高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．3.动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．【答案】x2＝y【解析】设直线l的方程为y＝x＋b，联立，消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2p＝3，∴p＝，则抛物线的方程为x2＝y．4.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由抛物线的方程可知焦点，直线的斜率为，则直线的方程为，设.将直线方程和抛物线方程联立削去并整理可得，解得.所以.故B正确.【考点】1直线与抛物线的位置关系；2数形结合思想.6.设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】【解析】设P(x0，x2)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x2.代入y＝x2得x2＋－－x2＝0，即(x－x)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝2＋2，令t＝4x2，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.7.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【答案】（1）；（2）长轴长的最小值为.【解析】（1）首先求得抛物线方程为.设直线方程为，并设利用，得到；联立，可得，应用韦达定理得到，从而得到，求得直线方程.（2）可求得对称点，代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，由，可得，即得解.（1）由题知抛物线方程为。
高三数学抛物线试题1.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.【考点】抛物线定义2.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．【考点】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．3.（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x【答案】B【解析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．4.若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交.【考点】直线与抛物线位置关系5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.6.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣8【答案】B【解析】抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．7.抛物线的准线为( )A．x= 8B．x=-8C．x=4D．x=-4【答案】D【解析】在抛物线中，所以准线方程为，选D.8.设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________【答案】【解析】∵圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，∴可设圆心C(a，0)，其半径为3－a∴圆C之方程为(x－a)2+y2=(3－a)2联立抛物线与圆C之方程得：x2－2(a－1)x+6a－9=0由题意知Δ=4(a－1)2－4(6a－9)=0a=4－∴圆C的半径能取到的最大值为9.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.10.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，，由抛物线定义，得．在中，由余弦定理，得,,,,故选B.【考点】1.抛物线的定义；2.基本不等式.).若点M到该抛物线焦点11.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为x+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.M∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.12.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于()A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3【答案】C【解析】过点M作MM′垂直于准线y=-1于点M′,则由抛物线的定义知|MM′|=|FM|,所以==sin∠MNM′,而∠MNM′为直线FA的倾斜角θ的补角.因为直线FA过点A(2,0)、F(0,1),=-=tanθ,所以kFA所以sinθ=,所以sin∠MNM′=,即|FM|∶|MN|=1∶.故选C.13.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.分线,kMF14.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3【答案】C【解析】结合图象可知，过焦点且斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形，且不难看出符合题意的正三角形有且仅有两个．15.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.【答案】(1) x2=2y(x≠0) (2) x-y-1=0或x+y+1=【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得kOP ·kOQ=-1,即·=-1,化简得x2=2y,∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.设直线l2的方程为y=kx+b, 由得x2-2kx-2b=0.∵直线l2与曲线C相切,∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.点(0,2)到直线l2的距离d==·=(+)≥×2=.当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.16.已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若，则实数．【答案】【解析】如下图，是抛物线的准线，直线过准线与轴的交点，作，是垂足，则，由于，所以，设，则①，再由抛物线方程得，代入直线方程可得，所以有②，③，由①②③解得.【考点】直线和圆锥曲线相交问题.17.若抛物线y2＝8x上的点(x0，y)到抛物线焦点的距离为3，则|y|＝()．A．B．2C．2D．4【答案】B【解析】设点A(x0，y)，F(2,0)，过点A作AA1垂直l(l为抛物线的准线)于点A1，则|AF|＝|AA1|＝x0＋2＝3，得x＝1，代入抛物线方程得|y|＝＝2.18.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。
