第三章量子力学中的力学量

量子力学教程课后习题答案量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即T=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式，（1）以及，（2），（3）有这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。

但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下：如果令x= ，则上述方程为这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。

[H ˆ,L ˆ2] [ 22 r2 r(r2 r) V (r)2 L ˆ2 r2,L ˆ2] 0
[H ˆ,L ˆz][2L ˆ2 r2,L ˆz]21 r2[L ˆ2,L ˆz]0
[Lˆ2, Lˆz ] 0
共同本征函数 n lm (r,,) R n l(r)Y lm (,)
[例题]证明(原课件):
[pˆx,F(x)]i
F x
解:取任意函数,由于
[p ˆx,F (x)] i[ xF F x]
i[ F F F ] i F
x x x x
因是任意的函数,所以
[pˆx,F(x)]i
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i x gsna i
* n j
n id x ,j 1 ,2 ,
sn
i 1
i 1
sn
sn
aiGji g ai ji G jin * jG ˆn id x ,jin * j n id x
[ x ˆ ,p ˆ y ] [ x ˆ ,p ˆ z ] [ y ˆ ,p ˆ x ] [ y ˆ ,p ˆ z ] [ z ˆ ,p ˆ x ] [ z ˆ ,p ˆ y ] 0
2,角动量算符的对易式: Lˆ rˆ pˆ
[L ˆx,L ˆy]L ˆxL ˆyL ˆyL ˆx(yp ˆzzp ˆy)(zp ˆxxp ˆz)
H ˆ nlmEn nlm,En2e 2n s42
L ˆ 2n lm ( l 1 ) l2n lm ,L 2 l( l 1 )2
L ˆz n lmmn lm ,L zm
在nlm态下,能量,角动量平方,角动量z分量

U = −M ⋅ B = −MB cosθ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误！未找到引用源。式，原子在 z 方向所受的力是
Fz
= − ∂U ∂z
=
M
∂B cosθ ∂z
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cosθ =+1 和-1 两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电
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电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 → 0 时，自旋效应消失 这可以从错误！未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 （1）、自旋算符 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量， 自旋算符必须满足
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χ (1) = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ (2) = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (3) = χ1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z ) χ (4) = χ−1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) 3、耦合表象（ S 2, Sz ）的基矢 （ S 2 , Sz ）的本征态可以由（ S1z ，S2z ）的本征态 χ1/ 2 (s1z ) ，χ−1/ 2 (s1z ) ，χ1/ 2 (s2z ) ，χ−1/ 2 (s2z ) 组合得到 χ11 = χ1/ 2 (s1z )χ1/ 2 (s2z ) χ1,−1 = χ−1/ 2 (s1z )χ−1/ 2 (s2z )

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。