最新数学分析考试试卷答案样本(A卷)讲课稿

数学分析试卷（A）s 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．设2{|60}Mxxx， {|11}Rxx，则MR为（ ） A．{|3}xx B．{|2}xx C．{|21}xx D．{|1}xx 2．21lim(1)xxx（ ） A．1 B．0 C． D．e 3．设2xyzexy，则zx（ ）

A．2xyxyye B．2xyxxe C．2xyxye D．2xyxyxe 4．幂级数1(1)nnnxn的收敛区间是（ ） A．(1,1) B．[1,1) C．(1,1] D．[1,1] 5．设D由平面曲线yx及2yx所围，则二重积分(,)Dfxyd化为二次积分为（ ）

A．210(,)xxdxfxydy B．210(,)xxdxfxydy C．210(,)xxdyfxydx D．10(,)yydyfxydx 6．20xedx（ ） A．12 B．12 C．2 D．－2 二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设()(1)()fxxxxn，则(0)f ．

2．3cossinxexdx ．

3．若常数项级数110nnu，则limnnu ． 4．设2lnxzy，则(1,2)|dz ． 5．平面曲线32616yxx的拐点是 ． 三、计算题（每小题9分，共45分）

1．求2201arctanln(1)2limxxxxx． 2．设函数()fx处处连续，且满足方程2011()sin2cos222xftdtxxxx（x为任意实数），试计算()4f和()4f． 3．求240secxxdx． 4．将()(1)(12)xfxxx展开成x的幂级数． 5．22xyDedxdy，其中D是圆环形区域2214xy． 四、证明题（10分） 设0ba，证明不等式22arctanarctan11babababa． 五、应用题（12分） 在椭圆2244xy上求一点，使其到直线:2360Lxy的距离最小，并求此距离．

数学分析试题及答案解析,（1）20xx ---20XX学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若在连续，则在上的不定积分可表为（）. 2.若为连续函数，则（）.3. 若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（）.4. 若收敛，则必有级数收敛（）5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（）.6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若在上可积，则下限函数在上（） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（） A. 在上一定不可积；B. 在上一定可积,但是；C. 在上一定可积，并且；D. 在上的可积性不能确定. 3.级数 A.发散 B.绝对收敛C.条件收敛 D. 不确定 4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若，则级数一定收敛；B. 若，则级数一定收敛；C. 若，则级数一定收敛；D. 若，则级数一定发散；5.关于幂级数的说法正确的是（） A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分） 1. 2.四. 判断敛散性（每小题5分，共15分） 1. 2.3. 五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1. 2. 六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

（本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。

数学分析试卷及答案6套第一套试卷一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？A. -4B. 4C. 0D. 12. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？A. ln(1)B. ln(0)C. ln(-1)D. 不存在最小值3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.（请写出证明过程）4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。

A. x < -7B. x > -7C. x > -3D. x < -35. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).（请写出证明过程）..................第一套答案一、选择题1. B2. A3. (证明过程略)4. A5. (证明过程略)二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。

三、解答题（共3题，每题20分，共60分）1. 设函数f(x) = x^3 - 2x + 1在区间[-2, 2]上的一个驻点为c，请求该驻点c的值以及f(c)的极值。

（请写出解题过程）2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 1的所有零点。

（请写出解题过程）3. 若函数f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 4在区间[0, 3]上的导函数f'(x)恰有一个零点c，并且f(c) = 2，求函数f(x)在该区间上的最大值。

数学分析(上)试题 班级____________姓名____________序号_______成绩____________ 一、求解下列各题（每题4分共40分） 1．!limnncn（0c为常数）

2．xxxxxsintan)sin(sin)tan(tanlim0 3．xxxx)1cos1(sinlim 4．求ba,使0120)(xexbaxxfx在点0x可导。 5．求155345xxxy在]2,1[上的最大值与最小值。 6．dxxxx221arctan

7．11)1ln(lim4sin002xdttxx 8．])1(cos2coscos1[1limnnxnnxnxn

（Rx）

9．0dxexxn（Nn） 10．baxbaxdx))((（ba） 二（10分）、设)(xf在区间I上有界，记 )(inf,)(supxfmxfMIxIx

称mMIf),(为函数f在区间I上振幅。证明 )()(sup),(,xfxfIfIxx

三（10分）、设)(xf在有限开区间),(ba上连续，证明)(xf在),(ba上一致连续的充要条件是)(limxfax与)(limxfbx都存在且有限。（提示使用一致连续性定理）