高三抛物线相关知识点抛物线是数学中一个重要的曲线形状，其具有许多独特的性质和应用。
在高三数学学习中，学生们将接触到抛物线的相关知识点，了解其定义、属性、方程和应用。
本文将介绍高三抛物线相关知识点，让我们一起来了解吧！一、抛物线的定义与性质抛物线是由到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹所组成的曲线。
抛物线以准线为对称轴，焦点为焦点，开口朝上或朝下。
具有以下性质：1. 焦点与准线的距离相等：抛物线上的任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
2. 准线：离焦点等距离的直线，与抛物线具有最小二乘法。
3. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
4. 顶点：抛物线的最高点或最低点，称为顶点。
二、抛物线方程与图像1. 标准形式：抛物线的标准形式方程为 y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，a≠0。
通过调整a的正负值可以控制抛物线的开口方向。
2. 顶点形式：抛物线的顶点形式方程为 y = a(x - h)² + k。
其中，(h, k)为顶点坐标。
3. 焦点与准线定位：根据抛物线方程可以推导得出，焦点的坐标为 (h, k + 1/(4a))，准线的方程为 y = k - 1/(4a)。
4. 抛物线的图像：根据方程可画出抛物线的图像，根据方程的参数可以控制抛物线的开口大小、坐标等特性。
三、抛物线的应用抛物线作为一种特殊的曲线，在许多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等。
以下是一些常见的应用示例：1. 发射抛物线：抛物线作为物体抛射运动的轨迹，被广泛应用于发射器的设计和计算中。
2. 镜面反射：抛物线是一种反射光线的轨迹，因此在凹面镜和抛物面反射器设计中得到广泛应用。
3. 确定最佳路径：在工程和建筑设计中，抛物线可以用于确定最佳的曲线路径，以便节省材料和能源。
4. 天体运动：抛物线是天体运动中的一种常见形状，例如行星轨道和天体落体运动等。
5. 经济学模型：在经济学中，抛物线可以用于建模和预测市场趋势和销售走势。
第九章平面解析几何第9课时抛物线错误!考情分析考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．１了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质.２掌握抛物线的简单应用.１．已知抛物线的焦点坐标是（0，—３），则抛物线的标准方程是________．答案：x２＝—１２y解析：∵ 错误!＝３，∴p＝6，∴x２＝—１２y.２．抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵ ２p＝8，∴p＝４，故所求准线方程为x＝２．３．抛物线y＝ax２的准线方程是y＝２，则a的值是________．答案：—错误!解析：抛物线的标准方程为x２＝错误!y.则a＜0且２＝—错误!，得a＝—错误!.４．（选修１１P４４习题２改编）抛物线y２＝４x上一点M到焦点的距离为３，则点M的横坐标x ＝________．答案：２解析：∵ ２p＝４，∴p＝２，准线方程x＝—１．由抛物线定义可知，点M到准线的距离为３，则x＋１＝３，即x＝２．５．已知斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．答案：y２＝8x解析：依题意得，OF＝错误!，又直线l的斜率为２，可知AO＝２OF＝错误!，△AOF的面积等于错误!·AO·OF＝错误!＝４，则a２＝6４．又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y２＝8x.１．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．２．抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）标准方程y２＝２px（p>0）y２＝—２px（p>0）图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R准线方程x＝—错误!x＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于x轴对称顶点（0，0）离心率e＝１标准方程x２＝２py（p>0）x２＝—２py（p>0）图形性质范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线方程y＝—错误!y＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于y轴对称顶点（0，0）离心率e＝１题型１求抛物线的基本量例１抛物线y２＝8x的焦点到准线的距离是________．答案：４解析：由y２＝２px＝8x知p＝４，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为４．错误!抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵２p＝8，∴p＝４，准线方程为x＝２．题型２求抛物线的方程例２（选修１１P４４习题５改编）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线２x—y—４＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线２x—y—４＝0与x轴的交点是（２，0），与y轴的交点是（0，—４）．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则１若抛物线焦点在x轴上，则抛物线的标准方程是y２＝8x；２若抛物线焦点在y轴上，则抛物线的标准方程是x２＝—１6y；故所求抛物线方程为y２＝8x或x２＝—１6y.错误!已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y２＝２px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝错误!x，△AOB的面积为6错误!，求该抛物线的方程．解：∵ OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝错误!x，OB所在直线的方程为y＝—错误!x，由错误!得A点坐标为错误!，由错误!得B点坐标为（6p，—２错误!p），∴OA＝错误!|p|，OB＝４错误!|p|，又S△OAB＝错误!p２＝6错误!，∴p＝±错误!.∴该抛物线的方程为y２＝３x或y２＝—３x.题型３抛物线的几何性质探究例３在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（２，２），其焦点F在x轴上．