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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换...........................................................................1题型二：三角函数与向量综合...............................................................4题型三：三角函数的图像与性质...........................................................8题型四：正余弦定理的应用.................................................................20题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................38题型六：三角函数的建模应用.............................................................50题型七：结构不良型试题 (56)(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -．【答案】(1)1313(2)5(3)26-解析：(1)由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；(2)由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-(舍去)．(3)由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C = ，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【答案】(1)31010(2)6解析：(1)3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin 10A ∴=．(2)由(1)知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==．3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos 2α的值；(2)求tan()αβ-的值．【答案】解析：(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，29cos 25α=，因此27cos 22cos 125αα=-=-．(2)因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈．又因为5cos()5αβ+=，所以25sin()5αβ+=，因此，tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++．4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin(π)α+的值;(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β值．【答案】(1)45；(2)5665-或1665．【解析】(1)由角α终边过点34(,55P --得4sin =5α-，所以4sin =sin =5απα+-（）．(2)由角α终边过点34(,55P --得3cos =5α-，由5sin()13αβ+=得12cos +=13αβ±（）．由()βαβα=+-得cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++当12cos()13αβ+=时，1235456cos 13513565β⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当12cos()13αβ+=-时，1235416cos 13513565β⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以56cos =65β-或1665．5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)求A 的值；(2)若23)()(=-+θθf f ，2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．【答案】解：(1)依题意有55233sin sin 12124322f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =(2)由(1)得()),4f x x x Rπ=+∈，()()3sin sin 442f f ππθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+==⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦cos 4θ∴=，(0,)sin 24πθθ∈∴=== 33304444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎝⎭⎝⎭6．(2014高考数学江苏·第15题)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．【答案】(1)1010-；(2)43310+-解析：(1)因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α＝55，所以cos α＝255=-．故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝252510⎛⎫⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝42555⎛⨯⨯-=- ⎝⎭，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝314525⎛⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量(,cos 2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-．(Ⅰ)求,m n 的值；(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)⎩⎨⎧==13n m (Ⅱ)z k k k ∈+-],,2[πππ解析：(Ⅰ)已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin 12(=+=∴πππn m f 234cos 34sin )32(-=+=πππn mf 1221222m n m n ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m ．(Ⅱ))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f )(x f 左移ϕ后得到622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 解得00=x 2)0(=∴g ，解得6πϕ=x x x x g 2cos 222sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππ222,k x k k Zπππ∴-+≤≤∈,2k x k k Z πππ∴-+≤≤∈)(x f ∴的单调增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】(1)5π6x =(2)0x =时,()f x 取得最大值,为3;5π6x =时,()f x取得最小值,为-．解析:解:(1)因为 cos ,s n )i (x x = a,(3,= b ,a b ,所以3sin x x =．若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠．于是3tan 3x =．又[0,]x π∈,所以5π6x =．(2)π(cos ,sin )(3,3cos s ()o (6f x x x x x x =⋅=⋅==+ a b ．因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤．于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-．3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：(1)a 和c 的值；(2)cos()B C -的值．【答案】(1)a =3，c =2；(2)2327解析：(1)2BA BC ∙= ，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙= ，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a c b B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a =3，c =2；(2)12cos ,sin 33B B =∴== ，因为a =3，3b =，c =2，由余弦定理可得2227cos29a cb Cab -+==，42sin 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．解析2：(2)在△ABC 中，1cos ,sin 33B B =∴==，根据正弦定理sin sin b cB C=可得sin 42sin 9c B C b ==，a b c => ，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7142223cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)2．分析：(Ⅰ)先利用//m n可得sin sin 0a B -A =，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；(Ⅱ)由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C ∆AB 的面积．解析：(Ⅰ)因为//m n，所以sin cos 0a B A =，由正弦定理，得sinA sinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<，所以3A π=(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-而2,a ==3πA =得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB的面积为1bcsinA 22=．解法二：由正弦定理，得72sin sin 3π=B，从而21sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =．故()321sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314B B πππ⎛⎫=+=B +=+=⎪⎝⎭所以C ∆AB的面积为133bcsinA22=．5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．(1)若m n ⊥，求tan x的值;(2)若m与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】解析：(1) ,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin,cos )n x x =，且m n ⊥ ，sin sin cos 0,sin cos ,tan 122cos x m nx x x x xx∴⋅=-=∴===(2)11sin cos ||||cos ,sin()223242m n x x m n x ππ⋅=-=⋅=∴-=5(0,,,,24444612x x x x πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,22a R ππθ∈∈-(1)当4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值．【答案】(1最小值为-1．(2)1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当4a πθ==时,22()sin(sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+=-,再结合基本三角函数性质求最值:因为[0,]x π∈,从而3[,]444x πππ-∈-,故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可．由(02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解析:解(1)当4a πθ==时,22()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+-=-因为[0,]x π∈,从而3[,444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,)22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2．(2019·浙江·第18题)设函数()sin f x x =，x ∈R ．(Ⅰ)已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(Ⅱ)求函数22[([(124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C5．（2017新课标Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减6．（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=7．（2016北京）将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6π B ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D ．t =，s 的最小值为3π8．（2016山东）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．32πD ．2π9．（2016全国I ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-，≤为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 10．（2016全国II ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈11．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位12．（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(2)2y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x =+13．（2015新课标Ⅱ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈14．（2015安徽）已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+（Α，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是 A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 15．（2014新课标Ⅰ）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③16．（2014浙江）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位17．(2014安徽)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y轴对称，则ϕ的最小正值是A ．8π B ．4πC ．83πD ．43π18．（2014福建）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭19．（2014辽宁）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 20．（2013广东）已知51sin()25πα+=，那么cos α=A ．25-B ．15-C ．15D ．2521．（2013山东）将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为A ．34π B ．4πC ．0D ．4π- 22．（2013福建）将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π23．（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π424．（2012安徽）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 25．（2012浙江）把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是26．（2012山东）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A ．23-B ．0C ．－1D ．13-27．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．228．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是 A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(29．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23 B ．32C ．2D ．330．（2011新课标）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称31．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦32．（2011辽宁）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．3B 3C 3D ．23 二、填空题33．(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．34．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_____． 35．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．36．（2016年全国III ）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．37．(2015浙江)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________，单调递减区间是_______．38．（2014山东）函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 39．（2014江苏）已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 40．