四（10分）、证明：方程033cxx（c为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。

五（10分）、设)(xf在)(0xU连续，在)(00xU可导，证明：如果)0(0xf存在，则)(0xf也存在，且)0()(00xfxf。并由此结论证明，如果)(xf在区间I上可导，则)(xf不存在第一类间断点。

六（10分）、设)(xf为],[ba上的非负连续函数，证明：如果0)(badxxf，则0)(xf。

七（10分）、设f在],[ba上有界，],[baan，cannlim，证明：若f在],[ba上只有),2,1(nan为其间断点，则f在],[ba上可积。

北 京 交 通 大 学2012-2013学年第一学期《数学分析A 》期末考试试卷(A)学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共八道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、选择题（每小题3分，满分15分）1．已知当0→x 时，)sin 1ln(x ax +与2tan x 为等价无穷小，则=a （ A ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．函数x y 2sin =在R 上的原函数与导函数分别为（ C ）． （A ）x 2cos 2，x 2cos 21 （B ）x 2cos 21，x 2cos 2 （C ）x 2sin ，x 2cos 2 （D ）x 2cos ，x 2cos 23．设函数)(x f y =在R 上二阶可导，且0)(,0)(>''>'x f x f ，则当0>∆x 时有（ A ）． （A ）0>>∆dy y （B ）0<<∆dy y （C ）0>∆>y dy （D ）0<∆<y dy 4．下列广义积分中收敛的是（C ）．（A ）⎰+10)1(1dx x x （B ）⎰-213)1(x dx （C ）⎰+∞e x x dx 2)(ln （D ）dx x x⎰+∞∞-+215．设函数)(x f 在点0=x 处连续，下列命题中正确的个数是（ C ）．① 若xx f x )(lim0→存在，则0)0(=f ．② 若xx f x )(lim 0→存在，则)0(f '存在．③ 若xx f x f x )()(lim 0-+→存在，则0)0(=f ．④ 若xx f x f x )()(lim 0--→存在，则)0(f '存在．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题（每小题3分，满分15分） 1．=++∞→n nnn 321lim 3 ．2．若)100()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=')0(f 100! ．3．=-+⎰-dx x x x )1cos (11232π． 4．若点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则=),(b a ⎪⎭⎫⎝⎛-29,23 ． 5．微分方程12='-''y y 的通解为=y x e C C x2212++- ． 三、（每小题6分，满分12分）求下列极限1．设24053111)(2xx dt e x x f xt +-=⎰-，求)(lim 0x f x →．解:222322544003333311lim ()limlim lim 3155xt x x Lx x x x e dt x x e x e x f x x x x ---→→→→-+-+-+===⎰ 20301lim 101422lim 5122x e x x xe x x x x L--=+-=-→-→101=；2．设xx e e x f x x 1sin ||12)(2+++=，求)(lim x f x -∞→，)(lim x f x +∞→，)(lim x f x ∞→．解:11211sin lim 12lim 1sin 12lim )(lim 22=-=-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-∞→-∞→-∞→-∞→x x e ex x e ex f x x xx x xx x ； 11011sinlim 12lim 1sin 12lim )(lim 22=+=+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∞→+∞→+∞→+∞→xx e e x x e e x f x x xx x x x x ；由单侧极限与极限关系可得：1)(lim =∞→x f x ．四、（每小题6分，满分12分）求下列导数或微分 1．设1ln 2++=x x y ，求dy 与y ''．解：显然，)1ln(212++=x x y ．由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得： 121)21211(1121222+=⋅++++⋅='x x x x x y ， dx x dy 1212+= ，3222)1(22121)11(21+-=⋅+⋅+-=''x xx x x y ． 2．设)(x y y =是由⎩⎨⎧=++=-+01,0)1(y te t t x y 所确定的函数，求0=t dx dy．解：当0=t 时，1,0-==y x ．由0)1(=-+t t x 可得：t t x -=2，1|)12()0(0-=-='=t t t x ；由01=++y te y对t 求导可得：0='+'+t t y y y y te e ，1)0(--='e y t ，由参量函数求导法可得：10)0()0(-==''=e x y dx dy t t t ．五、（本题满分12分）求下列积分： 1．dx x ⎰arctan．解:⎰=tdt t I arctan 2⎰⎰+-==dt tt t t t td 22221arctan )(arctan C t t t C t t t t +-+=++-=arctan )1(arctan arctan 22C x x x +-+=arctan )1(2．dx x x ⎰-π53sin sin ．解: 注意到|cos |sin )sin 1(sin sin sin 32353x x x x x x ⋅=-=-，故 ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x I 54|sin 52|sin 522252025=-=πππx x ． 六、（本题满分13分）（I ）判定函数x xe x f -=)(的单调性，并求其极值；（II ）讨论方程x ae x =的实根个数．解：（I ）∵⎪⎩⎪⎨⎧><==<>-='-,1,0,1,0,1,0)1()(x x x e x x f x ∴),1()(),1,()(+∞∈↓-∞∈↑x f x f ，且极大值为ef f 1)1(max ==． （II ）x ae x =的实根个数xxe y -=⇔与a y =的交点个数．由（I ）及-∞==-∞→-∞→xx x e xx f lim)(lim （)()(+∞⋅-∞），01lim lim )(lim ===+∞→+∞→+∞→x x L x x x ee x xf ， 可知 ① 当0≤a 或ea 1=时，原方程只有一个实根；② 当ea 10<<时，原方程有两个实根； ③ 当ea 1>时，原方程没有实根． 七、（本题满分13分）（I ）求曲线x y ln =与其在点)1,(e 处的切线、x 轴所围成的平面图形G 的面积A ；（II ）求上述平面图形G 绕x 轴旋转所得的旋转体的体积V ． 解：（I ）∵e y x y 1)0(,1='='，∴切线方程为)(11e x e y -=-，即exy =． ⎰-=exdx e A 1ln 212|)]1(ln [21-=--=e x x e e． （II ）⎰-=e xdx e V 12ln 31ππ]1ln 2|ln [31112dx x x x x x e ee⎰⋅⋅--=ππ]|)1(ln 2[31)ln 2(3111e ex x e e dx x e e ---=--=⎰ππππ )31(2)2(31e e e -=--=πππ．八、（本题满分8分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)0f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明：存在点)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf ． 证：设x x f x F -=)()(，则]1,0[)(C x F ∈，且1)1(,21)21(,0)0(-===F F F ． ① ∵111()[,1],()0,(1)10222F x C F F ∈=>=-<， ∴由零点定理可知：存在点)1,21(∈η，使得0)(=ηF ．② ∵)()0(),,0()(],,0[)(ηηηF F D x F C x F =∈∈，∴由罗尔定理可知：存在点)1,0(),0(⊂∈ηξ，使得0)(='ξF ，即1)(='ξf ．。

