数学分析(3)试卷及答案
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数学分析⑶期末试卷 2005年1月13日
班级 _______ 学号 ___________ 姓名 ____________
考试注意事项： 1. 考试时间：120分钟。 2. 试卷含三大题，共100分。 3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废! 4. 遵守考试纪律。 、填空题(每空3分，共24分) 1、 设 u =xy tan z，则全微分 du = ________________________ 。 2 3 3 3 3 2、 设u二xy2z3，其中z二f(x, y)是由x3 y z= 3xyz所确定的隐函数，则
Ux = ___________________________ 。 3、 椭球面x2+y2—4Z2=1在点M (2,1,1)处的法线方程是 ________________________ 。 sirx 2 4、 设 F(x) = J f(x2,y)dy, f (x,y)有连续偏导数，则 F(x)= _____________________ X
5、 设L是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分 JLxyds= ____________
6、 在xy面上，若圆D = (x, y) | x2 • y2乞仁的密度函数为：、(x, y)=1，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为 ___________________ ，其值为 _____________ 7、 设S是球面x2 y2 z2 =1的外侧，则第二型曲面积分..Sz2dxdy二 _____________
.、计算题(每题8分，共56分) 1 1 1、讨论f (x, y) = (x - y)sin sin 在原点的累次极限、重极限及在R2上的连续性。 x y 2、设u = f(x2y,*)具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数 uxx和uxy
x
3、求 f (x, y) =x3-3x2-3y2在 D 二｛(x,y)|x2 y2 <16｝上的最大值和最小值。 ax eaxsln bxdx 二—2^―2 (aslnbx 一 bcosbx)
C。
a +b
5利用坐标变换求.Dsec27^dxdy，其中D由X"1，x"
及八0围成。
x 2 x 亠 e - e
4、求 sinxdx。提示: 6、求曲面x2 y2 7^.2与z_ x2 y2所围成的立体体积。
7、计算 II x3dydz y3dzdx z3dxdy，其中 S是球面 x2 y2 z2 二 R2 (R 0)
S
的上半部分(z_0)的外侧。 三、证明题(每题10分，共20分) 在原点不可微，并且 fx(x, y)和fy(x, y)在原点不连续。1、 试证: 函数
f (x, y)=
xy2 tx2+y2 0,
2 2 ,x2 y - 0,
在原点(0,0)连续且偏导数存在, 2 2 x y =0, 2、试证x2 y2 z2 =3和x y ^1的交线在点P0(1, -1,1)的邻域内能用一对 方程y = f(x)和z =g(x)表示，并求dy和dZ ,以及交线在点P0的法平面方程。
dx dx
B.设R为一个有界点列，则它必存在收敛子列
数学分析 .选择题(每题4分，共16 分) 1.如果是偶函数且可导，则
f(0)=0 B f(0)=0
3期末考试题
A. C.
厂(0)=1 D
.
( f(0) =1 2. F列广义积分收敛的是
：C0S4x
dx
A. B. -T x2
二dx,(p 汨) x C.
3.下列说法错误的是 D.
A.设E R2为任一有界无穷点集, ) 则E在R2中至少有一个聚点• 2 C. E R为有界闭集,则E的任一无穷子集必有聚点•
2 D. E R为有界闭集，则E不一定为一列紧集.
4. 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) A. 若级数7 Un是发散的，则Un也是发散的.
B. 若级数7 Un是收敛的，7 £是发散的，贝U a Un *可以是收 敛的. C. 若级数V Un和V Vn是发散的，贝U V Un • " Vn可以是收敛的.
D. 若级数a Un和a Vn是发散的，贝U a UnVn也是发散的. 二. 填空题(每空3分，共15分) 1•级数(X ：1)的收敛半径为— — ，收敛区间 2 n
为 _______ . _____ 2. ______________________________________________________ 若 z =arctan# 在(1,1)处 可微，贝U zx(1,1) = _________________________ ， x
Zy(1,1)- .
3. 函数 z = ysin(x - y)的全微分为 ____________ . ________ 三. 计算题(共40分) 1•计算下列定积分(每题4分，共8分)
1 (2) p(l nx)2dx JI 一一，一兀 vx vO,
3•把函数f(x)=< 4 展成傅立叶级数.(8分) 兀 一，0 Ex £兀,
.4
5. 求曲面3x2 • y2 -z2 =27在点(3,1,1)处的切平面方程和法线方程.(8 分)
2 •求级数、 nA n(n 1)(n 2) 的和函数 (8 分)
4.求极限 jy)%o) (x y)sin
x2 y2 (8 分) 四. 讨论题和证明题(共29分) n 1设fn(X)=X-L,讨论函数列：fn与：fn』在X，［0,1］的
n
2. 设f在［-a,a］上可积，证明：(5分) a (1) 若f为奇函数，贝U f(x)dx =0
.a
a a (2) 若 f 为偶函数，贝U 一 f (x)dx = 2 ° f(x)dx
1 2
3. 证明不等式 1 ：：： ° ex dx ：：： e. ( 5 分)
致收敛性.(9分) 在，但在此点不可微•（ 10分） 2008-2009 （一）《数学分析》（3-3）期末考试试卷B 题 号 -一- -二二 三 四 总分
得 分
-.选择题（每题3分,共27分） 1 .下列说法错误的是
产 2 x y
4.证明函数 f (x, y)=T x2 + y2 0 -0, 在点（0,0）连续且偏导数存 2 2小 x y 二 0,
得分 阅卷人 A R2是开集但不是闭集 1(x,y) x2 y^r^?是闭集 C ：（x, y） x2 y2 ::: 1是开集 D •一是既开又闭的点集。 2. 设点P是平面点集E的边界点，CE是E关于全平面的余集，贝（
） A P是E的聚点 B P 是E的孤立点 2 2 L 为单位圆周x+y=1 ， L yds的值为
() A 4 B 3 C 2
4. 设L是沿抛物线y = 2x2从原点到点B（ 1, 2）的曲线，（xdy+ydx 的值为 （） AO B 2 C 1 D - 2
C P是E的内点 D P 是CE的边界点
3.
6.若S为柱面 部分，则 ff- x
7.累次积分
lim (1 (x,y)「C：：,
)xsin y
xy
2 2 y= R被平面
1 dS值等于
■: H
H(H 0）所截取的
1 °dx。 x2 f (x,y)dy 交换积分顺序后 正确的是 () 1 y A 0dy0 f (x, y)dx B 1 1
0dr y f (x, y)dx 1 y C °dyi f (x,y)dx D 1 0 °dy. y f (x,y)dx
8. 曲面 z= y arcta n 丄 在点(1,1, -)处 的切平面方程是 x 4 ()
31 JI A x _ y 2z 二 B x y
_ 2z 二
2 2
C 2(1 x)
= 2(y 1)
二
—-z D
4 2(1 - x
JT
)=2(y-1) z 4
9.设U=xe2y, l由起点P(1,0)到终点Q(3,-1),则 P等于 剖 () A 0 B 1 C 2 D 3
计算题（每题8分，共40分） L.2 设z = f ( ^,xy),求-- x ：x：
y
2.设 u =X2 • y2 • z2,其中 f (x, y)是由方程 x3 • y3 • z3 二 3xyz 所确定的隐函数，求Ux
得分 阅卷人 1.