（2014重庆）将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 41．（2014安徽）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________．42．(2013新课标Ⅰ)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= ． 43．（2013新课标Ⅱ）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________．44．（2013江西）设()cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数a 的取值范围是 ．45．（2013江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .46．（2011江苏）函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f = ．47．(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)． 48．（2010江苏）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为 ．49．（2010福建）已知函数()=3sin()(>0)6f x x πωω-和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对称轴完全相同．若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 ．三、解答题50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =ππ-［，］上的解．51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．（1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 52．（2017山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．53．（2016年天津）已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性．54．（2015北京）已知函数2()cos 222x x x f x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．55．（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：((Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．56．（2014福建）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．57．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．58．（2014福建）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (Ⅰ)若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 59．（2014北京）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．60．（2014天津）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 61．（2014重庆）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值．62．(2013山东)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π． (Ⅰ)求ω的值； (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值．63． (2013天津)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R ．(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．64．（2013湖南）已知函数()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求2()3f π的值； （2）求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．65．(2012安徽) 设函数2())sin 4f x x x π=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2g x f x =-； 求()g x 在[,0]π-上的解析式． 66．（2012湖南）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．67．（2012陕西）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值． 专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质答案部分 2019年1.（2019北京9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.22010-2018年1．A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减，则由04ππ+≤≤x ，得344ππ-≤≤x ． 因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，解法二 因为()cos sin =-f x x x ，所以()sin cos '=--f x x x ， 则由题意，知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立， 即sin cos 0+≥x x)04π+≥x ，在[,]-a a 上恒成立，结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，所以04π<≤a ， 所以a 的最大值是4π，故选A ． 2．A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象，由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )，令1k =，得3544x ππ≤≤， 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ，故选A ． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 4．D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦，2C ：22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C ．选D5．D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π，k ∈Z ，所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-，所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+，而3()cos 062g ππ==，C 正确；选D ．6．A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T，所以3T π=或T π=， 又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ； 由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+， 即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ．7．A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin62π=，又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ．8．B 【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ． 9．B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，所以2π24kT T=+（k Z ∈，T 为周期），得221T k π=+（k Z ∈）．又()f x 在5(,)1836ππ单调，所以11,62T k π厔，又当5k =时，11,4πωϕ==-，()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时，9,4πωϕ==，()f x 在5(,)1836ππ单调，满足题意，故9ω=，即ω的最大值为9．10．B 【解析】函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()ππ26k x k =+∈Z ，所以所求对称轴的方程为()ππ26k x k =+∈Z ，故选B ． 11．B 【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位． 12．A 【解析】采用验证法，由cos(2)sin 22y x x π=+=-，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ． 13．D 【解析】由图象可知242m ωπϕπ+=+，32425ωm πϕπ+=+，m Z ∈， 所以,2,4m m Z πωπϕπ==+∈，所以函数()cos(2)cos()44πππππ=++=+f x x m x 的单调递减区间为，224k x k πππππ<+<+，即132244k x k -<<+，k Z ∈．14．A 【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=， ∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<， ∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<．15．A 【解析】①|2|cos x y =，最小正周期为π；②|cos |x y =，最小正周期为π；③)62cos(π+=x y ，最小正周期为π；④)42tan(π-=x y ，最小正周期为2π．最小正周期为π的函数为①②③．16．A 【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到)4y x π=-的图象，故选A ．17．C 【解析】())4f x x π=+，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+-，由该函数为偶函数可知2,42k k Z ππϕπ-=+∈，即328k ππϕ=+，所以ϕ的最小正值是为38π． 18．D 【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()sin()cos 2f x x xπ=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ； 因为()cos022f ππ==，所以()cos f x x =不关于直线2x π=对称，排除C ；故选D ．19．B 【解析】 将3sin(2)3y x π=+的图象向有右移2π个单位长度后得到 3sin[2()]23y x ππ=-+，即23sin(2)3y x π=-的图象，令2222232k x k πππππ-+-+≤≤，k Z ∈， 化简可得7[,]1212x k k ππππ∈++，k Z ∈， 即函数23sin(2)3y x π=-的单调递增区间为7[,]1212k k ππππ++，k Z ∈， 令0k =．可得23sin(2)3y x π=-在区间7[,]1212ππ上单调递增，故选B ．20．C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C.22．B 【解析】把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=， 所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ， 观察选项，故选B23．A 【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈）， ∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.24．C 【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2()cos(21)2y x x =+=+． 25．A 【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．26．A 【解析】709,,sin()1,3636263x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤∴-≤-≤max min 2,y y ∴==故选8．27．D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．28．A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ，所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数，需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥，解得1524ω≤≤． 29．B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=． 30．D 【解析】∵()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++)22x x π+=，所以2y x =在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即()2k x k Z π=∈．31．C 【解析】因为当x R ∈时，()|()|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(2)6f x x π=-，由5222262k x k πππππ-+-+≤≤（k Z ∈）， 得263k x k ππππ++≤≤（k Z ∈），故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）． 32．B 【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8π，所以30tan(2)8A πϕ=⨯+，即34k πϕπ+= ()k Z ∈ 所以3()4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ<，所以4πϕ=， 又图象过定点(0,1)，所以1A =．综上可知()tan(2)4f x x π=+，故有()tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==33．23【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故()14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )， 又0ω>，∴min 23ω=． 34．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．35．π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<， 则232ππϕ+=，6πϕ=-．36．32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π==-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到． 37．π、]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)【解析】23)42sin(22)(+-=πx x f ，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)．38．π【解析】22cos y x x =+=1112cos 2sin(2)2262y x x x π=++=++，所以其最小正周期为22ππ=． 39．6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．40．2【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin()26f x x π=+的图象，所以=⎪⎭⎫⎝⎛6πf 1sin()sin 2664πππ⨯+==41．38π【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+-∴2()42k k Z ππϕπ-=+∈，∴()82k k Z ππϕ=--∈，当1k =-时min 38πϕ=．42．5-【解析】∵()f x =sin 2cos x x -)x x令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=. 43．56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+， 即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++ 5cos(2)6x π=+，即56πϕ=．44．2a ≥【解析】()3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥． 45．π【解析】2==2T ππ．46A =，741234T πππ=-=，所以T π=，22Tπω==，又函数图象经过点(,0)3π，所以23πϕπ⨯+=，则3πϕ=，故())3f x x π=+，所以(0)3f π==．47．①③【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=++（其中tan b aϕ=），因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111())012126f πππ=⨯+=，所以①正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()|||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故②错；③明显正确；④错误：由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象（图略）可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．48．23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =，解得sin x =23．线段12P P 的长为23． 49．3[,3]2-【解析】由题意知，2ω=，因为[0,]2x π∈，所以52[,]666x πππ-∈-，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin ()=62π--，最大值为3sin =32π，所以()f x 的取值范围是3[,3]2-．50．