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2020年物理竞赛—量子力学A版—第四章 量子力学中的力学量 算符和力学量的关系17PPT 课件

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量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数

量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数
m
2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的 。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来 它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章 量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数 性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”

量子力学 第四章

量子力学 第四章

∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2

量子力学第四章习题(1)

量子力学第四章习题(1)

第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。

下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。

又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。

进而求的本征值。

4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。

4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。

一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。

试证明之。

4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。

4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。

（a）试求C3的数值。

（b）写出在t时的波函数。

（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。

4. 力学量与算符

4. 力学量与算符
ˆ 之积不一定是厄米算符 ˆ,G <4>厄米算符F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F

高中物理奥林匹克竞赛专题——量子力学课件(共546张PPT)

高中物理奥林匹克竞赛专题——量子力学课件(共546张PPT)

（三）Compton 散射 -光的粒子性的进一步证实。
（1） Compton 效应
X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 个特点：
1 散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一 个新的波长为λ'的X光， 且λ' >λ；
2 波长增量 Δλ=λ’ –λ 随散射角增大而增大。这一现象 称为 Compton 效应。
光电效应的两个典型特点的解释
• 1. 临界频率v0
1 V 2 h A
2
2. 光电子动能只决定于光 子的频率
上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子 的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到 了正确的说明。
由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V = 0 时由
该式所决定，即
hv -A = 0，
v0 = A / h ， 可见，
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1.临界频率v0 只有当光的频率大于某一定值v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。

2022-2023学年高二物理竞赛课件：力学量的算符表示及其本征值方程

2022-2023学年高二物理竞赛课件：力学量的算符表示及其本征值方程
4 2023/8/2
电子到底是穿过那条狭缝过来的？ 用测量来确定
5 2023/8/2
“观测影响粒子量子行为” —“波函数坍塌”
量子叠加态一经测量，就按照一定的概率，塌缩 到一个固定的本征态，回到经典世界。而在没有被测 量之前，粒子则是处于‘既是此，又是彼’的混合叠 加不确定状态。因此，我们无法预知粒子将来的行为， 只知道可能塌缩到某个本征态的概率。
8 2023/8/2
霍金：“当我听说薛定谔的猫的时候，我就 跑去拿枪，想一枪把猫打死！”
9 2023/8/2
在数学上,算符的一般定义为当它作用倒一个函数u上后 可以把u映射为另一个函数v，即
Fˆu v
当函数u与v只差一个常数λ时，即v=λu，该方程称作 算符F的本征方程，u称作本征函数，λ称作本征值。
Lz m , m 0, 1, 2 l
角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间 取向量子化自然得到。
通过上面的讨论， ψnlm是H，L2和LZ的共同本征函数。 这在量子力学里对应于三维问题应该选3个对易物理量
算符构成一个力学量完备集。
12 2023/8/2
其它力学量算符： F Fˆ F(rˆ, pˆ) F(r,-i )
例如动能算符：
Ek
p2 2m
Tˆ
2 2 2m
2 2023/8/2
不确定关系
接受波函数的统计诠释等于摒弃了经典粒子的轨道概念， 即排除了粒子每时每刻有确定的位置和确定的动量。所 以由波函数只能给出粒子位置的平均值及其偏差，同样 对粒子的动量也只能知道其统计平均值及其偏差。
Fˆu u
量子力学中将会看到： 1）力学量的可能取值就是其本征值； 2）力学量取某本征值的几率由相应的本征函数确定。

量子力学中的量子力学力学量的算符关系

量子力学中的量子力学力学量的算符关系

量子力学中的量子力学力学量的算符关系量子力学是研究微观粒子行为和性质的理论框架，它描述了自然界中微观领域中的物质和能量的行为方式。

在量子力学中，量子力学力学量的算符关系是描述物理量之间的对易关系或反对易关系的数学表达式。

这些算符关系是量子力学理论的基石，对于量子力学系统的描述和计算具有重要意义。

一、量子力学力学量的基本概念在量子力学中，力学量指的是描述物理系统状态的特性，比如位置、动量、角动量、能量等。

这些力学量由相应的物理量算符来表示，量子态的演化和测量是通过这些算符的操作来实现的。

在量子力学中，力学量算符是一种特殊的线性算符，它们作用于量子态（波函数或矢量表示）来得到相应的测量结果。

力学量算符的本征态对应于测量得到的确定值，而本征值则是该测量值对应的物理量数值。

二、量子力学力学量的算符关系量子力学力学量的算符关系可以通过对易关系或反对易关系来描述。

对于可同时测量的力学量，它们的算符满足对易关系；而对于不可同时测量的力学量，它们的算符满足反对易关系。

1. 对易关系对易关系表示两个力学量算符的乘积与其反序乘积之间的关系。

对于两个可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足对易关系：[A, B] = AB - BA = 0其中[A, B]表示算符的对易子。

