(完整word版)实变函数期末考试卷A卷
- 格式：doc
- 大小：438.00 KB
- 文档页数：7
１
实变函数
一、 判断题（每题2分，共20分）
1.若A是B的真子集，则必有BA。 （×）
2.必有比a小的基数。 （√）
3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。 （√）
4.无限个开集的交必是开集。 （×）
5.若E，则0*Em。 （×）
6.任何集nRE都有外测度。 （√）
7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×）
8.可测集的所有子集都可测。 （×）
9.若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意子集上也可测。（×）
10.)(xf在E上可积必积分存在。 （×）
1.设E为点集，EP，则P是E的外点.（ × ）
2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）
3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则
1()lim().nnnnmEmE
（× ）
4.单调集列一定收敛. （√ ）
5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在
F
上连续.（ × ）
２
二、填空题（每空2分，共20分）
1.设B是1R中无理数集，则B c 。
2.设1,1,,31,21,1RnA，则0A ，'A
}0{
。
3.设,2,1,0),11,11(nnnAn，则nnA0 )1,1( ，nnA1
}0{
。
4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E是]1,0[上的Cantor集，则mE 0 。
6.设A是闭集，B是开集，则BA\是 闭 集。
7.闭区间],[ba 上的有界函数)(xfRimann可积的充要条件是 )(xf
是],[ba上的几乎处处的连续函数 。
8. Rimann函数是 Rimann可积也是Lebesgue 可积的。
三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dxnxxnnxRn1032221sin1)(lim。（提示：使用Lebesgue控制收敛定
理）
解：设
nxxnnxxfn32221sin1)(
),2,1(n
，则
（1） 因)(xfn在]1,0[上连续，所以是可测的；
（2）]1,0[,0)(limxxfnn；
得分 阅卷人
３
（3）因为
xnxnxxnnxnxxnnx2
1
2
1sin121222132221
)(xF
显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有
0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxR
nn
2. 设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。
解：因为有理数集的测度为零，所以
2
)(xxf ..ea 于]1,0[， xxf)(
..ea
于]2,1[。
于是
]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxf
dxxdxx211026112331
四、证明题（每题8分，共40分）
1. 证明：)\()(\11nnnnAAAA
４
证明：
)(\1nnAA(AnnA
1
c
)
)(1cnnAA
=)(1cnnAA
)\(1nnAA
2. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明
M
是至多可列集。
证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，
从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间
是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应
的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。
3. 证明：若0Em，则E为可测集。
证明：对任意点集T，显然成立着
)()(cETmETmTm。
另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于
是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而
)()(cETmETmTm。
总之，)()(cETmETmTm。故E是可测集。
4. 可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数
r
，集合])([rxfE是可测集。
５
一、填空题（每小题2分，共10分）
（ D ）1、\\\ABCABC成立的充分必要条件是（ ）
A、AB B、BA
C、AC D、CA
（ A ）2、设E是闭区间0,1中的无理点集，则（ ）
.A1mE .B0mE
.CE是不可测集 .D
E
是闭集
（ C ）3、设E是可测集，A是不可测集，0mE，则EA是（ ）
.A可测集且测度为零 .B
可测集但测度未必为零
.C不可测集 .D
以上都不对
（ B ）4、设mE，nfx是E上几乎处处有限的可测函数
列，fx是E上几乎处处有限的可测函数，则nfx几乎处处收敛
于fx是nfx依测度收敛于fx的（ ）
.A必要条件 .B
充分条件
.C充分必要条件 .D
无关条件
（ D ）5、设fx是E上的可测函数，则（ ）
.A
fx
是E上的连续函数
.B
fx
是E上的勒贝格可积函数
.C
fx
是E上的简单函数
.D
fx
可表示为一列简单函数的极限
设()fx是(,)上的实值连续函数，则对于任意常数a，
{|()}Exfxa是一开集，而{|()}Exfxa
总是一闭集。
６
证明：
若00,()xEfxa则，因为()fx是连续的，所以存在0，使任意
(,)x
，
0
||()xxfxa就有
， ……………
……………(5分)
即任意00U(,),,U(,),xxxExEE就有所以是开
集…………………………（10分）
若,nxE且0(),()nnxxnfxa则，由于()fx连续，
0()lim()n
nfxfxa
，
即0xE，因此E是闭集。
（1）设2121(0,),(0,),1,2,nnAAnnn求出集列{}nA的上限集和下限
集
证明：
limnnA
………………………………………………………………………
（5分）
设(0,)x，则存在N，使xN，因此nN时，0xn，即2nxA，
所以x属于下标比N大的
一切偶指标集，从而x属于无限多nA，得limnnxA，
又显然
limnnnnAA所以
………………………………………
…………（7分）
limnnA
………………………………………………………………………
…………（12分）
若有limnnxA，则存在N，使任意nN，有nxA，因此若
21nN
时，
７
211,0,00nxAxnxn
即令得
，此不可能，所以
limnnA
………………（15分）
（2）可数点集的外测度为零。
证明：
证明：设{|1,2,}iExi对任意0，存在开区间iI，使iixI，
且||2iiI（8分）
所以1iiIE，且1||iiI，由的任意性得
*
0mE
………………………………（15
