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三角函数与解三角形
一、选择题
（2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移
12
π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A ．()26k x k Z ππ
=-∈ B ．()26k x k Z ππ
=+∈
C ．()212
k x k Z ππ
=-∈
D ．()212
k x k Z ππ
=+∈
（2016·9）若3
cos(
)45
π
α-=，则sin 2α =（ ） A ．
725
B ．15
C ．1
5
-
D ．7
25
-
（2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12
，AB =1，BC ，则AC =（ ）
A ．5
B
C ．2
D ．1
（2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π
ω+
=x x f 在),2(ππ
单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15
[,]24
B. 13[,]24
C. 1(0,]2
D. (0,2]
（2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ）
A ．45
-
B ．35
-
C ．35
D ．45
（2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周期为π，且()()f x f x -=，
则（ ）
A ．()f x 在(0,)2π
单调递减
B ．()f x 在3(,)44
ππ
单调递减
C ．()f x 在(0,)2π
单调递增
D ．()f x 在3(,)44
ππ
单调递增
二、填空题
（2017·14）函数()23sin 4f x x x =-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4
5
A =
，1cos 53C =，a = 1，则b = .
（2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.
（2013·15）设θ为第二象限角，若1
tan()42
πθ+=，则sin cos θθ+=_________.
（2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 . 三、解答题
（2017·17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． （1）求cos B ；
（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．
（2015·17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．
（Ⅰ）求 sin sin B
C
∠∠；
（Ⅱ） 若AD =1，DC =
2 ，求BD 和AC 的长．
（2013·17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.
（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
8．三角函数与解三角形（逐题解析版）
一、选择题
（2016·
7）B 解析：平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，得对称轴方程：()ππ
26
Z k x k =+∈，故选B ．
（2016·9）D 解析：∵3cos()45πα-=，2ππ7sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()124425
παααα=-=-=--=，故选D ．
（2014·4）B 解析：∵1||||sin 2ABC S AB BC B ∆=
⋅⋅，即：11
1sin 22
B =⋅，
∴sin B =
，即45B =或135． 又∵222||||||2||||cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，∴2
||1AC =或5，
又∵ABC ∆为钝角三角形，∴2
||5AC =，即：||AC =
（2012·9）A 解析：由
322,22442
k k k πππππ
πωπωπ+≤+<+≤+∈Z 得，1542,24k k k ω+≤≤+∈Z ，
15
024
∵，∴ωω>≤≤.
（2011·5）B 解析：由题知tan 2θ=,222222
cos sin 1tan 3
cos2cos sin 1tan 5
θθθθθθθ--===-++，故选B.
（2011·11）A 解析：
())(0,||)42
f x x ππ
ωϕωϕ=++><的最小正周期为π，所以2ω=，
又()()f x f x -=，∴ f (x )为偶函数，=+,4k k Z πϕπ∴∈，())2
f x x x π
∴=+=，故选A.
二、填空题
（2017·14）1【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫
⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，22sin cos 1x x +=，
∴ ()21cos 4f x x x =-+，设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()2
14
f x t =-++，函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x =．
（2016·
13）2113解析：∵4cos 5
A =，5cos 13C =，∴3sin 5A =，12
sin 13C =，()63
sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =，解得2113
b =．
（2014·14）1 解析：∵()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+
sin cos()cos sin()2sin cos()cos sin()sin cos()sin x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+++-+=+-+=
∵x R ∈，∴()f x 的最大值为1.
（2013·15）解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+=
= ⎪-⎝
⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入