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ， 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=-f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)6π+=x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1， 对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．51．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x = 又[0,]x π∈，所以56x π=．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-52．【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )22x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-．因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-． 53．【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．()4tan cos cos()3f x x x x π=--4sin cos()3x x π=--14sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==． ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I ． 所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减．54．【解析】（Ⅰ）因为()cos )f x x x =-sin()4x π=+所以()f x 的最小正周期为2π． （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤． 当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值．所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--． 55．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 56．【解析】解法一：（Ⅰ）5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos(sincos )444πππ=---2=（Ⅱ）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（Ⅰ）511()112444f πππ=+=+=．（Ⅱ）22T ππ==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.57．【解析】（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃．（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤．当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-． 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.58．【解析】解法一：(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以cos 2α=．所以11()()22222f α=+-=． (Ⅱ)因为2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)2224x x x π=+=+, 所以22T ππ==.由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)224x x x π=+=+（Ⅰ）因为0,2πα<<sin 2α=所以4πα=从而31()sin(2)24242f ππαα=+== （Ⅱ）22T ππ== 由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 59．【解析】：（I ）()f x 的最小正周期为π，076x π=，03y =.（II ）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.60．【解析】（Ⅰ）由已知，有21()cos sin 224f x x x x x 骣÷ç÷=?-+ç÷ç÷ç桫21sin cos 224x x x =?+)1sin 21cos2444x x =-++1sin 24x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以，()f x 的最小正周期22T pp ==. （Ⅱ）因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数. 144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫.所以，函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-.61．【解析】：（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==.又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±L 因22ππϕ-≤<得0k =．所以2236πππϕ=-=-.（II ）由（I ）得22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+=．62．【解析】(1)()f x ＝22ωx －sin ωx cos ωx1cos 21sin 222x x ωω--ωx －12sin 2ωx ＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 又ω＞0，所以2ππ=424ω⨯．因此ω＝1． (2)由(1)知()f x ＝πsin 23x ⎛⎫--⎪⎝⎭．当π ≤x ≤3π2时，5π3≤π8π233x -≤．所以πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因此－1≤()f x ≤2．故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1．63．【解析】(1)()f x ＝sin 2x ·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以，()f x 的最小正周期T ＝2π2＝π． (2)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．又f (0)＝－2，3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为－2． 64．【解析】(1)41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos (cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以． （2）由（1）知，111()sin(2)sin(2)0(2)(2,2)264466f x x x x k k ππππππ=++<⇒+<⇒+∈- .),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：65．【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+- 11sin 222x =-． （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=．当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈,11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈,11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩．66．【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==． 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即．又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ． 又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 67．【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=． 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+．（Ⅱ）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=．。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（ 3 题）1.（2015 年1 卷2）o o o osin20cos10cos160sin10=（）（A）32（B）32（C）12（D）12【解析】原式= o o o osin20cos10cos20sin10=osin30=12，故选 D.考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016 年3 卷）（5）若tan 34，则2cos2sin2（）(A) 6425(B)4825(C) 1 (D)1625【解析】由tan 34，得34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin24252525，故选A．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016 年2 卷9）若cos π345，则sin2=（A）725（B）15（C）15（D）725【解析】∵cos345，ππ72sin2cos22cos12425，故选D．二、三角函数性质（ 5 题）4.（2017年3卷6）设函数πf(x)cos(x)，则下列结论错误的是（）3A．f(x)的一个周期为2πB．y f(x)的图像关于直线8πx对称3C．f(x)的一个零点为πx D．f(x)在6π(,π)2单调递减【解析】函数πf x cos x的图象可由y cos x向左平移3π个单位得到，3如图可知，f x在π,π2上先递减后递增，D选项错误，故选 D.yO x-65（. 2017 年2 卷14）函数23f x sin x3cos x（x0,）的最大值是．42【解析】2321f x1cos x3cos x cos x3cos x44 23cos1x，x0,，则cos x0,1，当22cos3x时，取得最大值 1.26．（2015 年1 卷8）函数f(x)= cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）（A）(1,3),k k k Z44（B）13(2k,2k),k Z44（C）13(k,k),k Z 44（D）13(2k,2k),k Z44【解析】由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以f(x)cos(x)，4令22,k x k k Z，解得412k＜x＜432k k Z4（12k，432k），k Z，故选D. 考点：三角函数图像与性质45.（2015 年2 卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2 ，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A、B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则f（x）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线B．x对称，且f()f()，且轨迹非线型，故选2426.（2016 年1 卷12）已知函数f(x)sin(x+)(0，),x为f(x)的零24点, x为y f(x)图像的对称轴,且f(x)在45，单调,则的最大值为1836（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（ 3 题）7.（2016 年2 卷7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π个单位长度，则平移后图象的对12称轴为（A）kππx k Z （B）26kππx k Z26（C）kππx k Z （D）212kππx k212Z【解析】平移后图像表达式为πy2sin2x，令12ππ2x kπ+，得对称轴方程：122kππx k Z ，故选B．268.（2016 年 3 卷14）函数y sin x3cos x错误！未找到引用源。
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 三角大题 （精解精析）1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．(1)求A 。
(2)若BC =3,求ABC 周长地最大值．【结果】（1）23π。
（2）3+．思路：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅,2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅,()0,A π∈ ,23A π∴=（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=,即()29AC AB AC AB +-⋅=．22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当AC AB =时取等号）,()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭,解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号）,ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+,ABC ∴周长地最大值为3+．【点睛】本题考查解三角形地相关知识,涉及到正弦定理角化边地应用，余弦定理地应用，三角形周长最大值地求解问题。
求解周长最大值地关键是能够在余弦定理构造地等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值．2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知sinsin 2A Ca b A +=．(1)求B 。
(2)若ABC △为锐角三角形,且1c =,求ABC △面积地取值范围．【结果】(1)3B π=;(2)．【官方思路】.(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=,因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=．由A BC 180++=︒,可得sin cos 22A C B +=,故B B Bcos 2sin cos 222=．因为B cos02≠,故B 1sin 22=,因此60=︒B ．(2)由题设及(1)知△ABC 地面积=△ABC S a ．由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2︒-===c A C a C C ．由于△ABC 为锐角三角形,故090︒<<︒A ,090︒<<︒C ．由(1)知120+=︒A C ,所以3090︒<<︒C ,故122<<a ,<<△ABC S ．因此△ABC 面积地取值范围是．【点评】这道题考查了三角函数地基础知识,和正弦定理或者余弦定理地使用（此题也可以用余弦定理求解）,最后考查△ABC 是锐角三角形这个款件地利用．考查地很全面,是一道很好地考题．3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．(1)求A 。
三角函数类型一：角度的概念、弧长和三角函数的概念1已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角q 终边上的一点，且552sin -=q ，则y的值的值2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是 3若0cos sin <q q ，则角q 在第在第___________________________象限角。
象限角。
象限角。
4 4 已知已知q 为第二象限角；则2q可能为第可能为第_____________________象限角。
象限角。
象限角。
5已知q 为第二象限角；则24a p +所在的象限是所在的象限是_____________________。
6已知角a 的终边过点)60cos 6,8(--m P ，且54cos -=a ，则m 的值为的值为7在平面直角坐标系中，若角a 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终点经过点)4,3(a a P -)0(<a ，则a a cos sin +的值为的值为8 8 已知角已知角a 的终边经过点)3,4(-，则a cos 等于等于答案：1 -8-8；；21sin 2；3 二或四；4 一或三；5 一或三；6 21；7 51；8 54-。
类型二：同角三角函数的求值与化解（a a a a a cos tan sin ,1cos sin 22×==+）1求300sin =_______=_______。
2已知3cos sin cos sin =-+xx x x ，则x tan 的值是的值是________________________。
3若点)9,(a 在函数xy 3=的图像上，则6tanpa 的值为的值为 4已知a 是第二象限角，135sin =a ，则a cos 的值的值5已知51)25sin(=+a p ，那么a cos 的值的值6已知21tan -=a ，则1cos 22sin 2--a a 等于等于7)1410tan(-的值的值8 8 记记cos(80)k -°=,那么tan100°= 9已知11-tan tan -=a a，则2cos sin sin 2++a a a = 10 已知角)2,0(p Îx ，21cos 22££-x 的解集是_____。