对于满足对易关系的力学量算符，它们的本征态可以共享相同的基础。

2. 反对易关系反对易关系描述的是两个不可同时测量的力学量算符之间的关系。

对于不可同时测量的力学量A和B，它们的算符满足反对易关系：{A, B} = AB + BA = 0其中{A, B}表示算符的反对易子。

反对易关系的存在意味着这两个力学量之间存在一定的互换关系，即测量一个力学量会影响到另一个力学量的测量结果。

三、具体力学量的算符关系1. 位置和动量在量子力学中，位置算符和动量算符是最基本的力学量。

它们的算符关系由玻尔-海森堡不确定关系给出：Δx · Δp ≥ h/4π其中Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。

量子力学4态和力学量的表象

量子力学4态和力学量的表象

(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中，态的表示：(x,t)
的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较：
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特（Hilbert）空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质？
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))

量子力学第四章

量子力学第四章
量子力学
（一）动量表象 ;
（二）力学量表象
2
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如 何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 假设 Ψ (x,t) 是归一化波函数， 命题 则 C(p,t) 也是归一。 动量本征函数：
p ( x)
1 e ipx / 2
( x , t ) an ( t )un ( x ) aq ( t )uq ( x )dq
n
归一化则变为：
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；

n
an * ( t )an ( t ) aq * ( t )aq ( t )dq 1
量子力学
x ( x x) x ( x x) 所以 x ( x) ( x x)
5
（二）力学量表象
推广上述讨论：
x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，
因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题 那末，在任一力学量Q表象中，
Ψ (x,t) 所描写的态又如何表示呢？
证
1

* ( x , t )( x , t )dx
组成完备系，任一 状态Ψ可按其展开
展开系数
[ C ( p, t ) p ( x )dp] * [ C ( p, t ) p ( x )dp ]dx
( x , t ) C ( p, t ) p ( x )dp C ( p, t ) p * ( x )( x , t )dx
动量表象 exp[i(p'x-E't)/ ] C(p,t)= δ (p'-p)exp[-iE't/ ]

2020年人大附中高中物理竞赛辅导课件(量子物理基础)力学量的算符表示(共20张PPT)

2020年人大附中高中物理竞赛辅导课件(量子物理基础)力学量的算符表示(共20张PPT)

）的“态”，称为
圆轨道，例如：1s,2p,3d,…，它们极大值的位
置：
，其中 是第一玻尔轨道半径。
称 为最概然半径。
电子的径向几率分布
2p
3p
4p
1s 2s 3s
r
4s
r
3d 4d
r
电子的几率密度随角度的变化 电子在 附近的立体角 内的几率：
z
驻波 z
y
y
z y
(
E
1
4 0
e2 )]
r
1 [
1
sin
d
d
(sin
d d
)
ml 2
sin2
]
0
上式可分解为两个方程：
1
1
sin
d
d
(sin
d d
)
ml 2
sin2
1
d 2 d 2
ml 2
在上述方程的求解过程中可得，氢原子只能处于 一些分立的状态，可用三个量子数描写：
1、主量子数n n 1,2,3,
决定着氢原子的能量
——为本征方程
k 为本征值 ekx 为本征函数
2、 对应原理
动量为定值 px 的一维自由粒子的波函数为
i
Px ( x)
对x求导并整理
Ae px x
i
x
Px
(
x
)
px Px ( x)
令
pˆ x
i x
称为动量的x分量算符
则
px
pˆ x
i x
同理
所以动量算符为
pˆ i
任何力学量总可以用一个对应的算符 Qˆ 来表示。 可见力学量与算符之间存在着普遍的对应关系。

量子力学第 4 章

量子力学第 4 章

Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s

量子力学第四章：力学量用算符表示

量子力学第四章：力学量用算符表示

第四章：力学量用算符表示(2)证明以下诸式成立：(1)(证明)根据坐标分角动量对易式为了求证该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。

