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[推荐学习]2018年高考数学考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量21两角和与差的正弦余弦和正考点测试21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、基础小题1.sin20°cos20°cos50°＝( )A．2 B.22C. 2D.12答案 D解析原式＝sin40°2cos50°＝sin40°2sin40°＝12.2．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)A.12B.32C．－12D．－32答案 A解析cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12，故选A.5．下列各式中，值为32的是( )A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°答案 B解析2sin15°cos15°＝sin30°＝12，cos215°－sin215°＝cos30°＝32，2sin215°－1＝－cos30°＝－32，sin 215°＋cos 215°＝1.故选B.6．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79答案 A 解析sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.7．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327答案 D解析 ∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝223，∴sin2α＝429，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.8.3－sin70°2－cos 210°＝________. 答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos20°＋12＝23－cos20°3－cos20°＝2.二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅱ]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析 解法一：sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D.解法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35⇒cos α＋sin α＝325⇒1＋sin2α＝1825， ∴sin2α＝－725.故选D.10．[2015·全国卷Ⅰ]sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D 解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D. 11．[2016·四川高考]cos 2π8－sin 2π8＝________.答案 22解析 由二倍角公式易得cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.12．[2015·四川高考]sin15°＋sin75°的值是________．答案 62解析 sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62.13．[2015·江苏高考]已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ的值为________．答案 3解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα＝17－－21＋17×－2＝3.三、模拟小题14．[2017·河北唐山调研]sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝( )A．－12B.32C.22D.12答案 D解析sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12，故选D.15．[2017·合肥模拟]若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7 B.17 C ．－7 D ．－17答案 B解析 解法一：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即sin αcos βsin β－cos αsin 2β－cos αcos 2β－sin αsin βcos β＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.解法二：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.16．[2016·洛阳统考]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3 答案 B解析 依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.17．[2017·江西九校联考]已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23 B.13 C.35 D.23答案 B解析 由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tan α2＝sin α2cosα2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13.18．[2017·长沙调研](1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)·(1＋tan18°)的值是( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 (1＋tan17°)(1＋tan28°)＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°，tan45°＝tan17°＋tan28°1－tan17°tan28°＝1，∴1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝2，∴(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)(1＋tan18°)＝4，故选B.一、高考大题1．[2015·广东高考]已知tanα＝2.(1)求tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．解(1)tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝2＋11－2＝－3.(2)原式＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 2．[2014·江西高考]已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解 (1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，得θ＝π2， 所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.二、模拟大题3．[2016·深圳模拟]已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值； (2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解(1)解法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α.由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.解法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12×1＝－13.(2)解法一：sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α ＝tan α－12＝－13－12＝－56.解法二：由(1)知tan α＝－13，得sin α＝－13cos α. ∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.∴sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.4．[2017·广西南宁质检]已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin2x －cos2x )＋cos2x＝12(sin2x ＋cos2x )＋12. 