专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用2019年1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．2010-2018年一、选择题1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．42．（2016年浙江）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A ．(sin 2)sin f x x =B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为A B C D6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为A ．B ．C ．D ．7．（2015湖南）已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π= 二、填空题8．（2016年浙江）已知22cos sin 2sin((>0)x x A x b A ωϕ+=+)+,则A =__，b =__． 9．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ． 10．（2014陕西）设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1θθθ==，，，a b ，若∥a b ， 则=θtan _______．11．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，332），则ω= ；（2）若在曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ．三、解答题12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．NM POAB CD(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．14．（2015山东）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02Af =，1a =，求△ABC 面积的最大值．15．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()103cossin 1212f t t t =--，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？16．（2014陕西）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值．17．（2013福建）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案部分2019年1.解析解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DE BE AC AE CD=====.'因为PB⊥AB，所以84cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知2210AD AE ED=+=，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+2010-2018年1．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 2．B 【解析】由于21cos2()sin sin sin 2xf x x b x c b x c -=++=++． 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B ．注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数．3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4x π=或54π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2x x +此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x =或1x =-时，212x +=，而|1|x +由两个值，故C 错误，选D ．5．B【解析】由于(0)2,()1()()424f f f f ===<πππ，故排除选项C 、D ；当点P 在BC上时，()tan )4f x BP AP x x =+=π≤≤．不难发现()f x 的图象是非线性，排除A ．6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,]2x π∈时，1()sin cos sin 22f x x x x ==；当(,]2x ππ∈时，1()cos sin sin 22f x x x x =-=-，故选C ． 7．A【解析】由223301sin()cos()|cos cos 02x dx x ππϕϕϕϕϕ-=--=+=⎰，得tan ϕ=()3k k Z πϕπ=+∈，所以()sin()()3f x x k k Z ππ=--∈，由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=--与sin()3y x π=-的图象的对称轴相同，令32x k πππ-=+，则5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56x π=，选A ． 81【解析】22cos sin 2)14x x x π+++，所以 1.A b ==9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈， ∴1tan 2θ=．11．（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，cos 36πωω=∴=； （2）曲线()y f x '=cos()x ωωϕ=+的半周期为πω，由图知222T AC ππωω===， 122ABC S AC πω=⋅=V ，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ===V ． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈． 当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6θ=，当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数； 当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数， 因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．13．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107AC =，40AM =． 所以2240(107)30MN =-=，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)14．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x ．由ππππk x k 22222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；由ππππk x k 223222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈)；所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）； 单调递减区间是]43,4[ππππk k ++（Z k ∈）． （Ⅱ）1()sin 022A f A =-=Q ，1sin 2A ∴=，由题意A 是锐角，所以 cos 2A =． 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，可得2212b c bc =+≥32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立．2sin 4bc A ∴≤．ABC ∆∴面积最大值为432+．15．【解析】（Ⅰ）因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ--+--+， 又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ， 当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-， 又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ， 故在10时至18时实验室需要降温.16．【解析】（1）Q c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+= 由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+Q()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）Q c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥Q （当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为1217．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x <<， 所以sin cos2sin cos2x x x x >>．问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意． （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=． 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（）＝sin||+|sin|有下述四个结论：①f（）是偶函数②f（）在区间（，π）单调递增③f（）在[﹣π，π]有4个零点④f（）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos，C2：y＝sin（2），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C23．【2016年新课标1理科12】已知函数f（）＝sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|），为f（）的零点，为y＝f（）图象的对称轴，且f（）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．54．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A． B．C．D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（）＝cos（ω+φ）的部分图象如图所示，则f（）的单调递减区间为（）A．（π，π），∈B．（2π，2π），∈C．（，），∈D．（，2），∈6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣β D．2α+β7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（）＝sin（ω）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线y＝2上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（）＝sin（ω+φ）+cos（ω+φ）的最小正周期为π，且f（﹣）＝f（），则（）A．f（）在单调递减B．f（）在（，）单调递减C．f（）在（0，）单调递增D．f（）在（，）单调递增10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣211．【2018年新课标1理科16】已知函数f（）＝2sin+sin2，则f（）的最小值是．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．14．【2013年新课标1理科15】设当＝θ时，函数f（）＝sin﹣2cos取得最大值，则cosθ＝．15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．16．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b ﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题专题05三角函数与解三角形1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈ B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( )A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 3．将函数222()2cos 4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ）A ．sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．已知函数()cos f x x x =，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．B C ．D7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.10．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________11．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______15．在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=233Ca，23b =则a c +的取值范围为_____．16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，360,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域； （2）若7a =且133sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 19．在ABC ∆中，已知2AB =，2cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos 2sin 22A b b aB =+. （1）求cos A ；（2）若25a =5c =，求b .22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．。
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题, 1.(2019·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14则b=()cA.6B.5C.4D.3【答案】A。
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=o ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23π D．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A B C D 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B ．CD 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表7填空题2016 三角函数2016年新课标1文科14填空题2014 解三角形2014年新课标1文科16填空题2013 三角函数2013年新课标1文科16填空题2011 解三角形2011年新课标1文科15填空题2010 解三角形2010年新课标1文科16解答题2015 解三角形2015年新课标1文科17解答题2012 解三角形2012年新课标1文科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科07】tan255°＝（）A．﹣2B．﹣2C．2D．22．【2019年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A，则（）A．6 B．5 C．4 D．33．【2018年新课标1文科08】已知函数f（）＝2cos2﹣sin2+2，则（）A．f（）的最小正周期为π，最大值为3B．f（）的最小正周期为π，最大值为4C．f（）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（）的最小正周期为2π，最大值为44．【2018年新课标1文科11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．15．【2017年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c，则C＝（）A．B．C．D．6．【2016年新课标1文科04】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a，c＝2，cos A，则b＝（）A．B．C．2 D．37．【2016年新课标1文科06】将函数y＝2sin（2）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝2sin（2）B．y＝2sin（2）C．y＝2sin（2）D．y＝2sin（2）8．【2015年新课标1文科08】函数f（）＝cos（ω+φ）的部分图象如图所示，则f（）的单调递减区间为（）A．（π，π），∈B．（2π，2π），∈C．（，），∈D．（，2），∈9．【2014年新课标1文科02】若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞010．【2014年新课标1文科07】在函数①y＝cos|2|，②y＝|cos|，③y＝cos（2），④y＝tan（2）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③11．【2013年新课标1文科10】已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（）A．10 B．9 C．8 D．512．【2012年新课标1文科09】已知ω＞0，0＜φ＜π，直线和是函数f（）＝sin（ω+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．13．【2011年新课标1文科07】已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线y＝2上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．14．【2011年新课标1文科11】设函数，则f（）＝sin（2）+cos（2），则（）A．y＝f（）在（0，）单调递增，其图象关于直线对称B．y＝f（）在（0，）单调递增，其图象关于直线对称C．y＝f（）在（0，）单调递减，其图象关于直线对称D．y＝f（）在（0，）单调递减，其图象关于直线对称15．【2010年新课标1文科10】若cos α，α是第三象限的角，则sin（α）＝（）A．B．C． D．16．【2019年新课标1文科15】函数f（）＝sin（2）﹣3cos的最小值为．17．【2018年新课标1文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．18．【2017年新课标1文科15】已知α∈（0，），tanα＝2，则cos（α）＝．19．【2016年新课标1文科14】已知θ是第四象限角，且sin（θ），则tan（θ）＝．20．【2014年新课标1文科16】如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．21．【2013年新课标1文科16】设当＝θ时，函数f（）＝sin﹣2cos取得最大值，则cosθ＝．22．【2011年新课标1文科15】△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．23．【2010年新课标1文科16】在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD，∠ADB＝135°．若AC AB，则BD＝．24．【2015年新课标1文科17】已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin A sin C．（Ⅰ）若a＝b，求cos B；（Ⅱ）设B＝90°，且a，求△ABC的面积．25．【2012年新课标1文科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈ B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( )A ．4912π B ．356π C ．256πD ．174π 3．将函数222()2cos 4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ）A ．sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．已知函数()cos f x x x =，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -+=，b =则ABC △的面积为A ．B C ．D7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）．A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.10．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________11．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______15．在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =则a c +的取值范围为_____．16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，360,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域； （2）若7a =且133sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 19．在ABC ∆中，已知2AB =，2cos B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos 2sin 22A b b aB =+. （1）求cos A ；（2）若25a =5c =，求b .22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