以及看到由于轮换对称性，得到特征的公式。

(2)（证明）证法与（1）类似，但需先证分量与分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。

(3)注意 与x 没有共同坐标。

(4)注意没有共同坐标，因此可以对易即，故)()(2222z y x x z y l l p p l l A +-+=zz x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---=})(){(x x p l l p hi*-*=(3) l为粒子角动量。

F 为另一力学量，证明： )(],[pF p r F r hi F l ∂∂*+∂∂*-=(6)证明是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。

另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式： 前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。

（7）证(A 等是实数)是厄密算符（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：τϕτψτϕτψd P A d P F n nˆ)ˆ(∑•≡•⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰•∑=>ττϕψd PA n nn n ˆ0⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ(ˆ1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PA n n )ˆ()ˆ(1 ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P PP A n n )ˆ(ˆ)(2 τϕψd P P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆˆ(3-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(32 τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42-•∑= ⎰⎰⎰-•∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42 ⎰⎰⎰•=ττϕψd PF ])ˆ([ )ˆ(PF 满足厄密算符的定义。

量子力学(第四章)

量子力学(第四章)

5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M

1.7-量子力学中的算符和力学量

1.7-量子力学中的算符和力学量

算符即运算规则算符即运算规则。

它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。

例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。

量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。

例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。

例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。

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| cn |2 n
（4）
L2
22 62
相应几率
1 5
4 5
Lz 相应几率 1
例 2：（《周》）3.6 设t=0 时，粒子的状态为 (x) = A [ sin2kx + (1/2)coskx ]
求粒子的平均动量和平均动能。
解：
(x)
A{(
1 2i
[eikx
eikx ])2
1 4
(eikx
eikx )}
（二）力学量的平均值
力学量平均值就是指多次测量的平均结果，如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：
x
4 x1 6 x2 10
4 10
x1
6 10
x2
1 x1
2 x2
i
i xi
同样，在任一态ψ(x)
中测量某力学量 F 的 平均值（在理论上） 可写为：
要解决上述问题,我们 还得从讨论 本征函数 的另一重要性质入手。
1. 函数系 的完备性
有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函数展开:
(x) cnn( x)
n
例如：动量本征函数
组成完备系
则称这组函数φn(x) 是完备的。
(r,t)
c(
p,
t
)
p(r )d
任一力学量 F，所得的结果只能是由算符 F 的本征方程
Fˆ
n
nn
但是, 还有 两个问题 没有搞清楚：
解得的本征值λn之一。
1. 测得每个本征值λn的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到， 对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。
2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。
(1) 力学量算符本征函数组成完备系
cnn
*
cmm dx
cn * cm n*mdx
n
m
nm
cn * cm nm cn * cn | cn |2
nm
n
n
所以|cn|2 具有几率的意义，cn 称为几率振幅。我们知道|ψ(x)|2 表示在x点找到粒子的几率密 度，|c(p)|2 表示粒子具有动量 p 的几率，那么同样，|cn|2 则表示 F 取 λn 的几率。
（2）Ψ是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值；
