《数学分析》(三）――参考答案及评分标准
一． 计算题（共8题,每题9分，共72分）。
1.
求函数11
(,)f x y y x
=在点(0,0)处的二次极限与二重极限．
解:
11
(,)f x y y x =
+=，
因此二重极限为0．……(4分)
因为011x y x →+
与011
y y x →+均不存在,
故二次极限均不存
在。 ……(9分)
2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0
z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中f 和F 分别
具有连续的导数和偏导数,求dz
dx
.
解： 对两方程分别关于x 求偏导:
, ……(4分) 。ﻫ解此方程组并整理得
()()()
()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-=
'++. ……(9分)
3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程
222z z z
z x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。 设,,22
y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续).
解:z 看成是,x y 的复合函数如下：
,(,),,22
y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4
分）
代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222
2w w
w μμν∂∂+=∂∂∂。 ……（9分）
4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？
()()(1)0x y z dz
dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩
解: 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数: 222S rh r ππ=+表,
约束条件: 21r h π=。 ……(3分)
构造La ｇr ａｎg ｅ函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。 令
2
2420,
20.r h F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ ……(6分)
解得2h r =
，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在,当底面半
径为r =
高为h =时,制作圆桶用料最省。 ……(9分）
5. 设3
2
2
()y x y
y F y e dx -=
⎰,计算()F y '.
解:由含参积分的求导公式
33222
2
3
2
2222()32y y x y
x y x y
x
y x y
x y y y
y
F y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……(5
分）
3
2
7
5
22232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰
375222751222y y y x y y y e ye e dx y
---=--⎰。 ……(９分）
6. 求曲线2
22222x y xy
a
b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围的面积,其中常数,,0a b c >．
解：利用坐标变换cos ,
sin .
x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩ 由于0xy ≥,则图象在第一三象限，从而可以
利用对称性，只需求第一象限内的面积。
(
),0,02πρθθρ⎧⎪Ω=≤≤≤≤⎨⎪⎩。 ……(３分) 则
(,)
2(,)
x y V d d ρθρθΩ∂=∂⎰⎰
1
2
2sin cos 200
2ab c d ab d π
θθθρρ
⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰
……(6分)
22
22
sin cos a b d c π
θθθ
=
⎰
222
2a b c =． ……(9分)
７. 计算曲线积分352L
zdx xdy ydz +-⎰,其中L 是圆柱面221x y +=与平面
3z y =+的交线（为一椭圆）
，从z 轴的正向看去，是逆时针方向． 解: 取平面3z y =+上由曲线L 所围的部分作为Ｓtok ｅs 公式中的曲面∑,定向为上侧，则∑的法向量为
(
)cos ,cos ,cos 0,αβγ⎛
= ⎝
。 ……(3分)
由St ｏkes 公式得
352L
zdx xdy ydz +-⎰cos cos cos 352dS x y z z x y
αβγ∑
∂∂∂
=∂∂∂-⎰⎰
dS ∑
= ……(6分）
2
2
1
x y +≤=⎰⎰
2π= ……(9分)
8. 计算积分S yzdzdx ⎰⎰，S 为椭球222
2221x y z a b c ++=的上半部分的下侧.
解：椭球的参数方程为sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ϕθϕθϕ===,其中
02,0,2
π
θπϕ≤≤≤≤
且
2(,)
sin sin (,)
z x ac ϕθϕθ∂=∂。 ……(３分)
积分方向向下，取负号,因此,
yzdzdx ∑
=⎰⎰223220
0sin cos sin d bac d π
π
θϕϕθϕ
-⎰
⎰
……(6
分)
22
2
320
sin sin cos bac
d d π
π
θθϕϕϕ
=-⎰
⎰
2
4
abc π
=-
……(９分)