十年高考数学山东卷精校版含详解——4三角函数（含解三角形）部分一、选择题（共34小题；共170分）1. 已知cosx=34，则cos2x=( )A. −14B. 14C. −18D. 182. 将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π43. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2(1−sinA)，则A= ( )A. 3π4B. π3C. π4D. π64. 若点(a,9)在函数y=3x的图象上，则tan aπ6的值为( )A. 0B. √33C. 1D. √35. 函数y=2sin(πx6−π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A. 2−√3B. 0C. −1D. −1−√36. 若θ∈[π4,π2]，sin2θ=3√78，则sinθ=( )A. 35B. 45C. √74D. 347. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=2A，a=1，b=√3，则c=( )A. 2√3B. 2C. √2D. 18. 函数y=sin(2x+π6)+cos(2x+π3)的最小正周期和最大值分别为( )A. π,1B. π,√2C. 2π,1D. 2π,√29. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x−π3)的图象( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向左平移π6个单位10. 已知cos(α−π6)+sinα=4√35，则sin(α+7π6)的值是( )A. −2√35B. 2√35C. −45D. 4511. 将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A. y=cos2xB. y=2cos2xC. y=1+sin(2x+π4) D. y=2sin2x12. 要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象( )A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=π3，a=√3，b=2，则c= ( )A. 1B. 2C. √3−1D. √314. 若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=−1的θ值可能是( )A. π6B. π4C. π3D. π215. 已知函数y=sin(x−π12)cos(x−π12)，则下列判断正确的是( )A. 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(π12,0)B. 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(π12,0)C. 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(π6,0)D. 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(π6,0)16. 已知函数y=sin(x−π12)cos(x−π12)，则下列判断正确的是( )A. 此函数的最小周期为2π，其图象的一个对称中心是(π12,0)B. 此函数的最小周期为π，其图象的一个对称中心是(π12,0)C. 此函数的最小周期为2π，其图象的一个对称中心是(π6,0)D. 此函数的最小周期为π，其图象的一个对称中心是(π6,0)17. 已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A. x3>y3B. sinx>sinyC. ln(x2+1)>ln(y2+1)D. 1x2+1>1y2+118. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x−π3)的图象( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向左平移π6个单位19. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )A. B.C. D.20. 函数 f (x )=(√3sinx +cosx)(√3cosx −sinx) 的最小正周期是 ( )A. π2B. πC. 3π2D. 2π21. 在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 △ABC 为锐角三角形，且满足 sinB (1+2cosC )=2sinAcosC +cosAsinC ，则下列等式成立的是 ( ) A. a =2bB. b =2aC. A =2BD. B =2A22. 函数 y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期为 ( )A. π2B. 2π3C. πD. 2π23. 已知 a ，b ，c 为 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ⃗⃗ =(√3,−1)，n ⃗ =(cosA,sinA )．若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，且 acosB +bcosA =csinC ，则角 A ，B 的大小分别为 ( ) A. π6,π3 B. 2π3,π6C. π3,π6 D. π3,π324. 已知实数 x,y 满足 a x <a y (0<a <1) ，则下列关系式恒成立的是 ( )A. x 3>y 3B. sinx >sinyC. ln (x 2+1)>ln (y 2+1)D. 1x 2+1>1y 2+125. 已知实数 x ，y 满足 a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是 ( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln (x 2+1)>ln (y 2+1)C. sinx >sinyD. x 3>y 326. △ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 B =2A ，a =1，b =√3，则 c = ( )A. 2√3B. 2C. √2D. 127. 若函数 f (x )=sinωx (ω>0) 在区间 [0,π3] 上单调递增，在区间 [π3,π2] 上单调递减，则 ω=( ) A. 3B. 2C. 32D. 2328. 函数 f (x )={sin (πx 2),−1<x <0,e x−1,x ≥0.若 f (1)+f (a )=2，则 a 的所有可能值为 ( )A. 1B. −√22C. 1,−√22D. 1,√2229. 将函数 y =sin (2x +φ) 的图象沿 x 轴向左平移 π8 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 φ 的一个可能取值为 ( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π430. 设命题 p: 函数 y =sin2x 的最小正周期为 π2 ；命题 q: 函数 y =cosx 的图象关于直线 x =π2 对称．则下列判断正确的是 ( )A. p为真B. ¬q为假C. p∧q为假D. p∨q为真31. 函数f(x)=cos6x2x−2−x的图象大致为( )A. B.C. D.32. 函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是( )A. B.C. D.33. 在区间[−π2,π2]上随机取一个数x，cosx的值介于0到12之间的概率为( )A. 13B. 2πC. 12D. 2334. 给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)，f(x+y)=f(x)f(y)，f(x+y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y)．下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )A. f(x)=3xB. f(x)=sinxC. f(x)=log2xD. f(x)=tanx二、填空题（共9小题；共45分）35. 若“∀x∈[0,π4],tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．36. 在 △ABC 中，已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tanA ，当 A =π6 时，△ABC 的面积为 ． 37. 函数 y =sinx +cosx 的最小正周期为 ．38. 在 △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a =√2，b =2，sinB +cosB =√2，则角 A 的大小为 ．39. 已知 a ，b ，c 为 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ⃗⃗ =(√3,−1)，n ⃗ =(cosA,sinA )．若 m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，且 acosB +bcosA =csinC ，则角 B = ．40. 观察下列等式： (sin π3)−2+(sin 2π3)−2=43×1×2； (sin π5)−2+(sin 2π5)−2+(sin 3π5)−2+sin (4π5)−2=43×2×3；(sin π7)−2+(sin 2π7)−2+(sin 3π7)−2+⋯+sin (6π7)−2=43×3×4；(sin π9)−2+(sin2π9)−2+(sin3π9)−2+⋯+sin (8π9)−2=43×4×5；⋯照此规律， (sin π2n+1)−2+(sin2π2n+1)−2+(sin3π2n+1)−2+⋯+(sin2nπ2n+1)−2= ．41. 已知向量 m ⃗⃗ =(cosθ,sinθ)，n ⃗ =(√2−sinθ,cosθ)，θ∈(π,2π)，且 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25，则 cos (θ2+π8) 的值为 ．42. 下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）．①将函数 y =∣x +1∣ 的图象按向量 v =(−1,0) 平移，得到的图象对应的函数表达式为 y =∣x ∣； ②圆 x 2+y 2+4x +2y +1=0 与直线 y =12x 相交，所得的弦长为 2；③若 sin (α+β)=12，sin (α−β)=13，则 tanα⋅cotβ=5；④如图，已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1，P 为底面 ABCD 内一动点，P 到平面 AA 1D 1D 的距离与到直线 CC 1 的距离相等，则 P 点的轨迹是抛物线的一部分．43. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 (2,1) 时，OP⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ．三、解答题（共30小题；共390分）44. 已知函数 f (x )=2sinxcos 2φ2+cosxsinφ−sinx (0<φ<π) 在 x =π 处取最小值．（1）求 φ 的值；（2）在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知 a =1，b =√2，f (A )=√32，求角 C ．45. 已知函数 f (x )=12sin2xsinφ+cos 2xcosφ−12sin (π2+φ)(0<φ<π)，其图象过点 (π6,12)．（1）求 φ 的值；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求函数 g (x ) 在 [0,π4] 上的最大值和最小值．46. 已知向量 m ⃗⃗ =(sinx,1)，n ⃗ =(√3Acosx,A2cos2x) (A >0)，函数 f (x )=m ⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值为 6．（1）求 A ；（2）将函数 y =f (x ) 的图象向左平移 π12 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12 倍，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (x ) 在 [0,5π24] 上的值域．47. 已知向量 a =(m,cos2x )，b ⃗ =(sin2x,n )，函数 f (x )=a ⋅b ⃗ ，且 y =f (x ) 的图象过点 (π12,√3) 和点 (2π3,−2)．（1）求 m ，n 的值；（2）将 y =f (x ) 的图象向左平移 φ(0<φ<π) 个单位后得到函数 y =g (x ) 的图象．若 y =g (x ) 的图象上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为 1，求 y =g (x ) 的单调增区间．48. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 2(tanA +tanB )=tanAcosB +tanBcosA ．（1）证明：a +b =2c ； （2）求 cosC 的最小值.49. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 b =3，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，S △ABC =3，求 A 和 a ．50. 设函数 f (x )=sin (ωx −π6)+sin (ωx −π2)，其中 0<ω<3，已知 f (π6)=0．（1）求 ω；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 π4个单位，得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (x ) 在 [−π4,3π4] 上的最小值．51. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转120∘ 得到的，G 是 DF⏜ 的中点．（1）设 P 是 CE ⏜ 上的一点，且 AP ⊥BE ，求 ∠CBP 的大小； （2）当 AB =3，AD =2 时，求二面角 E −AG −C 的大小．52. 已知函数 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx (ω>0) 的最小正周期为 π．（1）求 ω 的值；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求函数 y =g (x ) 在区间 [0,π16] 上的最小值．53. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =3，cosA =√63，B =A +π2．（1）求 b 的值； （2）求 △ABC 的面积．54. 设 f (x )=sinxcosx −cos 2(x +π4)．（1）求 f (x ) 的单调区间；（2）在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 f (A2)=0，a =1，求 △ABC面积的最大值．55. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 cosB =√33，sin (A +B )=√69，ac =2√3，求 sinA 和 c 的值．56. 已知函数 f (x )=Asin 2(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)，且 y =f (x ) 的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点 (1,2)． （1）求 φ； （2）计算 f (1)+f (2)+⋯+f (2008)．57. 设 f (x )=2√3sin (π−x )sinx −(sinx −cosx )2．（1）求 f (x ) 的单调递增区间；（2）把 y =f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 π3 个单位，得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (π6) 的值．58. 如图，甲船以每小时 30√2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 A 1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105∘ 的方向 B 1 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟到达 A 2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120∘ 方向的 B 2 处，此时两船相距 10√2 海里，问乙船每小时航行多少海里?59. 设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x．