（１）求抛物线C的标准方程；（２）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（３）设过点M（m，0）（m>0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝２DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．解：（１）由题意，可设抛物线C的标准方程为y２＝２px.因为点A（２，２）在抛物线C上，所以p ＝１.因此抛物线C的标准方程为y２＝２x.（２）由（１）可得焦点F的坐标是错误!，又直线OA的斜率为错误!＝１，故与直线OA垂直的直线的斜率为—１，因此所求直线的方程是x＋y—错误!＝0．（３）（解法１）设点D和E的坐标分别为（x１，y１）和（x２，y２），直线DE的方程是y＝k（x—m），k≠0．将x＝错误!＋m代入y２＝２x，有ky２—２y—２km＝0，解得y１，２＝错误!.由ME＝２DM知１＋错误!＝２（错误!—１），化简得k２＝错误!.因此DE２＝（x１—x２）２＋（y１—y２）２＝错误!（y１—y２）２＝错误!错误!＝错误!（m２＋４m），所以f（m）＝错误!错误!（m>0）．（解法２）设D错误!，E错误!.由点M（m，0）及错误!＝２错误!，得错误!t２—m＝２错误!，t—0＝２（0—s）．因此t＝—２s，m＝s２.所以f（m）＝DE＝错误!＝错误!错误!（m>0）．错误!抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２，该抛物线上的每个点到准线x＝—２的距离都与到定点N 的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆，（１）求定点N的坐标；（２）是否存在一条直线l同时满足下列条件：１l分别与直线l１和l２交于A、B两点，且AB中点为E（４，１）；２l被圆N截得的弦长为２．解：（１）因为抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２．所以p＝４，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为（２，0）．（２）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y—１＝k（x—４），k≠±１．以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆N的半径为错误!.因为l被圆N截得的弦长为２，所以圆心到直线的距离等于１, 即d＝错误!＝１，解得k＝0或错误!，当k＝0时，显然不合AB中点为E （４，１）的条件，矛盾，当k＝错误!时，l的方程为４x—３y—１３＝0．由错误!，解得点A的坐标为（１３，１３）；由错误!，解得点B的坐标为错误!.显然AB中点不是E（４，１），矛盾，所以不存在满足条件的直线l.１．抛物线y＝—x２上的点到直线４x＋３y—8＝0的距离的最小值是________．答案：错误!解析：设抛物线y＝—x２上一点为（m，—m２），该点到直线４x＋３y—8＝0的距离为错误!，当m ＝错误!时，取得最小值错误!.２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２．若抛物线C２：x２＝２py（p>0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程为________．答案：x２＝１6y解析：∵ 双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，∴错误!＝错误!＝２，∴b ＝错误!a，∴双曲线的渐近线方程为错误!x±y＝0，∴抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为错误!＝２，∴p＝8．∴ 所求的抛物线方程为x２＝１6y.３．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（２，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为３，则OM＝________．答案：２错误!解析：依题意，设抛物线方程是y２＝２px（p>0），则有２＋错误!＝３，得p＝２，故抛物线方程是y２＝４x，点M的坐标是（２，±２错误!），OM＝错误!＝２错误!.４．已知抛物线D的顶点是椭圆C：错误!＋错误!＝１的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（１）求抛物线D的方程；（２）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．１若直线l的斜率为１，求MN的长；２是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：（１）由题意，可设抛物线方程为y２＝２px（p>0）．由a２—b２＝４—３＝１，得c＝１，∴抛物线的焦点为（１，0），∴p＝２．∴抛物线D的方程为y２＝４x.（２）设M（x１，y１），N（x２，y２）．１直线l的方程为y＝x—４，联立错误!整理得x２—１２x＋１6＝0，即M（6—２错误!，２—２错误!），N（6＋２错误!，２＋２错误!），∴MN＝错误!＝４错误!.２设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E错误!，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m 与圆E的一个交点为G.可得|E′G|２＝|EG|２—|EE′|２，即|E′G|２＝|EA|２—|EE′|２＝错误!—错误!错误!＝错误! y错误!＋错误!＋a（x１＋４）—a２＝x１—４x１＋a（x１＋４）—a２＝（a—３）x１＋４a—a２.当a＝３时，|E′G|２＝３，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值２错误!，因此存在直线m：x＝３满足题意．５．如图，等边三角形OAB的边长为8错误!，且其三个顶点均在抛物线E：x２＝２py（p>0）上．（１）求抛物线E的方程；（２）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝—１相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：（１）依题意，OB＝8错误!，∠BOy＝３0°.设B（x，y），则x＝OBsin３0°＝４错误!，y＝OBcos ３0°＝１２．因为点B（４错误!，１２）在x２＝２py上，所以（４错误!）２＝２p×１２，解得p＝２．故抛物线E的方程为x２＝４y.（２）由（１）知y＝错误!x２，y′＝错误!x.设P（x0，y0），则x0≠0，y0＝错误!x错误!，且l的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），即y＝错误!x0x—错误!x错误!.由错误!得错误!所以Q为错误!.设M（0，y１），令错误!