实变函数期末考试卷A卷

华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。

共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。

（ 对 ）2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。

（ 错 ）3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。

（ 错 ）4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。

（ 对 ）5、若()n f x （1n =，2，）和()f x 都为可测集E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，..a e E ，则()()n f x f x ⇒，x E ∈。

（ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、单调收敛定理（即Levi 定理）答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)为E 上的非负可测函数，若{()n f x }是单调递增的，记()lim ()n n f x f x →∞=，则lim()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰。

2、R n中开集的结构定理答：R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

（或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

）3、R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C .Caratheodory 定义）答：设n E R ⊂，如果对任意nT R ⊂，总有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集，或称E 是Lebesgue 可测的。

4、F .Riesz 定理（黎斯定理）答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)和()f x 都是E 上的几乎处处有限的可测函数，如果()()n f x f x ⇒ x E ∈，则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x }，使得lim ()()k n k f x f x →∞=..a e 于E 。

实变函数期末考试题考试题目：本次实变函数期末考试题旨在考察学生对实变函数的理解、分析和应用能力。

考试时间为120分钟，共分为两部分，选择题和解答题。

请同学们仔细阅读每个问题，并在考试纸上作答。

祝各位同学好运！第一部分：选择题选择题共有10道题，每题4分，共40分。

请在A、B、C、D四个选项中选择正确答案，并填涂在答题纸上。

1. 设函数f(x) = x^2 + 2x - 1，那么f'(x)的导函数是：A. 2x + 2B. 2x + 1C. 2x - 1D. 2x + 22. 实变函数f(x) = e^x，则f''(x)的导函数是：A. e^xB. e^x - 1C. e^x + 1D. e^x + e^x3. 设函数f(x) = 3x^2 + 5，那么f(0)的值为：A. 5B. 3C. 0D. 84. 函数f(x) = |x - 2|的定义域为：A. (2, +∞)B. (-∞, 2)C. [2, +∞)D. (-∞, +∞)5. 函数f(x) = log(2x - 1)的定义域为：A. (1/2, +∞)B. (-∞, 1/2)C. [1/2, +∞)D. (-∞, +∞)6. 函数f(x) = sin(2x)的最小正周期为：A. πB. 2πC. π/2D. π/47. 函数f(x) = arctan(x)的值域为：A. (-∞, +∞)B. (-π/2, π/2)C. (-π/4, π/4)D. [0, π/2)8. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的导数为：A. 1/xB. xC. x - 1D. 1/(x - 1)9. 函数f(x) = x^3在闭区间[0, 1]上的最大值为：A. 27B. 9C. 1D. 310. 函数f(x) = sqrt(x)在闭区间[0, 4]上的最小值为：A. 0B. 1C. 2D. 4第二部分：解答题解答题共有3道题，共60分。