（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期．（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f(C2)=−14，且C为锐角，求sinA．60. 设函数f(x)=√32−√3sin2ωx−sinωxcosωx(ω>0)，且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1）求ω的值；（2）求f(x)在区间[π,3π2]上的最大值和最小值．61. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a+c=6，b=2，cosB=79．（1）求a,c的值；（2）求sin(A−B)的值．62. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)（0<φ<π,ω>0）为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（1）求f(π8)的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．63. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC．（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．64. 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)（0<φ<π,ω>0）为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（1）求f(π8)的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．65. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA−2cosCcosB =2c−ab．（1）求sinCsinA的值；（2）若cosB=14，b=2，求△ABC的面积S．66. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA−2cosCcosB =2c−ab．（1）求 sinCsinA 的值； （2）若 cosB =14，△ABC 的周长为 5，求 b 的长．67. 已知函数 f (x )=Asin 2(ωx +φ)，其中 A >0，ω>0，0<φ<π2，且 y =f (x ) 的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点 (1,2)． （1）求 φ；（2）计算 f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+⋯+f (2008)．68. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，tanC =3√7．（1）求 cosC ；（2）若 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =52，且 a +b =9，求 c ．69. 已知向量 m ⃗⃗ =(cosθ,sinθ) 和 n ⃗ =(√2−sinθ,cosθ)，θ∈(π,2π)，且 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25，求 cos (θ2+π8) 的值．70. 如图，已知四棱锥 P −ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AC ⊥BD ，AC 与 BD 相交于点 O ，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO =2，PO =√2，PB ⊥PD ．（1）求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值； （2）求二面角 P −AB −C 的大小； （3）设点 M 在棱 PC 上，且 PMMC =λ，问 λ 为何值时，PC ⊥平面 BMD ．71. 如图，已知平面 A 1B 1C 1 平行于三棱锥 V −ABC 的底面 ABC ，等边 △AB 1C 所在的平面与底面ABC 垂直，且 ∠ACB =90∘，设 AC =2a ，BC =a ．（1）求证直线 B 1C 1 是异面直线 AB 1 与 A 1C 1 的公垂线； （2）求点 A 到平面 VBC 的距离；（3）求二面角A−VB−C的大小．72. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30∘，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成的角；（2）求平面BDF与平面A1AB所成的二面角（锐角）的大小；（3）求点A到平面BDF的距离．73. 已知动圆过定点(p2,0)，且与直线x=−p2相切，其中p>0．（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．答案第一部分 1. D2. B【解析】f (x )=sin (2x +φ) 向左平移 π8 个单位长度得 g (x )=sin [2(x +π8)+φ]=sin (2x +π4+φ)．若 g (x ) 为偶函数，则 π4+φ=π2+kπ，k ∈Z ． 令 k =0，得 φ=π4． 3. C【解析】由余弦定理及 b =c ，得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =2b 2(1−cosA )，又由 a 2=2b 2(1−sinA )，得 cosA =sinA ，即 tanA =1，所以 A =π4． 4. D 【解析】由点在曲线上可得 3a =9=32，解得 a =2，故 tan aπ6=tan π3=√3.5. A【解析】因为 0≤x ≤9，所以 0≤πx 6≤9π6，−π3≤πx 6−π3≤9π6−π3，即 −π3≤πx 6−π3≤7π6，所以当π6x −π3=−π3 时，函数 y 有最小值，为 2sin (−π3)=−√3，当 π6x −π3=π2 时，函数 y 有最大值，为 2sin π2=2，所以 y 的最大值与最小值之和为 2−√3 ． 6. D 【解析】∵ θ∈[π4,π2]，∴ 2θ∈[π2,π]，∴ cos2θ=−18．而 cos2θ=1−2sin 2θ，∴ sinθ=34． 7. B【解析】由正弦定理得1sinA=√3sin2A ．所以 1sinA=√32sinAcosA．所以 cosA=√32． 又 0∘<A <180∘．所以 A =30∘．B =60∘．C =90∘． 所以 c =√a 2+b 2=√12+(√3)2=2． 8. A【解析】y=sin (2x +π6)+cos (2x +π3)=sin2xcos π6+cos2xsin π6+cos2xcos π3−sin2xsinπ3=cos2x.于是 T =π，y max =1． 9. A10. C【解析】依题有 cos (α−π6)+sinα=√32cosα+12sinα+sinα=√3(12cosα+√32sinα)=4√35，解得 sin (α+π6)=45，所以 sin (α+7π6)=sin (α+π6+π)=−sin (α+π6)=−45． 11. B 【解析】将函数 y =sin2x 的图象向左平移 π4 个单位，得到函数 y =sin2(x +π4)，即 y =sin (2x +π2)=cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式为 y =1+cos2x =2cos 2x ．12. B 13. A 14. D 15. B【解析】y =sin (x −π12)cos (x −π12)=12sin (2x −π6)，它的最小正周期为 T =π，对称中心的横坐标为 x =kπ2+π12,k ∈Z ，当 k =0 时，对称中心为 (π12,0)．16. B 17. A 【解析】因为实数 x ，y 满足 a x <a y (0<a <1)，所以 x >y ，A ．当 x >y 时，x 3>y 3，恒成立，B ．当 x =π，y =π2 时，满足 x >y ，但 sinx >siny 不成立．C ．若 ln (x 2+1)>ln (y 2+1)，则等价为 x 2>y 2 成立，当 x =1，y =−1 时，满足 x >y ，但 x 2>y 2 不成立．D ．若 1x 2+1>1y 2+1，则等价为 x 2+1<y 2+1，即 x 2<y 2，当 x =1，y =−1 时，满足 x >y ，但 x 2<y 2 不成立．18. A 【解析】y =cos (x −π3)=sin (x +π6)，向右平移 π6 个单位即得 y =sin (x −π6+π6)=sinx ．19. D 【解析】因为函数 y =xcosx +sinx 为奇函数，所以排除选项B ； 当 x =π2时，y =π2×cos π2+sin π2=1>0；当 x =π 时，y =π×cosπ+sinπ=−π<0， 由此可排除选项A 和选项C ． 20. B【解析】f (x )=2sin (x +π6)×2cos (x +π6)=2sin (2x +π3)，故最小正周期 T =2π2=π．21. A 【解析】在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，满足 sinB (1+2cosC )=2sinAcosC +cosAsinC=sinAcosC +sin (A +C )=sinAcosC +sinB,可得：2sinBcosC =sinAcosC ， 因为 △ABC 为锐角三角形， 所以 2sinB =sinA ， 由正弦定理可得：2b =a ．22. C 【解析】因为函数 y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)，因为 ω=2， 所以 T =π．23. C 【解析】m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =0=√3cosA −sinA ⇒tanA =√3，又 A 为三角形的内角，故 A =π3．由 acosB +bcosA =csinC 及正弦定理知 sinAcosB +sinBcosA =sin 2C =sin (A +B )=sinC ， ⇒sinC =1 或 sinC =0（舍去），故 C =π2，于是 B =π−A −C =π6．24. A 25. D26. B 【解析】因为 B =2A ，a =1，b =√3，所以在 △ABC 中，由正弦定理 asinA =bsinB ，得 1sinA =√32sinAcosA．因为 A 为三角形的内角，所以 sinA ≠0．所以 cosA =√32．又因为 0<A <π，所以 A =π6，所以 B =2A =π3．所以 C =π−A −B =π2，所以 △ABC 为直角三角形．由勾股定理，得 c =√12+(√3)2=2．27. C 【解析】依题意，当 x =π3 时，函数有最大值，且 T4≥π3，所以 {π3ω=π2+2kπ,k ∈Z2πω≥4π3,ω>0.∴ ω=32．28. C 【解析】由题可知 f (1)=e 0=1，f (a )=1． 当 a ≥0 时，f (a )=e a−1=1，解得 a =1； 当 −1<a <0 时，f (a )=sin (πa 2)=1，解得 a =−√22． 29. B 【解析】函数 y =sin (2x +φ) 的图象沿 x 轴向左平移 π8 个单位后得到的函数为 y =sin (2x +π4+φ)，要成为一个偶函数，需要满足 π4+φ=π2+kπ，k ∈Z ，于是可得结果． 30. C31. D 【解析】首先由奇偶性判断是奇函数，然后再判断 x 轴正半轴初始函数值的正负，最后由函数的零点和变化趋势得出选项．32. A 【解析】y =cosx 在 (−π2,0) 上单调增，在 (0,π2) 上单调减，又 y =lnx 在其定义域上单调增，故复合函数 y =lncosx (−π2<x <π2) 在 (−π2,0) 上单调增，在 (0,π2) 上单调减．33. A 34. B 第二部分 35. 1 36. 16【解析】由已知，得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos π6=tan π6，解得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=23，所以 △ABC 的面积为 S =12∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣sinA =16． 37. 2π 38. π6【解析】由 sinB +cosB =√2，得 sin (B +π4)=1．∵B 为三角形的内角，∴0<B <π，从而有 π4<B +π4<5π4．∴B +π4=π2，∴B =π4．结合正弦定理，有 sinA =asinB b=12．∵a <b ，∴A <B ，∴A =π6． 39. π6【解析】m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =0⇒√3cosA −sinA =0⇒tanA =√3， 又 A 为三角形的内角，故 A =π3．由 acosB +bcosA =csinC 及正弦定理知，sinAcosB +sinBcosA =sin 2C ⇒sin (A +B )=sin 2C ， ⇒sinC =1 或 sinC =0（舍去），故 C =π2，于是 B =π−A −C =π6． 40. 43n (n +1) 41. −45【解析】利用向量模的公式，将条件 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25转化为关于角 θ 的三角函数式，再运用三角函数恒等变换，即可得到所求．因为 m ⃗⃗ +n ⃗ =(cosθ−sinθ+√2,cosθ+sinθ)， 所以∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=√(cosθ−sinθ+√2)2+(cosθ+sinθ)2=√4+2√2(cosθ−sinθ)=√4+4cos (θ+π4)=2√1+cos (θ+π4).因为 ∣m ⃗⃗ +n ⃗ ∣=8√25， 所以 cos (θ+π4)=725． 所以 2cos 2(θ2+π8)−1=725， 所以 cos 2(θ2+π8)=1625． 因为 θ∈(π,2π)， 所以 5π8<θ2+π8<9π8，所以 cos (θ2+π8)=−45． 42. ③④【解析】①函数 y =∣x +1∣ 按向量 v =(−1,0) 平移后所得图象对应的函数为 y =∣(x +1)+1∣=∣x +2∣，故①错；②因为圆心 (−2,−1) 在直线 y =12x 上，所以直线 y =12x 被圆所截得的弦长为 2r =4，故②错；③由 {sin (α+β)=12,sin (α−β)=13解得，sinαcosβ=512，cosαsinβ=112，所以 tanαcotβ=5，故③正确；④ P 到平面 AA 1D 1D 的距离即为 P 到直线 AD 的距离，P 到 CC 1 的距离即为 P 到 C 的距离，故结合题意可知，点 P 到直线 AD 的距离等于点 P 到 C 的距离，由抛物线的定义可知，点 P 的轨迹是以点 C 为焦点以直线 AD 为准线的抛物线在平面 ABCD 内的部分，故④正确． 43. (2−sin2,1−cos2)【解析】设 A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧长为 2，由于圆的半径为 1，所以 ∠ABP =21=2 ．设 P (x,y )，则x =2−1×cos (2−π2)=2−sin2， y =1+1×sin (2−π2)=1−cos2， 所以 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 (2−sin2,1−cos2) ．第三部分 44. （1）f (x )=2sinx1+cosφ2+cosxsinφ−sinx =sinx +sinxcosφ+cosxsinφ−sinx =sinxcosφ+cosxsinφ=sin (x +φ).因为 f (x ) 在 x =π 处取最小值，所以sin (π+φ)=−1,故 sinφ=1．又 0<φ<π，所以 φ=π2． （2） 由（1）知f (x )=sin (x +π2)=cosx.因为 f (A )=cosA =√32，且 A 为 △ABC 的内角，所以 A =π6．由正弦定理得sinB =bsinA a =√22,又 b >a ，所以 B =π4或 B =3π4．当 B =π4时，C =π−A −B =π−π6−π4=7π12, 当 B =3π4时，C =π−A −B =π−π6−3π4=π12. 综上所述，C =7π12或 C =π12． 45. （1） 因为f (x )=12sin2xsinφ+cos 2xcosφ−12sin (π2+φ)(0<φ<π),所以f (x )=12sin2xsinφ+1+cos2x 2cosφ−12cosφ=12sin2xsinφ+12cos2xcosφ=12(sin2xsinφ+cos2xcosφ)=12cos (2x −φ). 又函数图象过点 (π6,12)，所以12=12cos (2×π6−φ), 即cos (π3−φ)=1,又 0<φ<π，所以 φ=π3． （2） 由（1）知f (x )=12cos (2x −π3),将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，可知g (x )=f (2x )=12cos (4x −π3),因为 x ∈[0,π4]，所以 4x ∈[0,π]，因此4x −π3∈[−π3,2π3], 故−12≤cos (4x −π3)≤1, 所以−14≤g (x )≤12, 所以 y =g (x ) 在 [0,π4] 上的最大值和最小值分别为 12和 −14．46. （1） 由题意得f (x )=m ⃗⃗ ⋅n ⃗=√3Asinxcosx +A2cos2x =A (√32sin2x +12cos2x)=Asin (2x +π6).因为 A >0，由题意知 A =6．（2） 由（1）f (x )=6sin (2x +π6)．将函数 y =f (x ) 的图象向左平移 π12个单位后得到 y =6sin [2(x +π12)+π6]=6sin (2x +π3) 的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 12 倍，纵坐标不变，得到 y =6sin (4x +π3) 的图象． 因此 g (x )=6sin (4x +π3)．因为 x ∈[0,5π24]，所以 4x +π3∈[π3,7π6]，故 g (x ) 在 [0,5π24] 上的值域为 [−3,6]． 47. （1） 由题意知f (x )=a ⋅b⃗ =msin2x +ncos2x, 因为 f (x ) 的图象过点 (π12,√3),(2π3,−2)，所以f (π12)=msin π6+ncos π6=√3,f (2π3)=msin 4π3+ncos 4π3=−2,可得{ 12m +√32n =√3,−√32m −12n =−2,解得{m =√3,n =1.（2） 由（1）和题意可知f (x )=√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6),g (x )=f (x +φ)=2sin (2x +2φ+π6).设 g (x ) 的对称轴为 x =x 0， 因为 d =√1+x 02=1 解得 x 0=0， 所以 g (0)=2，解得 φ=π6，可得g (x )=2sin (2x +π3+π6)=2sin (2x +π2)=2cos2x,故 −π+2kπ≤2x ≤2kπ,k ∈Z ，−π2+kπ≤x ≤kπ,k ∈Z, 因此 g (x ) 的单调增区间为 [−π2+kπ,kπ],k ∈Z ．48. （1） 由题意知 2(sinAcosA +sinBcosB )=sinAcosAcosB +sinBcosAcosB ， 化简得 2(sinAcosB +sinBcosA )=sinA +sinB ， 即 2sin (A +B )=sinA +sinB ． 