由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35， 所以，f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得，f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π.∴－22≤sin⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.5．[2017·合肥质检]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求：(1)sin2α； (2)tan α－1tan α.解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2·－3212＝2 3.(或者∴2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝2 3.)6．[2017·江西八校联考]已知向量a ＝⎝ ⎛ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， f (x )＝2a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6.因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， 所以当x ＝π3时，f (x )取最大值1. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32， 所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.。
2018-2019学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2018.17、设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是 ▲ 答案：42511、在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲ 12、已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 ▲16、（本题满分14分）已知向量)sin ,(sin B A =，)cos ,(cos A B =，C n m 2sin =⋅， 其中A 、B 、C 为ABC ∆的内角. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)(=-⋅，求AB 的长. 解：(Ⅰ))sin(cos sin cos sin B A A B B A +=⋅+⋅=⋅ ………………………(2分)对于C B A C C B A ABC sin )sin(0,,=+∴<<-=+∆ππ，.sin C =⋅∴………………………(4分)又C n m 2sin =⋅ ，.3,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C ………………………(7分) (Ⅱ)由B A C B C A sin sin sin 2,sin ,sin ,sin +=得成等差比数列， 由正弦定理得.2b a c +=………………………(9分)18,18)(=⋅∴=-⋅ ，即.36,18cos ==ab C ab……………………(12分)由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c …………………(14分)江苏省2018高考数学模拟题(压题卷)3．已知点O 为△ABC 的外心，且4AC = ，2AB =，则AO BC ⋅ 的值等于 6 ．4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a，则c 的最大值是2． 6. 已知2πn x ≠，函数xx 22cos 4sin 1+的最小值是 8 . 二、1．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，向量(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =，cos m n B C ⋅=- ． (1)求角A 的大小；(2)若a =3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)cos cos sin sin m n A B A B ⋅=+，又cos()m n B A B ⋅=++cos cos sin sin B A B A B =+-，s i n 2s i ns i n B B A =， sin 2A =， 3A π∴=或23A π=． (2)2222cos a b c bc A =+-， ①当3A π=时，229b c bc bc +-=≥，1s i n 2s b c A b ∴=；②当23A π=时，2293b c bc bc =++≥，故3bc ≤，1sin 2S bc A ∴=≤．六、函数题1．如图，海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈．(1)若BC l =,求养殖场面积最大值；(2)若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ， 使B D D C l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积．解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>2222cos222cos2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，22222cos 24sin l l xy θθ≤=-，22211cos sin 22sin cos 224sin 4sin l l S xy θθθθθθ=≤⋅⋅=， 所以，△ABC 面积的最大值为2cos 4sin l θθ，当且仅当x y =时取到．(2)设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2BC c =(定值) ，由2DB DC l a +==，a =12l ，知点D 在以B 、C 为焦点的椭圆上，1sin 22ABC S mn θ∆=为定值． 只需D B C ∆面积最大,需此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点． BCD b S ∆==面积的最大值为122c b c ⋅⋅=因此,四边形ACDB 面积的最大值为1sin 22m n c θ⋅⋅+2． 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60o （海岸——可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离,BC D =为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设()CD x km =，点D 对跑道AB 的视角为θ．(1)将tan θ表示为x 的函数； (2)求点D 的位置，使θ取得最大值．解：(1)过A 分别作直线CD ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ．由题知， 4.5,906030AB BC ABF ==∠=︒-︒=︒，所以94.5sin 30, 4.5cos304CE AF BF AE CF BC BF ==⨯︒==⨯︒===+=，因为(0C D x x =>，所以tan BC BDC CD ∠== 当94x >时，9,tan 4AE ED x ADC ED=-∠=494x ==-（如图1），当904x <<时, 9,4ED x =-tan AE ADC ED ∠=-=(如图2)， 所以tan tan tan()ADB ADC BDC θ=∠=∠-∠tan tan 1tan tan ADC BDC ADC BDC ∠-∠==+∠⋅∠=0x >且9.4x ≠ 当94x =，tan 48CE BC θ==符合上式．所以tan 0x θ=>.(2)4)tan ,0400(49)3004(4)414x x x x x x θ+==>-+++-+，因为4004(4)4141394x x ++-≥=+， 当且仅当4004(4)4x x +=+，即6x =时取等号． 所以当6x =时，4004(4)414x x ++-+取最小值39， 所以当6x =时，tan θ取最大值13由于tan y x =在区间(0,)2π上是增函数，所以当6x =时θ取最大值，答：在海湾一侧的海岸线CT 上距C 点6km 处的D 点处观看飞机跑道的视角最大．2019届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题9.在△ABC 中,已知b =22,a =2,如果三角形有解,则角A 的取值范围是 答案：(0,π4]二、16．(本小题满分14分) 在∆ABC 中，点M 是BC 的中点，∆AMC 的三边长是连续三个正整数，tan ∠C •tan ∠BAM=1 (1)判断∆ABC 的形状；(2)求∠BAC 的余弦值。
