三角函数解三角形题型归类
一知识归纳：
（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．
(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180
rad ，
1 rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12
lr
＝12
|α|·r 2. 3．任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α
＝ ．
（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α
＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x
(x ≠0)
4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念
1．三角函数诱导公式⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质 奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)． 2．两角和与差的三角函数公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.
3．二倍角公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos 2
α－sin 2
α＝2cos 2
α－1＝1－2sin 2
α，
cos 2
α＝1＋cos 2α
2
，
sin 2
α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α
. （三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝2R (其中R 是外接圆的半径)；
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
.
2．余弦定理及其变形
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a
2
2bc
.
b 2＝ ； cos B ＝ ；
c 2＝ . cos C ＝ .
3.三角形面积公式:
S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝
abc 4R ＝1
2
(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
2．整体法：求y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．
3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的
最小正周期为2π
|ω|
，y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为
π
|ω|
.
(2016年全国卷1)
4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知5a =
，
2c =，2
cos 3
A =
，则b = （A ）2
（B ）3
（C ）2
（D ）3
6.将函数2sin(2)6
y x π=+的图象向右平移14
个周期后，所得图象
对应的函数为 （A ）2sin(2)
4
y x π=+
（B ）2sin(2)3
y x π=+
（C ）2sin(2)
4
y x π=-
（D ）2sin(2)3
y x π=-
14.已知θ是第四象限角，且3
sin()45
πθ+=
，则
tan()4π
θ-=
————————————． (2015年 全国卷1)
8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
（A ）13(,),44
k k k Z ππ-+∈
（B ）13(2,2),44
k k k Z ππ-+∈
（C ）13(,),44
k k k Z -+∈
（D ）13(2,2),44
k k k Z -+∈
17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.