因为 A +B +C =π，所以 sin (A +B )=sin (π−C )=sinC ． 从而 sinA +sinB =2sinC ． 由正弦定理得 a +b =2c ． （2） 由1知 c =a+b 2，所以 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−(a+b 2)22ab=38(b a +a b )−14≥12， 当且仅当 a =b 时，等号成立． 故 cosC 的最小值为 12．49. 由 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6 可得 bccosA =−6, ⋯⋯① 由三角形的面积公式可得 S △ABC =12bcsinA =3, ⋯⋯② 所以 tanA =−1，因为 0<A <180∘， 所以 A =135∘， 所以 c =3×√22=2√2，由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =9+8+12=29， 所以 a =√29． 50. （1） 函数f (x )=sin (ωx −π6)+sin (ωx −π2)=sinωxcos π6−cosωxsin π6−sin (π2−ωx)=√32sinωx −32cosωx=√3sin (ωx −π3).又 f (π6)=√3sin (π6ω−π3)=0， 所以 π6ω−π3=kπ,k ∈Z ． 解得 ω=6k +2,k ∈Z ． 又 0<ω<3， 所以 ω=2；（2） 由（1）知，f (x )=√3sin (2x −π3)，将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）， 得到函数 y =√3sin (x −π3) 的图象； 再将得到的图象向左平移 π4 个单位， 得到 y =√3sin (x +π4−π3) 的图象， 所以函数 y =g (x )=√3sin (x −π12)；当 x ∈[−π4,3π4]，x −π12∈[−π3,2π3]，所以 sin (x −π12)∈[−√32,1]， 所以当 x =−π4 时，g (x ) 取得最小值是 −√32×√3=−32．51. （1） 因为 AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，且 AB,AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP =A ， 所以 BE ⊥平面ABP ，又 BP ⊂平面ABP ， 所以 BE ⊥BP ，又 ∠EBC =120∘， 因此 ∠CBP =30∘； （2） 解法一、取 EC⏜ 的中点 H ，连接 EH ，GH ，CH ，因为 ∠EBC =120∘， 所以四边形 BECH 为菱形，所以 AE =GE =AC =GC =√32+22=√13． 取 AG 中点 M ，连接 EM ，CM ，EC ， 则 EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以 ∠EMC 为所求二面角的平面角． 又 AM =1，所以 EM =CM =√13−1=2√3． 在 △BEC 中，由于 ∠EBC =120∘，由余弦定理得：EC 2=22+22−2×2×2×cos120∘=12， 所以 EC =2√3，因此 △EMC 为等边三角形， 故所求的角为 60∘ .解法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE ，BP ，BA 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意得：A (0,0,3)，E (2,0,0)，G(1,√3,3)，C(−1,√3,0)， 故 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−3)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3)． 设 m ⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 AEG 的一个法向量，由 {m ⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {2x 1−3z 1=0,x 1+√3y 1=0, 取 z 1=2，得 m ⃗⃗ =(3,−√3,2)；设 n ⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 ACG 的一个法向量， 由 {n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 可得 {x 2+√3y 2=0,2x 2+3z 2=0, 取 z 2=−2，得 n ⃗ =(3,−√3,−2)．所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=12． 所以二面角 E −AG −C 的大小为 60∘．52. （1） 因为f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx,所以f (x )=sinωxcosωx +1+cos2ωx2=12sin2ωx +12cos2ωx +12=√22sin (2ωx +π4)+12, 由于 ω>0，依题意，得 2π2ω=π，所以 ω=1． （2） 由（1）知f (x )=√22sin (2x +π4)+12, 所以g (x )=f (2x )=√22sin (4x +π4)+12. 当 x ∈[0,π16] 时，π4≤4x +π4≤π2, 所以√22≤sin (4x +π4)≤1, 因此1≤g (x )≤1+√22, 故 g (x ) 在区间 [0,π16] 上的最小值为 1．53. （1） 因为 cosA =√63， 所以 sinA =√1−69=√33， 因为 B =A +π2．所以 sinB =sin (A +π2)=cosA =√63， 由正弦定理知 a sinA=b sinB ， 所以 b =a sinA⋅sinB =√33√63=3√2． （2） 因为 sinB =√63，B =A +π2>π2所以 cosB =−√1−69=−√33，sinC =sin (π−A −B )=sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13,所以 S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22． 54. （1） 由题意知 f (x )=sin2x 2−1+cos(2x+π2)2=sin2x 2−1−sin2x2=sin2x −12．由 −π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ,k ∈Z ，可得 −π4+kπ≤x ≤π4+kπ,k ∈Z ； 由 π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ,k ∈Z ，可得 π4+kπ≤x ≤3π4+kπ,k ∈Z ．所以 f (x ) 的单调递增区间是 [−π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z )；单调递减区间是 [π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z )．（2） 由 f (A2)=sinA −12=0，得 sinA =12， 由题意知 A 为锐角，所以 cosA =√32． 由余弦定理 a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得 1+√3bc =b 2+c 2≥2bc ， 即 bc ≤2+√3，当且仅当 b =c 时等号成立． 因此 12bcsinA ≤2+√34．所以 △ABC 的面积的最大值为 2+√34．55. 在 △ABC 中，由 cosB =√33，得 sinB =√63， 因为 A +B +C =π， 所以 sinC =sin (A +B )=√69． 因为 sinC <sinB ，所以 C <B ，可得 C 为锐角， 所以 cosC =5√39， 因此 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC =√63×5√39+√33×√69=2√23． 由 asinA =csinC ，可得 a =csinA sinC=2√23c √69=2√3c ．又 ac =2√3，所以 c =1．56. （1） 因为 f (x )=A2−A2cos (2ωx +2φ)，且 y =f (x ) 的最大值为 2, 所以 A 2+A2=2,A =2. 又因为其图象相邻两对称轴间的距离为 2，所以12(2π2ω)=2,ω=π4, 从而f (x )=1−cos (π2x +2φ).因为 y =f (x ) 过 (1,2) 点，所以cos (π2+2φ)=−1.即π2+2φ=2kπ+π,k ∈Z, 解得φ=kπ+π4,k ∈Z,又 0<φ<π2，因此φ=π4.（2） 由（1）可得f (x )=2sin 2(π4x +π4),所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.又因为 y =f (x ) 的周期为 4，且 2008=4×502，所以f (1)+f (2)+⋅⋅⋅+f (2008)=4×502=2008.57. （1）f (x )=2√3sin (π−x )sinx −(sinx −cosx )2=2√3sin 2x −(1−2sinxcosx )=√3(1−cos2x )+sin2x −1=sin2x −√3cos2x +√3−1=2sin (2x −π3)+√3−1.由 2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2(k ∈Z )，解得 kπ−π12≤x ≤kπ+5π12(k ∈Z )．因此，f (x ) 的单调递增区间是 [kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z )．（2） 把 y =f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y =2sin (x −π3)+√3−1 的图象，再把得到的图象向左平移 π3 个单位，得到 y =2sinx +√3−1 的图象，即 g (x )=2sinx +√3−1，从而 g (π6)=2sin π6+√3−1=√3．58. 如图，连接 A 1B 2，A 2B 2=10√2，A 1A 2=2060×30√2=10√2，∠B 2A 2A 1=60∘， 所以 △A 1A 2B 2 是等边三角形，所以 ∠B 1A 1B 2=105∘−60∘=45∘，A 1B 2=10√2．在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22−2A1B1⋅A1B2cos45∘=202+(10√2)2−2×20×10√2×√2 2=200,即B1B2=10√2．因此乙船的速度的大小为10√220×60=30√2．答：乙船每小时航行30√2海里．59. （1）f(x)=cos2xcos π3−sin2xsinπ3+1−cos2x2=12cos2x−√32sin2x+12−12cos2x=12−√32sin2x.所以当2x=−π2+2kπ，即x=−π4+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)max=1+√32,f(x)的最小正周期T=2π2=π,故函数f(x)的最大值为1+√32，最小正周期为π．（2）由f(C2)=−14，即12−√32sinC=−14,解得sinC=√3 2,又C为锐角，所以C=π3 .由cosB=13求得sinB=2√2 3.因此sinA=sin [π−(B +C )]=sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC =2√23×12+13×√32=2√2+√36.60. （1）f (x )=√32−√3sin 2ωx −sinωxcosωx =√32−√3⋅1−cos2ωx 2−12sin2ωx =√32cos2ωx −12sin2ωx =−sin (2ωx −π3).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π4，又 ω>0 ，所以2π2ω=4×π4, 因此 ω=1 ．（2） 由（1）知 f (x )=−sin (2x −π3) ．当 π≤x ≤3π2时，5π3≤2x −π3≤8π3. 所以−√32≤sin (2x −π3)≤1. 因此−1≤f (x )≤√32. 故 f (x ) 在区间 [π,3π2] 上的最大值和最小值分别为 √32,−1 ． 61. （1） 结合已知条件a +c =6,b =2,cosB =79,由余弦定理cosB=a 2+c 2−b 22ac =(a +c )2−2ac −b 22ac ,可得 ac =9，解{a +c =6,ac =9,可得a =c =3.（2） 在 △ABC 中，由 cosB =79，易得sinB =4√29, 结合（1），由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc =4+9−92×2×3=13, 所以 sinA =2√23，因此 sin (A −B )=sinAcosB −cosAsinB=2√23×79−13×4√29=10√227.62. （1）f (x )=√3sin (ωx +φ)−cos (ωx +φ)=2[√32sin (ωx +φ)−12cos (ωx +φ)]=2sin (ωx +φ−π6)因为 f (x ) 为偶函数，所以对 x ∈R ，f (−x )=f (x ) 恒成立，因此sin (−ωx +φ−π6)=sin (ωx +φ−π6).即 −sinωxcos (φ−π6)+cosωxsin (φ−π6)=sinωxcos (φ−π6)+cosωxsin (φ−π6) 整理得sinωxcos (φ−π6)=0.因为 ω>0，且 x ∈R ，所以cos (φ−π6)=0.又因为 0<φ<π，故 φ−π6=π2．所以f (x )=2sin (ωx +π2)=2cosωx.由题意得 2πω=2⋅π2，所以 ω=2．故 f (x )=2cos2x ． 因此f (π8)=2cos π4=√2.（2）g(x)=f(x−π6)=2cos(2x−π3)，当2kπ≤2x−π3≤2kπ+π(k∈Z),即kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z).63. （1）对已知等式两边同乘以cosAcosC，化简可得：sinAsinC=sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinBsin(A+C)=sin2B,再由正弦定理可得：b2=ac,所以a，b，c成等比数列．（2）若a=1，c=2，则b2=ac=2，因此可得出cosB=a2+c2−b22ac=34,sinB=√1−cos2B=√7 4,所以△ABC的面积为S=12 acsinB=12×1×2×√74=√7 4.64. （1）f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2[√32sin(ωx+φ)−12cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ−π6)因为f(x)为偶函数，所以对x∈R,f(−x)=f(x)恒成立，因此sin(−ωx+φ−π6)=sin(ωx+φ−π6).即−sinωxcos(φ−π6)+cosωxsin(φ−π6)=sinωxcos(φ−π6)+cosωxsin(φ−π6)整理得sinωxcos(φ−π6)=0.因为ω>0，且x∈R，所以cos(φ−π6)=0．又因为0<φ<π，故φ−π6=π2．所以f (x )=2sin (ωx +π2)=2cosωx.由题意得 2πω=2⋅π2，所以 ω=2．故 f (x )=2cos2x ．因此 f (π8)=2cos π4=√2．（2） 将 f (x ) 的图象向右平移 π6 个单位后，得到 f (x −π6) 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f (x4−π6) 的图象． 所以g (x )=f (x 4−π6)=2cos [2(x 4−π6)]=2cos (x 2−π3)当2kπ≤x 2−π3≤2kπ+π.(k ∈Z ) 即4kπ+2π3≤x ≤4kπ+8π3(k ∈Z )时, g (x ) 单调递减，因此 g (x ) 的单调递减区间为 [4kπ+2π3,4kπ+8π3]（k ∈Z ）．65. （1） 在 △ABC 中，由cosA −2cosC cosB =2c −ab,及正弦定理可得cosA −2cosC cosB =2sinC −sinAsinB,即cosAsinB −2cosCsinB =2sinCcosB −sinAcosB,则cosAsinB +sinAcosB =2sinCcosB +2cosCsinB,sin (A +B )=2sin (C +B ).而 A +B +C =π，则 sinC =2sinA ，即sinCsinA=2.（2） 由 sinCsinA =2，得 c =2a ，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB,及cosB =14,b =2,可得4=a 2+4a 2−4a 2×14=4a 2, 解得 a =1，从而 c =2，S=12 acsinB=12×1×2×√1−cos2B=√15 4,即S=√15 4.66. （1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以cosA−2cosCcosB =2c−ab=2sinC−sinAsinB,即sinBcosA−2sinBcosC=2sinCcosB−sinAcosB,即有sin(A+B)=2sin(B+C),也就是sinC=2sinA,所以sinCsinA=2.（2）由（1）知sinCsinA =2，所以有ca=2，即c=2a,又因为△ABC的周长为5，所以b=5−3a,由余弦定理得：b2=c2+a2−2accosB,即(5−3a)2=(2a)2+a2−4a2×1 4 ,解得a=1，所以b=2．67. （1）因为f(x)=A2−A2cos(2ωx+2φ)的最大值为2，所以A2+A2=2,解得A=2．。