数学分析3考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞3. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...4. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)上：A. 有唯一极值点B. 有两个极值点C. 有三个极值点D. 没有极值点5. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 26. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导7. 函数f(x)=x^2+2x+1的不定积分是：A. (x^3+x^2)/3 + CB. (x^3+x^2+2x)/3 + CC. (x^3+x^2+2x+1)/3 + CD. (x^3+x^2+x)/3 + C8. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=e^xD. f(x)=ln(x)9. 函数f(x)=x^3在x=1处的泰勒展开式是：A. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3B. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2C. 1 + 3(x-1) + (x-1)^3D. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + 6(x-1)^310. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3在x=1处的导数值为______。

2. 函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的二阶导数值为______。

期末(A)试卷 课程名称 数学分析（3） A 卷 考试形式 闭 卷 考核类型 考试 本试卷共 3 大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。

一、计算题：（共6小题，每小题6分，共36分）

题号 一 二 三 总分 复核人 得分

得分 评卷人

………………………密……………………封…………………………装…………………订…

…

…………………线………………………

系别 专业（班级） 姓名 学号

2401xdxx

4.计算

222213.,.2xyzdydzdxdxxyz







设 求

223322,.xyxyfxyxy1.讨论函数的极限

zyyu=x+sin+e.22.计算函数的全微分 二、综合应用题：（共6小题，每小题8分，共48分）

得分 评卷人

6.()d,0(0,0),A(1,0),B(1,1)LxysL计算其中是以为顶点的三角形。20xedx

5.计算

33 3 zxyxy1.求的极值。 22sin,sin.cos,cos4xtyttztt2.求曲线 在的点处的切线和法平面。

221zxy3.求曲面在点(2,1,4)处的切平面和法线方程.

2,210.Dxydxdyyxxyxx4.求其中D是由曲线 , 和 () 围成的平面闭区域 三、证明题：（第1.2小题，每小题5分，第3小题6分

共16分）

得分 评卷人

2222s

16.I=,z.dsxyzah求曲面积分其中S是球面

被平面z=h(0

222222222(),1.Ixyzdxdydzxyzxyz5.求其中是上半球面

（z0）与圆锥面所围成的立体 221.sin(),.uuxuuyxyxxyy设证明y

2(,)[,;,]()(,) [,]bafxyabcdIyfxydxcd证明：若在矩形上连续，则是上的连续函数。

222222223.x+y+z=x+y=tanz证明：，（常数），球面