实变函数 一、 判断题每题2分,共20分1.若A 是B 的真子集,则必有B A <; ×2.必有比a 小的基数; √3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点; √4.无限个开集的交必是开集; ×5.若φ≠E ,则0*>E m ; ×6.任何集n R E ⊂都有外测度; √7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等; ×8.可测集的所有子集都可测; ×9.若)(x f 在可测集E 上可测,则)(x f 在E 的任意子集上也可测;×10.)(x f 在E 上可积必积分存在; ×1.设E 为点集,E P ∉,则P 是E 的外点. ×2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ×3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim().n n n n m E m E ∞→∞==×4.单调集列一定收敛. √5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.×二、填空题每空2分,共20分1.设B 是1R 中无理数集,则=B c ;2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ,则=0A φ ,='A }0{ ;3.设 ,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ,则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ,=⋂∞=n n A 1 }0{ ;4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集;5.设E 是]1,0[上的Cantor 集,则mE 0 ;6.设A 是闭集,B 是开集,则B A \是 闭 集;7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 ;8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的;三、计算题每题10分,共20分1.计算dx nx x n nx R n ⎰+∞→1032221sin 1)(lim ;提示：使用Lebesgue 控制收敛定理 解：设nx x n nx x f n 32221sin 1)(+=),2,1( =n ,则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续,所以是可测的；2]1,0[,0)(lim ∈=∞→x x f n n ；3因为显然)(x F 在]1,0[上可积;于是由Lebesgue 控制收敛定理,有2. 设⎪⎩⎪⎨⎧=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]2,0[)(dx x f ; 解：因为有理数集的测度为零,所以2)(x x f = ..e a 于]1,0[, x x f =)( ..e a 于]2,1[;于是四、证明题每题8分,共40分1. 证明：)\()(\11n n n n A A A A ∞=∞==证明：)(\1n n A A ∞=( A =n n A ∞=1c )=)(1cn n A A ∞= 2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明M 是至多可列集;证明：由有理数集的稠密性可知,每一个开区间中至少有一个有理数,从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合A;因为这些开区间是互不相交的,所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的;则A 是有理数集的子集,故至多可列,所以M 也是至多可列集;3. 证明：若0=*E m ,则E 为可测集;证明：对任意点集T ,显然成立着)()(c E T m E T m T m ***+≤;另一方面,因为0=*E m ,而E E T ⊂ ,所以E m E T m **≤)( ,于是)(E T m *0=;又因为c E T T ⊃,所以)(c E T m T m **≥,从而)()(c E T m E T m T m ***+≥;总之,)()(c E T m E T m T m ***+=;故E 是可测集;4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ,集合])([r x f E <是可测集;一、填空题每小题2分,共10分D 1、()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是A 、AB ⊂ B 、B A ⊂C 、A C ⊂D 、C A ⊂A 2、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集,则.C E 是不可测集 .D E 是闭集C 3、设E 是可测集,A 是不可测集,0mE =,则E A 是.A 可测集且测度为零 .B 可测集但测度未必为零.C 不可测集 .D 以上都不对B 4、设mE <+∞,(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的.A 必要条件 .B 充分条件.C 充分必要条件 .D 无关条件D 5、设()f x 是E 上的可测函数,则.A ()f x 是E 上的连续函数.B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数.C ()f x 是E 上的简单函数.D ()f x 可表示为一列简单函数的极限设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>是一开集,而{|()}E x f x a =≥总是一闭集;证明：若00,()x E f x a ∈>则,因为()f x 是连续的,所以存在0δ>,使任意(,)x ∈-∞∞,0||()x x f x a δ-<>就有, …………………………5分 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈⊂就有所以是开集…………………………10分 若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则,由于()f x 连续,0()lim ()n n f x f x a →∞=≥, 即0x E ∈,因此E 是闭集; 1设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞=∞………………………………………………………………………5分 设(0,)x ∈∞,则存在N,使x N <,因此n N >时,0x n <<,即2n x A ∈,所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集,从而x 属于无限多n A ,得lim n n x A →∞∈, 又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞⊂∞=∞所以…………………………………………………7分 lim n n A φ→∞=…………………………………………………………………………………12分 若有lim n n x A →∞∈,则存在N,使任意n N >,有n x A ∈,因此若21n N ->时,211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得,此不可能,所以lim n n A φ→∞=………………15分 2可数点集的外测度为零;证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>,存在开区间i I ,使i i x I ∈,且||2i i I ε=8分所以1i i I E ∞=⊃,且1||i i I ε∞==∑,由ε的任意性得*0m E = (15)。

华屮师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、R卷）课程名称实变函数课程编号42111300 任课教师_________题型判断题叙述题简答题解答题总分分值151********得分一、判断题（判断正确、错课，并改正。

共5题，共5X3=15分）1、可数个冇限集的并集是可数集。

.（X ）改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。

2、存在开集使具余集仍为开集。

（V ）co3、若可测集列E“单调递减，则m A E n = limrnE, o( X )n=\ ns改正：若可测集列乞单调递减，且存在〃0,使加£心<008则m A E n = lim mE n <>n=\n—4、若E是可测集，/（兀）是£上的实函数，则/（x）在E上可测的充要条件是：0 实数a,b（a<b） , E[x\a<f<b]都是可测集。

（X ）改正：若£是可测集，/（Q是E上的实函数，则/（x）在E上可测的充耍条件是: 0实数a, E[x\f>a]都是可测集。

5、若E是可测集, /（兀）是E上的非负可测函数,则于（兀）在E上一定可积。

改正：若E是可测集, /（X）是E上的非负可测函数，则/（x）在E上不一定可积。

二.叙述题（共5题，共5X3=15分）1、集合的对等。

答：设A、B是两个集合，若A、BZ间存在一一对应，则称A与B对等。

2、可测集。

答：设E u R”,如果对任意T uR”,总有mV=/77*（Tn£） + m*（Tn£c）,则称E为可测集。

3、可测集与几型集的关系。

答：设E为可测集，则存在人型集F,使F uE且加E二加F、加（E — F） = O。

4、叶果洛夫定理。

答：设mE < +oo , { f n（x））为E上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）也为E上儿乎处处有限的可测函数，如果AU）^/（x） a.e.于E,则对任意£>0,存在可测了集E£^E 使在E&上,f n （兀）一致收敛于/*（兀），而m{E-E G）< 8 o5、九（兀）在可测集E上依测度收敛于/（兀）的定义。