专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用2019年1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．2010-2018年一、选择题1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．42．（2016年浙江）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A ．(sin 2)sin f x x =B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为A B C D6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为A ．B ．C ．D ．7．（2015湖南）已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π= 二、填空题8．（2016年浙江）已知22cos sin 2sin((>0)x x A x b A ωϕ+=+)+,则A =__，b =__． 9．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ． 10．（2014陕西）设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1θθθ==，，，a b ，若∥a b ， 则=θtan _______．11．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.（1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，332），则ω= ；（2）若在曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ．三、解答题12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．NM POAB CD(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．14．（2015山东）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角,,A B C ，的对边分别为,,a b c ，若()02Af =，1a =，求△ABC 面积的最大值．15．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()103cossin 1212f t t t =--，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？16．（2014陕西）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值．17．（2013福建）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案部分2019年1.解析解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DE BE AC AE CD=====.'因为PB⊥AB，所以84cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知2210AD AE ED=+=，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+2010-2018年1．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 2．B 【解析】由于21cos2()sin sin sin 2xf x x b x c b x c -=++=++． 当0b =时，()f x 的最小正周期为π； 当0b ≠时，()f x 的最小正周期2π；c 的变化会引起()f x 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B ．注：在函数()()()f x h x g x =+中，()f x 的最小正周期是()h x 和()g x 的最小正周期的公倍数．3．C 【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 4．D 【解析】对于A ，当4x π=或54π时，sin 2x 均为1，而sin x 与2x x +此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当1x =或1x =-时，212x +=，而|1|x +由两个值，故C 错误，选D ．5．B【解析】由于(0)2,()1()()424f f f f ===<πππ，故排除选项C 、D ；当点P 在BC上时，()tan )4f x BP AP x x =+=π≤≤．不难发现()f x 的图象是非线性，排除A ．6．C 【解析】由题意知，()|cos |sin f x x x =⋅，当[0,]2x π∈时，1()sin cos sin 22f x x x x ==；当(,]2x ππ∈时，1()cos sin sin 22f x x x x =-=-，故选C ． 7．A【解析】由223301sin()cos()|cos cos 02x dx x ππϕϕϕϕϕ-=--=+=⎰，得tan ϕ=()3k k Z πϕπ=+∈，所以()sin()()3f x x k k Z ππ=--∈，由正弦函数的性质知sin()3y x k ππ=--与sin()3y x π=-的图象的对称轴相同，令32x k πππ-=+，则5()6x k k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴为5()6x k k Z ππ=+∈，当0k =，得56x π=，选A ． 81【解析】22cos sin 2)14x x x π+++，所以 1.A b ==9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10．12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈， ∴1tan 2θ=．11．（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，cos 36πωω=∴=； （2）曲线()y f x '=cos()x ωωϕ=+的半周期为πω，由图知222T AC ππωω===， 122ABC S AC πω=⋅=V ，设,A B 的横坐标分别为,a b ．设曲线段¼ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABC S P S ππ===V ． 12．【解析】(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．θHE KGNM PO ABC D过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以COE θ∠=， 故40cos OE θ=，40sin EC θ=，则矩形ABCD 的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )θθθθθ⨯+=+，CDP ∆的面积为1240cos (4040sin )1600(cos sin cos )2θθθθθ⨯⨯-=-．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则10GK KN ==． 令0GOK θ∠=，则01sin 4θ=，0(0,)6πθ∈． 当0[,)2πθθ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是1[,1)4．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin cos cos )θθθ+平方米，CDP ∆的面积为1600(cos sin cos )θθθ-，sin θ的取值范围是1[,1)4．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (0)k >， 则年总产值为4800(4sin cos cos )31600(cos sin cos )k k θθθθθθ⨯++⨯-8000(sin cos cos )k θθθ=+，0[,)2πθθ∈．设()sin cos cos f θθθθ=+，0[,)2πθθ∈，则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()0f θ'=，得π6θ=，当0(,)6πθθ∈时，()>0f θ′，所以()f θ为增函数； 当(,)62ππθ∈时，()<0f θ′，所以()f θ为减函数， 因此，当π6θ=时，()f θ取到最大值．答：当π6θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．13．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107AC =，40AM =． 所以2240(107)30MN =-=，从而3sin 4MAC ∠=． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG . 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G . 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处.过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32. 因为EG = 14，11E G = 62，所以1KG =6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠42473(35)525255=⨯+-⨯=. 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)14．【解析】（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x ．由ππππk x k 22222+≤≤+-(Z k ∈)，可得ππππk x k +≤≤+-44(Z k ∈)；由ππππk x k 223222+≤≤+(Z k ∈)，得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈)；所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）； 单调递减区间是]43,4[ππππk k ++（Z k ∈）． （Ⅱ）1()sin 022A f A =-=Q ，1sin 2A ∴=，由题意A 是锐角，所以 cos 2A =． 由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，可得2212b c bc =+≥32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立．2sin 4bc A ∴≤．ABC ∆∴面积最大值为432+．15．【解析】（Ⅰ）因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ--+--+， 又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ， 当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ；于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒ （Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-， 又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ， 故在10时至18时实验室需要降温.16．【解析】（1）Q c b a ，，成等差数列，2a c b ∴+= 由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+Q()sin sin 2sin A C A C ∴+=+（2）Q c b a ，，成等比数列，22b ac ∴=由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==== 222a c ac +≥Q （当且仅当a c =时等号成立） 2212a c ac+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）2211112222a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以B cos 的最小值为1217．【解析】（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x <<， 所以sin cos2sin cos2x x x x >>．问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意． （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=． 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点；当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点。
专题四 三角函数与解三角形
第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.（2019北京9）函数
的最小正周期是 ________.
2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
A ． ①④
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ①③④
3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π
，且π4g
=
，则3π8f =
A.2−
B.
D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，
2
π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A ．
15
B
C
D
5.（2019江苏13）已知tan 2
π3tan 4αα=−
+
，则πsin 24α + 的值是_________.
6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =
∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++ 的值域. 2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅲ)若1
sin 3
α=，则cos 2α= A ．
89
B ．
79
C ．79
−
D ．89
−
2．（2016年全国III ）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+= A ．
6425 B ．4825 C ．1 D ．1625
3．（2016年全国II ）若3
cos(
)45
π
α−=
，则sin 2α=（ ） A ．725 B ．15 C ．1
5
− D ．725− 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10−=
o
o
o
o
A
． B
．12
− D ．1
2
5．（2015重庆）若tan 2tan
5
π
α=，则
3cos()10sin()
5
π
απ
α−
−＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则
A ．0sin >α
B ． 0cos >α
C ． 02sin >α
D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0,
)2π
α∈，(0,)2π
β∈，且1sin tan cos βαβ
+=
，则 A ．32παβ−= B ．22παβ−= C ．32παβ+= D ．22
π
αβ+=
8．（2014江西）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则
2222sin sin sin B A
A
−的值为（ ）
A ．19
− B ．
13 C ．1 D ．72
9．(2013新课标Ⅱ)已知2sin 23α=，则2
cos ()4
πα+=
（ ） A ．16 B ．13 C ．12
D ．23
10．（2013浙江）已知2
10
cos 2sin ,=
+∈αααR ，则=α2tan A ．
34 B ．4
3 C ．43
− D ．34−
11．（2012山东）若
∈2,4ππθ，8
7
32sin =
θ，则=θsin A ．
53 B ．54 C ．47 D ．4
3
12．(2012江西)若
sin cos 1
sin cos 2
αααα+=−，则tan2α=
A ．−34
B ．3
4
C ．−43
D ．43
13．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
2y x =上，则cos 2θ=
A ．45−
B ．35−
C ．35
D ．45
14．（2011浙江）若02
π
α＜＜
，02
π
β-
＜＜，1
cos()43π
α+=
，cos()42πβ−cos()2
β
α
+
=
A
B
．C
D ． 15．（2010新课标）若4cos 5α=−
，α是第三象限的角，则
1tan
21tan 2
α
α+=− A ．12
−
B ．
12
C ．2
D ．-2
二、填空题
16．(2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是_____． 17．(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ___．
18．（2017新课标Ⅱ）函数2
3()sin 4f x x x =+−
([0,])2
x π
∈的最大值是 ． 19．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关
于y 轴对称．若1
sin 3α=
，则cos()αβ−=___________． 20．（2017江苏）若1
tan()46
πα−=，则tan α= ． 21．（2015四川）=+o
o
75sin 15sin ．
22．（2015江苏）已知tan 2α=−，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______． 23．（2014新课标Ⅱ）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+−+的最大值为____． 24．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1
tan 42
πθ
+=
，则sin cos θθ+=___． 25．（2013四川）设sin 2sin αα=−，(
,)2
π
απ∈，则tan 2α的值是_____．
26．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ +=
，则sin 212απ
+ 的值为 ．
三、解答题
27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=
，cos()αβ+． (1)求cos 2α的值； (2)求tan()αβ−的值．
28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过
点3
4(,)55
P −−． (1)求sin()απ+的值；
(2)若角β满足5sin()13
αβ+=，求cos β的值．
29．（2017浙江）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =−−()x ∈R ．
（Ⅰ）求2(
)3
f π
的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 30．(2014江苏)已知),2(ππ
α∈，5
5sin =α．
(1)求)4
sin(απ
+的值；
(2)求)26
5cos(
απ
−的值． 31．（2014江西）已知函数()()
()θ++=x x a x f 2cos cos 22
为奇函数，且04=
πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ． （1）求θ，a 的值；
（2）若 ∈−=
ππαα，，
2524f ，求 +3sin πα的值．
32．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π
=
−∈
．
(1) 求3f π
的值； (2) 若33cos ,,252πθ
θπ
=∈
，求6f πθ
−
．
33．（2013北京）已知函数2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =−+
（1）求()f x 的最小正周期及最大值；
（2）若(
,)2
π
απ∈，且()f α=
，求α的值． 34．（2012广东）已知函数()2cos()6
f x x π
ω=+
，
（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,
]2π
αβ∈,56(5)35
f απ+=−,516
(5)617f βπ−=
,求cos()αβ+的值．。
