉ 。 ・ 一 ） ￡ Ｉ￡ｑ ｄ— Ｉｇｚ ，）ｘ ｌ Ｖｕ （ ｑ 捌 ＋ ，ｘ ｔ ／ ） ０ｄ Ｉｔ Ｓ ＇ ｚ Ｏ （
ｆ Ｊ ｓ＿ ｒ Ｊｎ
其 中检验 函数 — Ｌ （ ， ０ 丁； ． ｎ） ・ ０ 丁； ｎ） 且 丁）一 ０ Ｗ１ （ ）ｎ ｐ ， （ Ｌ（ ） ．关 于 弱解 的存在 性 及唯 一性 ， 们得 到 以下 主要结 果． 我
・ 收 稿 日期 ：０ ６ ０ — ３ ２ ０— ５ ０ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 ： 线 性 偏 微 分 方 程 （０ ３ ０ ０ 国 非 １１１５）
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数 学 研 究
定理 １ 若 初值 Ｕ 。∈ Ｌ ｎ）ｎ Ｗ （ 且 Ｕ （ ＇ ｎ） 一 。 ０ 那么 方程 （ ） 在非 负 的弱 解 ． ， １ 存 定理 ２ 如 果 Ｕ 分 别为方 程 （ ） ， １ 的具初 值 为 Ｕ ， ∈ Ｌ （ 的弱 解 ， 么对 任意 的 丁＞ 。 ｏ ｎ） 那
一
性 ， 的正则 性 ， 的初 始 迹 问题 的研 究 已 日趋 完善 Ｃ． 解 解 ｑ 但对 于非 线 性第 二边 值 问题 的 研究
我们 还没有 见 到．本 文 的 目的是 给 出非线 性边 值 问题 解 的存在 唯一性 证 明．
２ 主 要 结 果
定义 １ 设 Ｕ Ｏ∈ Ｌ ｎ）ｎ Ｗ （ ， （ ’ ｎ） 函数 ∈ 解， 如果 满足 ：
（ ｚ
（ ｔ ｚ，）∈ Ｑｒ，
． ＋）面 叫 ｊ ０ ｕ ． 一
（ ｚ，ｏ ）一
（ ｔ ｚ， ）∈ Ｓ ， ｒ
ｚ ∈ｌ （ １ Ｕ １ ｎ ）
且满 足相容 性 条件 ：
Ｉ ｏ１一ｎ ＋ １ ｌ Ｌ（ ｌ ） Ｕ ，
引理 １ 设 Ｕ 为方 程 （ ． Ｐ ）的解 ， 对任 意 的 Ｔ ＞ ０ 存 在仅依 赖 于 ｌ 。１一ｎ 的常 数 Ｃ满 都 １ ｌ Ｕ
足：
０ Ｕ
Ｃ（１ ０１ （ ） ｌ ｎ １ Ｕ ）
证 令 ｛ ；‰ （ 一 ：ｚ ） 其 （一 明 ＝ ， 一 ∑ （‰ ， 中 ｚ Ｌ ） ） ｔ （＾ ）
【 ｚ０ 一‰ （ ，） （ ｚ）
．
设 在 点 （ ， ｏ ｔ）以 得 正 的 极 大值 ．若 点 （ ，ｔ）在 Ｑ ｏ 内 部 取 得 ， 则 （ 。 ｏ ｚ ，ｔ ）
（ ＋ ｉ ∑ Ⅳ ）＋ － ｃ
ｆ ＋ 蜘 一 Ｏ
１ ．
（ ∈ Ｑｒ ｚ，） ，
ｚ ∈ 力。
容易证 明 矩阵 （ ） Ⅳ Ⅳ是 正定 的．取 一 ｕｅ ， ＞ ０ 则 （ 变 为 ： ｎ一 ａ ， Ｐ）
｛ 一 ３一 ） ， （ ＋） ｖ 一 １ 一
（ ２）
ｌ “．ｌ （ Ｃ（Ｉ ‰ Ｉ （ ） １ ０ １ ｎ ＾ ） Ｉ Ｉ ｎ ）
（） ３
（ Ｉ 百 一 １ ）０ ｚ ＋ Ｕ ｏ ， ．
和
ｚ ∈
ｌ 一 Ｕ Ｌｎ １ Ｕ ｏ１ｌ ） ０ 当 ｎ ∞ ． ｌ （ 根据古 典 解理论 ， 对任 意 Ｔ ＞ ０ （ ，Ｐ ）在 Ｑ 中具 有 唯一 光滑解 Ｕ． ．
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总 ４ ０卷
第 ２ 期
数 学 研 究
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａｉａ Ｓ ｕ ｙ ｏ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｌ ｔ ｄ ｏ ｃ
Ｖ ｏ１ ０ Ｎ ｏ ．４ ．２
２０ ０ ７年 ６月
Ｊ ｎ ２ ０ ｕ． ０７
具 非 线 性 边 界 条 件 的 非 牛 顿 渗 流 方 程 整 体 弱 解 的 存 在 唯 一 性
（） １
【ｘ Ｉ（ ｕ
，
０ ）一 Ｕ （ ０ ｚ）
’
其 中 ｎ是具有 光 滑边 界 的有 界 区域 ，／ 是 对外 法 向 求导 ， ２ ｍ 是正 常数 ， ≥ ０ ‰ ∈ ａ却 Ｐ ， ‰ 且
Ｌ ｎ）ｎ （ Ｗ （ ． ｎ）
问题 是 描 述 非 牛 顿 流 体 通 过 多 孔 介 质 时 的 数 学 模 型 ， 中 表 示 流 体 的 密 度．关 于 其 ／ ｌ ｌ ｅ方程 的研 究 ， ３ ）ａ ａ 一ｐ ｃ 在 ０年 前就 已开 始 ．其 中对 Ｃ ｕ ｈ 。 ａ ｃｙ问题和 第一边 值 问题 的存在 唯
于 海 波
（ 门大 学 数学 系 ． 建 厦 门 ３ １ ０ ） 厦 福 ６ ０ ５
摘
要
证 明 了一 类 具 有 非 线 性 边 值 条 件 的 非 牛 顿 渗 流 方 程 解 的 存 在 和 唯 一 性
Ｏ １ ５ ２ ７ ． ９ 文献标识码 Ａ
关 键词 非 牛 顿 渗 流 方 程 ； 体 弱 解 ；存 在 性 ；唯 一 性 整
０都 有
ｊｌ（ 一 ￡ｌｘ Ｉ Ｉ “￡ （ ） ）ｄ
ｎ Ｊ ｎ
一 ｌｘ Ｖ￡ ０ 丁 ． ， ｄ ∈［， ］
３ 主 要 结 果 的 证 明
３ １ 弱解 的 存 在 性 ．
为研究 （ ） 的存 在性 ， １解 我们 考虑 其逼近 问题 ：
ｖ
（ ＋） “ ）