·错误!＝0对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的x0，y0恒成立．由于错误!＝（x0，y0—y１），错误!＝错误!，由错误!·错误!＝0，得错误!—y0—y0y１＋y１＋y错误!＝0，即（y错误!＋y１—２）＋（１—y１）y0＝0．（*）由于（*）式对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的y0恒成立，所以错误!解得y１＝１．故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，１）．１．（文）已知抛物线y２＝２px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A１、B１分别为A、B在直线l上的射影，则|AA|＝|AF|，|BB１|＝|BF|，于是M到l的距离d＝错误!（|AA１|＋|BB１|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|１＝半径，故相切．（理）下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面２m，水面宽４m．水位下降１m后，水面宽________ m.答案：２错误!解析：设抛物线的方程为x２＝—２py，则点（２，—２）在抛物线上，代入可得p＝１，所以x２＝—２y.当y＝—３时，x２＝6，即x＝±错误!，所以水面宽为２错误!.２．（文）已知抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为２的正三角形，则p的值是________．答案：２±错误!解析：依题意得F错误!，设P错误!，Q错误!（y１≠y２）．由抛物线定义及PF＝QF，得错误!＋错误!＝错误!＋错误!，所以y错误!＝y错误!，所以y１＝—y２.又PQ＝２，因此|y１|＝|y２|＝１，点P错误!.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝错误!＋错误!＝２，由此解得p＝２±错误!.（理）拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为错误!，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝２c，设拋物线方程为y２＝４c·x.∵拋物线过点错误!，∴6＝４c·错误!.∴c＝１，故拋物线方程为y２＝４x.又双曲线错误!—错误!＝１过点错误!，∴错误!—错误!＝１．又a２＋b２＝c２＝１，∴错误!—错误!＝１．∴a２＝错误!或a２＝9（舍）．∴b ２＝错误!，故双曲线方程为４x２—错误!＝１．３．（文）如图，过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点Ｃ．若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为________．答案：y２＝３x解析：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离．由|BC|＝２|BF|，得∠BCM＝３0°.又|AF|＝３，从而A错误!.由A在抛物线上，代入抛物线方程y２＝２px，解得p＝错误!.（理）如图所示，直线l１和l２相交于点M，l１⊥l２，点N∈l１，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l２的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝错误!，|AN|＝３，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解：以直线l１为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l２为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为y２＝２px（p＞0）（x A≤x≤x B，y＞0），其中x A、x B为A、B的横坐标，p＝|MN|，∴M错误!、N错误!.由|AM|＝错误!，|AN|＝３，得错误!错误!＋２px A＝１7，１错误!错误!＋２px A＝9．２联立１２，解得x A＝错误!，代入１式，并由p＞0，解得错误!或错误!∵△AMN为锐角三角形，∴错误!＞x A.∴错误!由点B在曲线段C上，得x B＝|BN|—错误!＝４．综上，曲线C的方程为y２＝8x（１≤x≤４，y>0）．４．（文）求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．（１）过点（—３，２）；（２）焦点在直线x—２y—４＝0上．解：（１）设所求抛物线的方程为y２＝—２px或x２＝２py（p＞0）．∵过点（—３，２），∴４＝—２p（—３）或9＝２p·２．∴p＝错误!或p＝错误!.∴所求抛物线的方程为y２＝—错误!x或x２＝错误!y，前者的准线方程是x＝错误!，后者的准线方程是y＝—错误!.（２）令x＝0得y＝—２，令y＝0得x＝４，∴抛物线的焦点为（４，0）或（0，—２）．当焦点为（４，0）时，错误!＝４，∴p＝8，此时抛物线的方程为y２＝１6x；焦点为（0，—２）时，错误!＝２，∴p＝４，此时抛物线的方程为x２＝—8y.∴所求抛物线的方程为y２＝１6x或x２＝—8y，对应的准线方程分别是x＝—４，y＝２．（理）已知定点F（0，１）和直线l１：y＝—１，过定点F与直线l１相切的动圆圆心为点Ｃ．（１）求动点C的轨迹方程；（２）过点F的直线l２交轨迹于两点P、Q，交直线l１于点R，求错误!·错误!的最小值．解：（１）由题设点C到点F的距离等于它到l１的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l１为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x２＝４y.（２）由题意直线l２的方程为y＝kx＋１，与抛物线方程联立消去y，得x２—４kx—４＝0．记P（x１，y１），Q（x２，y２），则x１＋x２＝４k，x１x２＝—４．由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为错误!，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!＋（kx１＋２）（kx２＋２）＝（１＋k２）x１x２＋错误!（x１＋x２）＋错误!＋４＝—４（１＋k２）＋４k错误!＋错误!＋４＝４错误!＋8．∵k２＋错误!≥２，当且仅当k２＝１时取到等号．∴错误!·错误!≥４×２＋8＝１6，即错误!·错误!的最小值为１6．１．涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解．２．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p，但要注意判断标准方程的形式．３．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．错误![备课札记]。