（4）在 Ψ 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及 其相应的几率。
解：
(1)
Lˆ2
Lˆ2
1 3
Y11
(
,j
)
2 3
Y21
(
,
j
)
1 3
1(1 1)2Y11
2 3
2(2 1)2Y21
22
1 3
Y11
2Y21
2020高中物理竞赛
量子力学 第四章
算符与力学量的关系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系 （2） 力学量的可能值和相应几率 （3） 力学量有确定值的条件
（二）力学量的平均值 （三）例题
（一）力学量的可能值
量子力学基本假定III告诉人们，在任意态ψ(r)中测量
与波函数ψ(x) 按动量本征函数 展开式比较,二者完全相同
我们知道：ψ(x) 是坐标空间的波函数；
c (p) 是动量空间的波函数；
则
{ cn } 则是 F 空间的波函数，
三者完全等价。
证明：当ψ(x)已归一时，c(p) 也是归一的， 同样 cn 也是归一的。
证：
1
( x) ( x)dx
推论：当体系处于ψ(x) 态时，测量力学量F具有确定值的充要条件是ψ(x) 必须 是算符 F的一个本征态。
证： 1. 必要性。若F具有确定值λ 则ψ(x) 必为 F 的本征态。
“确定值”的意思就是 每次测量都为λ 。
且测得可能值是： λ1,λ2,...,λm …
根据基本假定III，测量值必为本征值之一， 令λ =λm 是 F 的一个本征值，满足本征方程
综上所述，量 子力学作如下 假定：
量子力学基本假定IV
任何力学量算符 F 的本征函数φn(x)组成正交归一完备 系，在任意已归一态ψ(x)中测量力学量 F 得到本征值
λn 的几率等于ψ(x)按φn(x)展开式：
中对应本征函数φn(x)前的系数 cn 的绝对值平方。
(x) cnn(x)
n
（3） 力学量有确定值的条件
根据量子力学基本假定III，测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的本征 值 λn n = 1,2,.. .之一,该本征值由本征方程确定：
而每一本征值λn各以一定几率出现。 那末这些几率究竟是多少呢？下面 我们讨论这个问题。
Fˆn(x) nn(x) n 1,2,
由于φn(x)组成完备系，所以体系 任一状态ψ(x)可按其展开：
1 5
Y11
2Y21 *
Lˆ2
1 5
Y11
2Y21
d
1 5
Y11 2Y21 * 22Y11 62 2Y21 d
1 5
22 Y11 2 242 Y21 2 d
1 [22 242 ] 26 2
5
5
方法 II
1 5
Y11
2Y21
利用
F
n
L2
1
2
22
2
2
62
26 2
5
5
5
2
c( p1 )
2
c( p2 ) c( p3 )
2 4
2
c(
p4
)
c(
p5
)
4
p1 0
p2 p3
2k 2k
p4
k
p5 k
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2k
(2k)
k
( k)
2
4
4
4
4
0
（2）动能平均值
5
T
i 1
| c( pi ) |2
pi 2
2
1
2
2
2 0
2
2
F
| cn |2 n
此式等价于 以前的平均
n
值公式：
F *( x)Fˆ ( x)dx
这两种求平均
F *( x)Fˆ ( x)dx
n
cnn ( x) Fˆ
m
cmm ( x)dx
值的公式都要 求波函数是已 归一化的
如果波函数 未归一化
cn * cm n *(x)Fˆm(x)dx
Fˆn ( x) nn ( x)
n 1,2, , m,
相应几率是： |c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。
又根据基本假定 IV，φn(x) 组成完备系，
( x) cnn( x)
n
现在只测得λm，所以|cm|2=1, |c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。 于是得 ψ(x)= m(x)，即 ψ(x)是算符 F 的一个本征态。
2.充分性。若ψ(x)是F的一个本征态，即 φm(x)，则 F 具有确定值。
ψ(x)=
根据基本假定IV，力学量算符 F 的本征函数组成完备系。
所以
( x) cnn( x) m ( x)
n
因为
|
cn
|2
1 0
nm nm
测得λn 的几率是 |cn|2。
所以，测量 F 得λm 的几率为 1，因而有确定值。
展开系数 cn 与x无关。
( x) cnn( x)
n
为求 cn ，将φm*(x) 乘上式并对 x 积分 讨论：
m ( x) ( x)dx m ( x) cnn( x)dx n cn m *( x)n( x)dx n cn mn cm n
即 cn n( x) ( x)dx
故 Ψ 不是 L2 的本征态。
(2)
Lˆ z
Lˆ z
1 3
Y11
(
,
j
)
2 3
Y21
(
,j
)
1
2
3 Y11 3 Y21
1 3 Y11
2 3 Y21
Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 。
（3）求 L2 的平均值
方法 I
验证波函数是否 归一化：
F *( x)Fˆ ( x)dx
（ 已归一化）
2 (2k)2 4
2
2 (2k)2 4
2
2 (k)2 4
1
2
0
1 8
(2k)2
1 (2k)2 8
1 (k)2 8
1 8
(
k)2
5k 22
8
2 4
2
(
k)2
作业
周世勋《量子力学教程》 3.7、3.8
谢谢观看！
cn * cmm n * ( x)m ( x)dx
n
m
nm
cn*cmm nm
| cn |2 n
nm
n
| cn |2 n
则 F n
| cn |2
n
F *( x)Fˆ ( x)dx *( x) ( x)dx
例1：已知空间转子处于如下状态
1 3
Y11
(
,j
)
2 3
Y21
(
,j
)
试问： （1）Ψ是否是 L2 的本征态？
3
p
或 (r) c( p) p(r)d 3 p
2. 力学量算符的本征函数集合构成完备系